第十章第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法O0000x机动目录上页下页返回结束
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章
一、对面积的曲面积分的概念与性质设曲面形构件具有连续面密度p(x,y,z),求质引例:量 M.7类似求平面薄板质量的思想，采用(Ek,nk,Sk)大化小，常代变，近似和，求极限的方法,可得ZnEp(Sk,nk,Sk)ASkM =lim 02→0 k=1yx其中，入表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)O000?机动目录上页下页返回结束
o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 = n k 1 M = ( , , ) k k k 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：设为光滑曲面，f(x,z)是定义在上的一个有界函数，若对乙做任意分割和局部区域任意取点“乘积和式极限”n记作lim Zf(5k, nk,Sk)ASkI[ f(x, y,z)dS2-0k=1Z都存在,则称此极限为函数,f(x, z)在曲面Z上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y,z)叫做被积函数，乙叫做积分曲面据此定义,曲面形构件的质量为 M=(lp(x,y,z)dS曲面面积为 S=J,dSO0000?机动目录上页下页返回结束
M (x, y,z)d S = 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似·积分的存在性．若f(x,y,z)在光滑曲面Z上连续则对面积的曲面积分存在·对积分域的可加性若是分片光滑的，例如分成两片光滑曲面Z1,2，则有J,f(x,y,2)dS=JJ, f(x,y,2)dS + JI/ f(x,y,z)ds·线性性质．设kj,k2为常数,则[],[kif(x, y, 2)± k2g(x, y, 2)]d S= ki J, f(x, y,2)dS± k2 Jf,g(x, y,z)dseooo机动自录上页下页返回结束
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 = f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S k1 f (x, y,z) k2 g(x, y,z) d S • 线性性质. = k1 f (x, y,z)dS k2 g(x, y,z)dS 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对面积的曲面积分的计算法定理：设有光滑曲面Z : z = z(x, y),(x,y) e Dxyf(x,z)在上连续,则曲面积分J,J(x, ,z)dS 存在,且有J, (x, y,2) ds(△0k)xy(Ek, Nk,Sk)f(x, y, z(x,y)/ 1+ zx?(x, y)+ z,(x, y)dxdyX证明：由定义知nJJ, f(x,y,2)dS = limZf(sk,nk,Sr)ASk1-→0k=1o00l008机动自录上页下页返回结束
o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 = n k 1 0 lim → Dxy ( , , ) k k k k x y ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
而 AS =J(Agg). / 1+zx(x, y)+ z,?(x, y)dxd y/1+ zx?(Sk, nk)+ z,?(Ek, nk)(A0k)xyf(x, y,z)dsn= limf(Ek, Nk,z(5k,nk)2-0k=1 1+ zx2(5k, nk) + zy2 (5k, nk)(Aok)xyn(光滑)= limE f(Ek, Nk,z(Ek, nk).20k=1/1+zx?(5k, nk)+z,?(5k, nk)(A0k)xy(lf(x, y, z(x, y)/1+zx?(x,y)+z,?(x, y)dxdyoo0x机动目录上页下页返回结束
z x y z x y x y k x y x y 1 ( , ) ( , ) d d ( ) 2 2 + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 = + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 + + x k k y k k k xy 1 z ( , ) z ( , )( ) 2 2 + + f x y z x y z x y x y x y Dx y ( , , ) 1 ( , ) ( , )d d 2 2 = + + ( , , ( , )) k k k k f z ( , , ( , )) k k k k f z f (x, y,z)dS 而 (光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1)如果曲面方程为x = x(y,z), (y,z) E Dy或 y=y(x,z),(x,2)eDxz可有类似的公式2)若曲面为参数方程，只要求出在参数意义下dS的表达式，也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分O0000X机动自录上页下页返回结束
说明: Dyz x = x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y = y(x,z), (x,z) 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dsI其中Z是球面x2+2+z例1.计算曲面积分JJZ=α2被平面z=h(O<h<α)截出的顶部Z解: Z: z= a?-x?-y2 ,(x,y)eDxyZh+y2≤α2-h2aaydsadxdy2元rdrder0?thaQ2元alnC0hOeoD0x机动目录上页下页返回结束
Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 Dxy : x + y a − h 2 2 1 x y + z + z z d S = 2 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 2 2 2 2 a h a a r + − − = − − = Dx y a x y a x y 2 2 2 d d − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r o x z y h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考：若是球面2+2+z2=α2被平行平面z=±h 截出的上下两部分，则ZZrds0: hZZo'dsya4元 alnXhhNZO0000x机动目录上页下页返回结束
思考: 若 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d = z S ( ) d = z S 0 h 4 ln a a 则 h − h o x z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算[,xyzdS,其中Z是由平面x+y+z=1与坐标面所围成的四面体的表面21解：设1Z2,Z3.Z4分别表示在平面x=0,=0,z=0,x+y+z=1 上的部分,则01 y(, +, +z, + 2 yz ds原式=2JJz, xyz dS4[0≤y≤1-xZ4 : z=1-x-y, (x,y)e Dxy :L 0≤x≤1-(1 -x-y)dy = V3/xdx7120oe000x机动目录上页下页返回结束
例2. 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. o z y x 1 1 1 解: 设 上的部分, 则 1 2 3 4 , , , = 4 xyz d S : 1 , 4 z = − x − y − 0 1 0 1 ( , ) : x y x x y Dxy − − − x y x y y 1 0 (1 ) d 120 3 = 与 = 1 0 3 x dx + + + 1 2 3 4 xyz dS 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束