第十章第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算法二、三、 两类曲线积分之间的联系oeoox机动目录上页下页返回结束
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章
一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例：变力沿曲线所作的功ytBL设一质点受如下变力作用AF(x, y) =(P(x, y), Q(x,y)在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W解决办法变力沿直线所作的功“大化小"F“常代变"W = FABcos 0“近似和"0= F.ABAZB“取极限’Oe000x机动目录上页下页返回结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A = F AB B F F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)“大化小”把L分成n个小弧段,F沿Mk-1MkF(Ek,nk)所做的功为△Wk，则BL△yknW=ZAWk△xkk=1A2）“常代变"x有向小弧段M-M,用有向线段Mk-1M=(Ax，Ayk）近似代替，在Mk-M上任取一点(，n),则有AWk ~ F(Ek, nk) . Mk-1Mk= P(Sk, nk)△xk +Q(Sk, Nk)AykOe000x机动目录上页下页返回结束
Mk−1 Mk A B x y 1) “大化 小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y k k 所做的功为 F 沿 Wk F k Mk 1Mk ( , ) − k ( , ) F k k = = n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3）“近似和"nW~Z [P(Ek, nk)Axh +Q(ck, nk)Ayk ]k=14）“取极限"nZ[P(Ek, nk)4xk +Q(Ek, nk)4yk]W = lim1-0k=1F(5k,nk)(其中为n个小弧段的yB最大长度)L△yk△xkxoe000x机动目录上页下页返回结束
3) “近似和” 4) “取极限” = n k W 1 k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y = → = n k W 1 0 lim k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧，在L上定义了一个向量函数F(x, y) =(P(x,y), Q(x,y)若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限nlimE [ P(Ek, nk)Ax+Q(5k, nk)Ayk]-0k=1记作(, P(x, y)dx +Q(x, y)dy都存在,则称此极限为函数F（x,y）在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分.其中,P(x,y)，Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线Oe000x机动目录上页下页返回结束
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, + L P(x, y)dx Q(x, y)dy k k k P( , )x k k k + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
n P(Ek, nk)Axk :(, P(x, y)dx = lim1→0k=1称为对x的曲线积分：n(, Q(x, y)dy= limQ(Ek, nk)Ayk ,→0 k=1称为对的曲线积分若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作( F.ds = ( P(x,y)dx+Q(x, y)dyJL类似地，若I为空间曲线弧，记 ds=(dx,dy,dz)F(x, y,z) =(P(x, y,z2), Q(x, y, 2), R(x, y,z)[_ F .ds = [_ P(x, y, z)dx+Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dzoo0x机动目录上页下页返回结束
L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k P x L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k Q y 若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x, dy) , 对坐标的曲线积分也可写作 = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x, dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,（i=l，,k)则 ( P(x, y)dx +Q(x, y)dyk=Z, P(x, y)dx + Q(x, )dyJLi-1(2)用L～表示 L的反向弧，则[- P(x, y)dx + Q(x, y)dy = -(, P(x, y)dx + Q(x, y)dyOe000X机动目录上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1.第二类曲线积分与积分曲线方向有关，这是第二类曲线积分的一个重要特征，也是区别与第一类曲线积分的一个特征2.若积分为闭路，这时对于每种情形，都要说明积分是沿什么方向3.平面闭路只要方向不变，第二类曲线积分的值与起点无关Oe00X机动目录上页下页返回结束
积分的一个特征. 说明: 1. 第二类曲线积分与积分曲线方向有关, 这是第二 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类曲线积分的一个重要特征, 也是区别与第一类曲线 2. 若积分为闭路, 这时对于每种情形, 都要说明积分 是沿什么方向. 3. 平面闭路只要方向不变, 第二类曲线积分的值与 起点无关
二、对坐标的曲线积分的计算定理：设 P(x,J),Q(x,J)在有向光滑弧 L上有定义且x=(t)连续，L的参数方程为t [α,β]或t E[β,α]y=y(t)其中t=α,t=β分别对应于曲线 L的起点A和终点 B,则曲线积分[, P(x, y)dx +Q(x, y)dy(P[p(t), y(t)lp'(t)+Q[g(t), y(t)]y'(t))d t证明：下面先证[, P(x, y)dx = ["β P[p(t), y(t)]p'(t)dtQO0000x机动目录上页下页返回结束
二、对坐标的曲线积分的计算 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t t t [ , ] [ , ] 或 则曲线积分 = P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt = (t) 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t t = = , 分别对应于曲线 L 的起点 A 和终点 B
n根据定义「P(x,y)dx= limZ P(Si, ni)Axi元0=1设分点x,对应参数ti，点(si,ni)对应参数 ti,由于△x; = x; -xi-1= (t:)-β(ti-1) = @'(t))△tin[ P(x, y)dx = lim Z P[p(t,), y(t,)l p'(t)Ati2>0 :=1因为L为光滑弧,所以β(t)连续n= limE P[β(t;), y(t,)]p(t,)ti1→0i=1BP[p(t), y(t)]p'(t)dtQ( Q(x, y)dy=(P Q[p(t), y(t)l yr'(t) d t同理可证O00x机动目录上页下页返回结束
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1 t t i i =()t P[ (t), (t)] dt = → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ()t → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t (t) → = = n i i i i P x 1 0 lim ( , ) 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t = (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束