第四章习题课不定积分的计算方法一、 求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分Oeo0x机动目录上页下页返回结束
习题课 一、 求不定积分的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章
一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形，利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法2.换元积分法第一类换元法[ f(x) dxf [(t)]p'(t)dt第二类换元法(代换: x= p(t)（注意常见的换元积分类型）000x机动目录上页下页返回结束
一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) x =(t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.分部积分法uv'dx =uv-u'vd使用原则：1）由易求出;2)「u'vdx比[uv'dx好求.一般经验：按"反,对,幂,指，三”的顺序,排前者取为u，排后者取为v计算格式：列表计算000x机动目录上页下页返回结束
3. 分部积分法 = − u v dx u v 使用原则: 1) 由 v 易求出 v ; 2) u v dx 比 好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v . 计算格式: 列表计算 u vdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
多次分部积分的规律[ uv(n+1) dx = uv(n) - [ u'v(n) dxd(n-1)+=uv(n) _-u,("()-1+=uy(n)n+l,(n-2) -...+(-1)(n+)vdxu快速计算表格：(k),(n+1)(n)u'uu2uN"| (-1)n+,(n+1-k)(n+1),(n)-VV特别:当 u为 n 次多项式时,u(n+1)=0,计算大为简便O10000X机动自录上页下页返回结束
u v x n d ( 1) + = u v − u v x n n d ( ) ( ) ( ) ( −1) = − n n uv u v − + u v x n d ( 1) = = u v (n) −u v (n−1) + u v (n−2) − u v x n n ( 1) d 1 ( 1) + + + − 多次分部积分的 规 律 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( −1) ( −2) = − + n n n uv u v u v u v x n d ( −2) − 快速计算表格: (k ) u (n 1 k ) v + − u u u (n) u (n+1) v (n) v (n−1) v v + − + n (−1) (n+1) u v + − 1 ( 1) n 特别: 当 u 为 n 次多项式时, 0, ( 1) = n+ u 计算大为简便
2*3x例1. 求dx+4x9x =axinadxt2*3x解：原式=dxdx2x122x3-n22arctan(2)+Cln2-ln3000x机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 原式 x x x x x d 3 2 2 3 2 2 + = x x x d 1 ( ) ( ) 2 3 2 3 2 + = + = x x 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) d ( ) ln 1 a a a x x x d = ln d C x + − = ln 2 ln3 arctan( ) 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
In(x +/1+x2)+ 5例2. 求V1+x2解：原式=[In(x+/1+x?)+5] d[In(x+ /1+x?)+5]2[1n(x+ /1+x2)+ 5] +C分析:2xdxdx2V1+.d[ln(x+ /1+x2)+5] =x+~1+x2+O10000x机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: = + + + 2 1 [ln( 1 ) 5] 2 原式 x x d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x + 2 x + 1+ x = x x x (1 )d 2 2 1 2 + + 2 1 d x x + = 3 2 = ln( 1 ) 5 2 x + + x + 2 +C 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x +
x+ sinx例3.求dx+cosx解：xxx + 2sin=cos22 dx原式2 x2cos2xxtandx十tan-22分部积分x= xtan=+C2000x机动自录上页下页返回结束
例3. 求 解 : 原式 x x x x x d 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 + = = 2 d tan x x x x d 2 tan + C x = x + 2 tan 分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1dx例4. 设 (x-y)2=x,求积分x-3y解: (x-y)2=x令x-y=t,即y=x-t73t?(t?t-3)dt而 dx :x=2-1'(2 -1(t2 -1)2t2(t? -3) dt :1原式=di2 -1t33t (t? -1)2t2 -1t?_1=ln [2-1+C =ln(x-)2-1+COe000x机动目录上页下页返回结束
例4. 设 解: 令 x − y = t, 求积分 即 y = x −t , 1 2 3 − = t t x , 1 2 − = t t y 而 t t t t x d ( 1) ( 3) d 2 2 2 2 − − = = 1 原式 t t t t d ( 1) ( 3) 2 2 2 2 − − 1 2 3 t − t 1 3 2 − − t t = ln (x − y) −1 +C 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Xarctanedx例5.求e解:原式=-{arctane*de-x1e= -e-x arctanexdx2x= -e-x arctanexdx2x1+e= -e-x arctane*+x -}ln(1+e2x)+000x机动目录上页下页返回结束
例5. 求 解: = − x 原式 arctan e x e − d x x e arctan e − = − − + x e x e e x x d 1 2 + x x e arctan e − = − x e e e x x x d 1 (1 ) 2 2 2 + + − + x x e arctan e − = − + x e C x − ln(1+ ) + 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[(x3 - x + 2)e2x dx .例6.求2xv(4)解：取u= x3 -x+2,O(k)3263x06xu-12x-x+2X十2x2x2x2x4-k)112xeeeO8216e4:. 原式=e2*[ (x3-x+2)-(3x2 -1) +·6x-·6]+C=ge2*(4x3 -6x? + 2x+ 7)+Ckxe说明：此法特别适用于[ Pn(x)/ ssin axdx如下类型的积分cos axO0000x机动自录上页下页返回结束
例6. 求 解: 取 2 3 x − x + 3 1 2 x − 6x 6 0 x e 2 x e 2 2 1 x e 2 4 1 x e 2 8 1 x e 2 16 1 + − + − x e 2 原式 = ( 2) 3 2 1 x − x + (3 1) 2 4 1 − x − 6x 8 1 + e x x x C x = (4 − 6 + 2 + 7) + 2 3 2 8 1 6 16 1 − +C x ax ax e P x k x n d cos ( ) sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 此法特别适用于 如下类型的积分: