第四章第二节定积分一计算不定积分换元积分法换元积分法→定积分分部积分法分部积分法一、定积分的换元法二、 定积分的分部积分法o0lol00机动目录上页下页返回结束
二、定积分的分部积分法 第二节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分—计算 第四章
一、定积分的换元法定理1. 设函数,f(x) e C[αa,b], 单值函数 x=p(t)满足1) p(t) eC'[α, β], (α)=a, p(β) = b;2)在[α,βl 上a≤Φ(t)≤b,~f(x)dx ={P f [p(t)]p'(t)dt则证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数，则F[(t)l是f[(t)]p(t)的原函数,因此有h(~ f(x)dx= F(b)- F(a)= F[β(β)] -F[β(α)]f [p(t)]p'(t)dtoleoolox机动自录上页下页返回结束
一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则
f(x)dx=[" f [p(t)]p'(t)dt说明：1)当β<α,即区间换为[β,α]时，定理1仍成立,2）必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回3）换元公式也可反过来使用，即[β f[p(t) lp'(t) dt= [~ f(x)dx (令x=p(t))f[p(t)lp'(t) dt = fp f[ p(t)] d p(t)或配元配元不换限olo0x机动自录上页下页返回结束
说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)
例1.计算Na?-x2 dx (a>0)1解：令x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时,t=0；x=a时,t=号.Vy=Va?-x·原式=α2cos?tdt10Sq2{ (1+cos2t)dt200a x22元a元a12sin2t)t+42201eo00x机动自录上页下页返回结束
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
4x+24dx例2.计算0/2x+1解：令t=~2x+1,则dx=tdt, 且x2当x=0时,t=1;x=4时,t=3.22tdt原式=t(2 +3)d3221(l.3+3t)3231oeolo0机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
偶倍奇零例3. 设 f(x)EC[-a,a],(1)若f(-x)= f(x), 则[~ f(x)dx=2[f(x)dx(2)若f(-x)=-f(x),则(~ f(x)dx=0: {~ f(x)dx= ~ f(x)dx + f°f(x)dx证:令x=-t= °f(-t)dt + J°f(x)dxJtf(-x)+ f(x)]dx2J°f(x)dx， f(-x)=f(x)时0.f(-x)=-f(x)时o0ol0l0x机动自录上页下页返回结束
例3. 证: (1) 若 − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0 + f t t a ( )d 0 = − f x x a ( )d 0 + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0 = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令x = −t =
二、定积分的分部积分法定理2. 设u(x), v(x) ε C'[a, b],则bbu'(x)v(x)dxu(x)v(x)dx = u(x)v(x)aa证: : [u(x)v(x)}' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)两端在[a,b]上积分.bu'(x)v(x)dx +u(x)v'(x)dxAqa66u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)u'(x)v(x)dxaoeol00x机动自录上页下页返回结束
二、定积分的分部积分法 定理2. ( ), ( ) [ , ], 1 设u x v x C a b 则 a b 证: [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v(x) a b u x v x x u x v x x b a b a = ( ) ( )d + ( ) ( )d = u(x)v(x) a b − b a u (x) v(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端在[a,b]上积分
例4.计算arcsinxdxOxdx解：原式= x arcsinx0X元[.(1- x2) d (1 - x2)12S元2120/3元十122oeo0x机动目录上页下页返回结束
例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x 0 2 1 − 2 1 0 x x x d 1 2 − 12 = (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1 + − x − x − 12 = 2 1 (1 ) 2 + − x 0 2 1 12 = 2 3 + −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
立2元例5.证明I，n xdxxdxcos"sin1JoJo·多，n为偶数n-1.n-3n-2n一n-1n-34.2n为奇数n-253’n证:令t=号-x,则元0语1n? sin"(-t)dtxdxsin".xdxcOSJO五20'x, v'= sinx,则 u'=(n-1)sinn-2令u= sin'n-l x cos x,v = -coS x2元n-2..In =[-cosx·sinn-12x]xcos° x dxsin0二0oleo0x机动自录上页下页返回结束
= 2 0 cos d t t n = 2 0 cos d x x n 例5. 证明 证: 令 , 2 2 1 4 3 2 1 3 − n n − n n− n 为偶数 n 为奇数 , 2 t = − x 则 2 0 sin d x x n = − − 0 2 2 sin ( )d t t n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n− = − v = −cos x [ cos sin ] 1 I x x n n − = − 0 2 − + − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d n x x x n 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
元n-22xcos? x dxIn =(nsinn-2x(1 - sin2 x)dx=(nsin元=(n-1)In-2 -(n-1)InTxdxsin"n0由此得递推公式 In=In-2n2m-1 .2m-3 31于是L.loI2m2m2m-2422m2m-242.I12m+12m+12m-135元F元2而dx =Io =sin xdx = l2JOJ故所证结论成立，ooox机动自录上页下页返回结束
− = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d I n x x x n n = − − 2 − 0 2 2 ( 1) sin (1 sin )d n x x x n 2 ( 1) = − n− n I 由此得递推公式 2 1 − − = n n n n I I 于是 I2m = m m 2 2 −1 I2m+1 = 2 1 2 m+ m 而 I0 = 2 0 d x , 2 = = 2 0 1 sin d I x x =1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 −2 I m 2 2 2 3 − − m m 2 −4 m I 2 1 4 3 2 −1 2 I m 1 2 2 − − m m 2 −3 m I 3 2 5 4