第五章第三节高阶微分方程(2)高阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程举例二、 线性齐次方程解的结构三、 线性非齐次方程解的结构四、常数变易法oeoox机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶微分方程(2) 第三节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第五章 高阶线性微分方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上当重力与弹性力抵消时物体处于平衡状态，若用手下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度成正比，方向相反.建立位移满足的微分方程解：取平衡时物体的位置为坐标原点0建立坐标系如图．设时刻t 物位移为 x(t)(1）自由振动情况．物体所受的力有Tix弹性恢复力_f=-cx（虎克定律）xo0000x机动目录上页下页返回结束
一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, x x o 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx阻力R=-μdtd?xdx据牛顿第二定律得mcx-dt2dtC令2n=μk2=则得有阻尼自由振动方程mmd?xdx2n+kx=0+dt2dt(2）强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力HF=Hsin pt 作用，令 h=上则得强迫振动方程md?xdx+ k?x = hsin pt+2ndt2dtoe000x机动目录上页下页返回结束
据牛顿第二定律得 , 2 m c 2 , k = m n 令 = 则得有阻尼自由振动方程: 0 d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 F = H sin pt 作用，令 ， m h H = 则得强迫振动方程: k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设有一个电阻R，自感L,电容C和电源E串联组成的电路,其中R，L,C为常数，E=Emsinのt,求电容器两两极板间电压u。所满足的微分方程R提示：设电路中电流为(t)，极板上的电量为q(t)，自感电动势为 EL/F由电学知CdqdiqE-gKCdtdt根据回路电压定律在闭合回路中，月所有支路上的电压降为diqRi=0E-CdtO0000x机动自录上页下页返回结束
求电容器两两极板间电压 0 d d − − − Ri = C q t i E L 例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . uc 提示: 设电路中电流为i(t), ∼~ ‖ L E R K C + q − q 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 , i EL 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
duc故有化为关于u。的方程：注意idt2ducuc2+uc=EmsRCLCsinotdtdtR1RLC2LEC串联电路的振荡方程-qKd?ugEdum2βsino tdt2LCdt如果电容器充电后撤去电源（E=0），则得d?ucAuo2B+の。"uc=0d t?dtOe0D0X机动目录上页下页返回结束
L LC R 1 , 2 令 = 0 = t LC E u t u t u m C C C sin d d 2 d d 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 0 d d 2 d d 2 2 0 2 + + C = C C u t u t u ~ ‖ L E R K C + q − q i 2 2 d d t u LC C t u RC C d d + + uC E t = m sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于 uc 的方程: 故有
例1例2方程的共性一可归结为同一形式y"+p(x)y"+g(x)y= f(x)，为二阶线性微分方程n阶线性微分方程的一般形式为y(n) +a(x)y(n-1) +.+an-1(x)y'+an(x)y= f(x)f(x)丰0 时,称为非齐次方程;f(x)=0 时,称为齐次方程复习：一阶线性方程 y'+P(x)y=Q(x)通解: y=Ce-[P(a)d*+e-[ P(n)d*[g(x)xd:dx*齐次方程通解Y非齐次方程特解」O0000?机动目录上页下页返回结束
n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例1 例2 y + p(x) y + q(x) y = f (x), — 可归结为同一形式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + − + = − 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y + P(x)y = Q(x) 通解: − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − = P x x y Ce ( )d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y f (x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、线性齐次方程解的结构定理1.若函数 yi(x),J2(x)是二阶线性齐次方程y" + P(x)y' +Q(x) y= 0的两个解，则y=Ciji(x)+C2y2(x)(C1,C,为任意常数)也是该方程的解.(叠加原理)证：将 =Ciyi(x)+C2y2(x)代入方程左边,得[Cy" +C2y2 ] + P(x)[Ciyi +C2y2 ]+Q(x)[Ciy1 + C2y2 ]=Ci[y"+ P(x)yi +Q(x)yi]证毕+C2 [y2 + P(x)y2 +Q(x)y2] = 000l00机动目录上页下页返回结束
( )[ ] + P x C1 y1 + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 ( ), ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y + P(x)y + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x +C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 + 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y + P x y + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则y = C y x +C y x 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：y=Cii(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解例如，i(x）是某二阶齐次方程的解，则2(x)= 2yi(x)也是齐次方程的解但是Ciyi(x) +C2y2(x) = (Ci + 2C2)yi(x)并不是通解为解决通解的判别问题，，下面引入函数的线性相关与线性无关概念oe000x机动目录上页下页返回结束
说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：设 yi(x),J2(x),·,Jn(x)是定义在区间 I 上的n 个函数，若存在不全为0的常数ki,k2，,kn,使得kiyi(x)+k2y2(x)+...+knyn(x) = 0, x E I则称这n个函数在I上线性相关，否则称为线性无关例如,1,cos2x,sin2x,在(-o0，+oo)上都有1-cos~ x-sin2 x = 0故它们在任何区间I上都线性相关又如，1,x,x2,若在某区间I上k+k2x+ksx2=0,则根据二次多项式至多只有两个零点，可见ki，k2，k3必需全为0，故1，x，x2在任何区间I上都线性无关O000?机动自录上页下页返回结束
定义: ( ), ( ), , ( ) 1 2 y x y x y x 设 n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如, 在(− , + )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如, 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件：Ji(x),y2(x)线性相关一 存在不全为 0 的 kj,k2使kiyi(x)+k2y2(x) = 0yi(x)_k2（无妨设kiy2(x)k ±0)yi(x)丰常数i(x), y2(x) 线性无关y2(x)可微函数y1,2线性无关yi(x)y2(x)±0 (证明略)yi(x)y2(x)思考： 若yi(x),y2(x)中有一个恒为 0,则 yi(x),y2(x)必线性相关O0000?机动目录上页下页返回结束
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x − ( 无妨设 0 ) k1 线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 机动 目录 上页 下页 返回 结束