第一章第四节连续函数连续性的定义函数的间断点三、连续函数的运算法则四、闭区间上连续函数的性质oleoolox机动自录上页下页返回结束
二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续 第一章 四、闭区间上连续函数的性质 三、连续函数的运算法则
函数连续性的定义定义：设函数=f(x)在 xo的某邻域内有定义，且lim f(x)=(xo)，则称函数 f(x)在x连续x→x0可见，函数f(x）在点xo连续必须具备下列条件(1）f(x)在点xo 有定义，即f(xo）存在：极限 lim f(x)存在;(2)x→>xolim f(x)= f(xo).(3)x→xo左连续、右连续、开区间内连续eo00x机动自录上页下页返回结束
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左连续、右连续、开区间内连续
且在α点右连续，b点左若f(x)在区间(α，b)内连续连续，则称它在[α，b]上连续,或称它为区间[α，b]上的连续函数.在闭区间[α,b]上的连续函数的集合记作 C[a,b]例如, P(x)=ao +aix+..+anxn（有理整函数）在（-80,+80）上连续P(x)又如，有理分式函数 R(x)Q(x)在其定义域内连续只要 Q(xo)±0, 都有 lim R(x)= R(xo)x-→>xol0ool0x机动目录上页下页返回结束
( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在区间(a , b )内连续, 且在 a 点右连续, b点左 连续, 则称它在[a , b ]上连续, 或称它为区间[a , b]上的 C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = → 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数
对自变量的增量△x=x-xo，有函数的增量Ay= f(x)- f(xo) = f(xo +△xr)- f(xo)函数f(x)在点xo连续有下列等价命题：lim f(x)= f(xo) lim f(xo +△x)= f(xo)△xr->0x→xoyy=f(x) lim △y=0A△x-→0二 f(xo)= f(xo)= f(xot)Ax左连续右连续x xXo0>0,>0,当x-x=x< 时,有f(x)-f(xo)=Ay<1eoo1ox机动自录上页下页返回结束
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明函数 y= sin x 在（-oo,+o）内连续证: Vx E(-0, +80)AxAX△y = sin(x +△x)-sinx = 2sinCOSC2△x[cos(×+)siny|=22△x →0△x1 =|△x≤202.lim △y= 0即Ax>0这说明y=sinx在（-80,+80）内连续，同样可证：函数y=cosx在（-0，+oo）内连续OeoD0机动目录上页下页返回结束
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数的间断点、设 f(x)在点 x。的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数 f(x)在点 x.不连续：(1)函数f(x)在xo无定义;(2)函数 f(x) 在 x虽有定义,但 lim f(x)不存在;x→xo(3)函数 f(x)在 xo虽有定义,且 lim f(x)存在，但x-→xolim f(x)± f(xo)x→>xo这样的点x。称为间断点oleo0x机动自录上页下页返回结束
在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
间断点分类：第一类间断点：f(xo）及 f(xot)均存在,若 f(x~）=f(xo)，称xo为可去间断点若f(xo）≠f(xo），称 x为跳跃间断点.第二类间断点f(xo)及 f(xo)中至少一个不存在,若其中有一个为0，称x为无穷间断点，若其中有一个为振荡，称x。为振荡间断点o0l00l0x机动目录上页下页返回结束
间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 0 x 若其中有一个为振荡 , 称 0 x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如：tanxV=l(l) y = tan x20x元为其无穷间断点，x =21Sr(2) = sin -xxxx=0 为其振荡间断点，yx? -1(3)=1x-1x=1为可去间断点.0x1oeoo0x机动目录上页下页返回结束
2 x = 为其无穷间断点 . x = 0 为其振荡间断点 . x =1为可去间断点 . o x y 1 例如: y = tan x 2 x y o x y x y 1 = sin 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x, x±ly(4) y= f(x)1x=1211显然 lim f(x)=1± f(1)[2x->l01xx=1为其可去间断点yx-1, x00x-1f(0t)=1f(0-)= -1,x=0 为其跳跃间断点.oeolox机动自录上页下页返回结束
1 lim ( ) 1 (1) 1 f x f x = → 显然 x =1 为其可去间断点 . = = = , 1 , 1 ( ) 2 1 x x x (4) y f x o x y 2 1 1 (5) + = − = = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x y f x x y o 1 −1 (0 ) = −1, − f (0 ) =1 + f x = 0 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习x--1间断点的类型1. 讨论函数f(x)=x?-3x+2答案：x=1是第一类可去间断点，x=2是第二类无穷间断点.xsin 1x<00时, f(x)为Xa=2.设f(x)=a+x?x≥0连续函数提示：f(0-)=0，f(0+)= f(0) =aα1eo0x机动自录上页下页返回结束
练习 1 2 sin , 0 ( ) , 0 x x x f x a x x = + , _ a = f (0 ) 0 , − = 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时, 提示: f (x)为 连续函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , f (0 ) + = f (0) = a