
第十章第三节格林公式及其应用一、格林公式平面上曲线积分与路径无关的二、等价条件O0000x机动目录上页下页返回结束
第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章

格林公式区域连通性分类设D为平面区域,t如果D内任一闭曲线所围成,否则的部分都属于D.则称D为平面单连通区域。称为复连通区域DD单连通区域复连通区域o00l008机动自录上页下页返回结束
设D为平面区域, 单连通区域 复连通区域 D D 的部分都属于D, 称为复连通区域. 区域连通性分类 如果D内任一闭曲线所围成 则称D为平面单连通区域, 否则 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

平面区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿D的边界L的这一方向行走时,平面区域D总在他的左边4逆时针方向L顺时针方向D逆时针方向L由L,与L,组成O0000X机动自录上页下页返回结束
平面区域D的边界曲线L的正向: 边界L的这一方向行走时, D L1 D L L2 逆时针方向 L 由 L1 与 L2 组成 逆时针方向 顺时针方向 当观察者沿D的 平面区域D总在他的左边。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

单连通区域(无“洞”区L区域D分类燮连通区域(有"洞”区域)D域D边界L的正向:f域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数P(x,J),Q(x,y)在 D 上具有连续一阶偏导数,则有ap00dxdy=Pdx+Qdy(格林公式)axayDLaaJaxaydxdy = Pdx + Qdy或PQDLO0000X机动目录上页下页返回结束
L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区 域复连通区域 ) ( 有“洞”区 域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, = + D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且Pi(x)≤y≤P2(x)tyEDa≤x≤bdA1Byi(y)≤x≤2(y)DCc≤y≤daoab xV2(y) aQ0则dxddxDaxyi(y)OxQ(y2(y), y)dy-Q(yi(y), y)dyQ(x, y)dy - (r Q(x, y)dyCBEQ(x, y)dy + (FcQ(x, y)dy = J, Q(x, y)dyCBEH4oo0x定理1目录上页下页返回结束
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d = d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q = CBE Q(x, y)dy + EAC Q(x, y)dy − d c Q( ( y), y )dy 1 = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

QJIDdxdy =即, Q(x,y)dy?ox同理可证apdxdyP(x, y)dx2JDoy②两式相加得D、apaqd_ Pdx+QdydxdJJDaxayO0000?定理1目录上页下页返回结束
即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( ) = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图tyDapQLJJDdxdyOxoyDnnapaqZJ,dxdyOxayDik=1x0nZPdx +Qdy(aDk表示Dk的正向边界)aDkk=1证毕,Pdx+QdyO0000X定理1目录上页下页返回结束
y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) = − = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d − = = + n k Dk P x Q y 1 d d = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

说明:10:若区域D为单连通区域,则D的边界曲线L的正向即为逆时针方向20:若区域D为复连通区域,则L为区域D的内、外正向边界之和30:Green公式建立了平面区域D上的二重积分与D的边界曲线上的第二类曲线积分的关系40 :Green公式的另外形式 :apaQdxdy = 蜓Pdx + Qdy = [, [P cos α +Qcos β]dsaxoyDNIQ cos(n, x) - P cos(n, )]ds其中n为外法线方向o00l008定理1目录上页下页返回结束
说明: 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 1 0 : 若区域 D 为单连通区域, 则D的边界曲线 L 的 其中 正向即为逆时针方向. 2 0 : 若区域D为复连通区域, 则L为区域D的内、外 3 0 : Green公式建立了平面区域D上的二重积分与D 4 0 :Green公式的另外形式: 的边界曲线上的第二类曲线积分的关系. 正向边界之和. [ cos cos ] L L D Q P dxdy Pdx Qdy P Q ds x y − = + = + 蜒 [ cos( , ) cos( , )] L = − Q n x P n y ds r r r ur Ñ n 为外法线方向

apa0dxdy = § Pdx +Qdy格林公式oxoyLD推论:正向闭曲线L所围区域D的面积特例:0xdy-ydxx, P=-y2Jx =acosa例如,椭圆 L:0≤0≤2元所围面积y=bsinxdy-ydx122元(abcos? +absin? )d =πab2 JoOe000x定理1目录上页下页返回结束
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 = − L A xdy y dx 2 1 格林公式 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆 , 0 2 sin cos : = = y b x a L 所围面积 = + 2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab ab = ab 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 特例: Q = x, P = -y

例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明f, 2xydx+x? dy = 0证:令P=2xy,Q=x2,则Qap= 2x- 2x = 0OxOy利用格林公式,得f, 2xydx + x? dy = [[odxdy = 0DO0000?机动目录上页下页返回结束
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + = xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2 + = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束