第一章第三节极限存在准则及两个重要极限一、夹逼准则二、单调有界原理三、无穷小的比较oleoolox机动自录上页下页返回结束
二、单调有界原理 一、夹逼准则 第三节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 三、 无穷小的比较
(P26)一.夹逼准则(准则1)1.数列极限存在的夹逼准则(l)yn ≤xn≤zn (n=l, 2, ..)lim xn = an→0(2) lim yn = lim zn = an>80n>80证:由条件(2)，>0,3Ni,N2:当n>Ni时,n-αN时,zαN 时,有a-<yn<a+, a-<zn<a+,由条件(1)a-<yn≤xn≤zn<a+即xn-α<ε,故lim xn=aα.oeolo0xn-00机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 y zn a n n n = = → → (2) lim lim 一 . 夹逼准则 (准则1) (P26) (1) y x z ( n =1, 2, ) n n n 证:由条件 (2) , 0, , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N = N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a − y x z a + 即 x − a , n 故 lim x a . n n = → , N2 1. 数列极限存在的夹逼准则 xn a n = → lim
111lim n1例1.证明22O2+2元n00n+元n+n元n证：利用夹逼准则.由2111nn222C+2元n+n元n+元n2＋元nn+n元1lim且lim:121+匹n00n→>αn+n元n11limlim2n-→o1+ 元n>0n十元2n11lim n=1O22+2元n-→0nn+n元十元no0oox机动自录上页下页返回结束
例1. 证明 证: 利用夹逼准则 . + + + + + n + n n n n 2 2 2 1 2 1 1 + 2 2 n n 且 → + 2 2 lim n n n 2 1 1 lim n n + = → =1 n n→ lim + + + + + n + n n n 2 2 2 1 2 1 1 =1 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数极限存在的夹逼准则定理。当x EU(xo,)时, g(x)≤f(x)≤h(x),且(x|>X>0)lim g(x)= lim h(x)= Ax→Xox-→Xo(x→00)(x →8)lim f(x)= Ax→>Xo(x →8)oeoox机动目录上页下页返回结束
2. 函数极限存在的夹逼准则 定理. ( , ) , 当x x0 时 g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( 0) x X ( ) x → ( ) x → ( ) x → 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一个重要极限BDsinx1. lim=1Ax-0xC0证：当xE(O,号)时,AAOB的面积0x-0xOe000?注自录上页下页返回结束
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 第一个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束
tan x例2. 求 limx-0xtan xsin x解：lim limx-→>0xx-00xcos x1sinx= limlimx-→0xx-→>0cosxarcsin x例3. 求 limx->0x解：令 t =arcsinx,则 x= sint,因此1t原式 = lim: lim:1sintt>0t-→>o sinttooox机动目录上页下页返回结束
例2. 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
-cosx例4. 求 limfx->02x2sin?xl2sin12.12 =解：原式=limlimx-222x-→02 x→0例5.已知圆内接正 n边形面积为元nAn = n R sin cos R证明：lim A,=元R2.n00sin 匹lim An = lim πR?证:cOs=R2n元nn→n>00nsind(x) =1lim说明：计算中注意利用Φ(x)g(x)→0oleoex机动自录上页下页返回结束
n n n R cos sin lim 2 → = R n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n n n n A nR sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：求下列极限tan x -sin x1. lim3x→0sin' xolo0x机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 求下列极限 3 0 tan sin 1. lim x sin x x → x −
二.单调有界原理（准则2）单调有界数列必有极限（准则2）Xi ≤x, ≤... ≤xn ≤xn+1≤...≤Mlim xn =a (≤M)n0xaXi ≥x2 ≥... ≥xn ≥ xn+1 ≥...≥ mlim xn =b (≥m)n→80+xbxxx2xmn+1:noleo0x机动自录上页下页返回结束
二.单调有界原理 ( 准则2 ) lim x a ( M ) n n = → lim x b ( m ) n n = → a b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
1. xn =(1+l)n (n=1, 2, ...),第二个重要极限：证明数列（x极限存在．(P29～P30)证：利用二项式公式，有n =(1+1)nn(n-1) 1n(n-1)(n-2) 1n=1+1n+:2!3!2nnn(n-1)..(n-n+1) 1Xn!nn2(1-) +(1-)(1-2?=1+1++.+(1- I)(1- 2) . (1- n=l)no0lol00机动自录上页下页返回结束
第二个重要极限: 证明数列 极限存在 . (P29～P30) 证: 利用二项式公式 , 有 n n n x (1 ) 1 = + =1+ n n 1 1! 2 1 2! ( 1) n n n− + 3 1 3! ( 1)( 2) n n n− n− + + n n n n n n n 1 ! ( −1) ( − +1) + =1+1+ (1 ) 1 ! 1 n n + − (1 ) 2 n − (1 ) 1 n n− − (1 ) 1 2! 1 n − (1 1 ) + 3! 1 n + − (1 ) 2 n − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1