第1页高策数圣(1)数学是科学的大门和钢匙一培根第1章一函数、极限和连续第2章一导数与微分第3章一微分中值定理与导数应用第4章一一元函数积分学及其应用第5章一常微分方程课程小结
第 1 页 课程小结 第 5 章 — 常微分方程 第 4 章 — 一元函数积分学及其应用 第 3 章 — 微分中值定理与导数应用 第 2 章 — 导数与微分 第 1 章 — 函数、极限和连续
第2页课程的性质、任务和目的高等数学课程是理工科院校各专业学生必修的重要的基础理论课，在传授知识的同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生进一步学习后继课程打下扎实的基础
第 2 页 课程的性质、任务和目的 高等数学课程是理工科院校各专业学生必修的重要的基础 理论课,在传授知识的同时,通过各个教学环节逐步培养学 生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运 算能力和自学能力,特别注意培养学生具有综合运用所学 知识去分析问题和解决问题的能力,为学生进一步学习后 继课程打下扎实的基础
第3页第1章函数、极限和连续$1.1本章结构映射与函数$1.2极限$1.3极限存在准则及两个重要极限$1.4连续本章教学目的和要求理解函数、反函数、复合函数概念和特性，熟悉基本初等函数类型、性质及图形；掌握(左、右)极限概念及计算方法.掌握极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则熟练使用两个重要极限；理解无穷小与无穷大概念及关系，掌握无穷小比较，会用等价无穷小求极限，掌握极限与无穷小量之间的关系；理解函数连续的概念，了解并会判断间断点类型；掌握闭区间上连续函数的性质
第 3 页 第 1章 函数、极限和连续 本章结构 §1.1 映射与函数 §1.2 极限 §1.3 极限存在准则及两个重要极限 §1.4 连续 理解函数、反函数、复合函数概念和特性,熟悉基本初等 函数类型、性质及图形; 掌握 (左、右 )极限概念及计算方法.掌握极限存在准则 ( 夹 逼准则和单调有界准则),熟练使用两个重要极限; 理解无穷小与无穷大概念及关系,掌握无穷小比较,会用等 价无穷小求极限,掌握极限与无穷小量之间的关系; 理解函数连续的概念,了解并会判断间断点类型; 掌握闭区间上连续函数的性质. 本章教学目的和要求
第4页8 1.1映射与函数一、集合、区间及邻域1.集合、元素及基本运算集合(set)一具有某种属性的事物的总体,通常用大写字母A,B,C,...表示;元素(element)一组成集合的成员，通常用小写字母a,b,c,...表示.只含有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集.集合的表示方法：列举法和描述法，集合的基本运算：并、交、差、余及直积，2.区间区间类型：有限区间（开、闭、半开闭)和无限区间
第 4 页 1. 集合、元素及基本运算 集合 (set ) —具有某种属性的事物的总体,通常 用大写字母A,B,C,.表示;元素 (element ) —组成集 合的成员,通常用小写字母 a,b,c,.表示. 只含有限个元素的集合称为有限集,否则称为 无限集.集合的表示方法:列举法和描述法. 一 、集合、区间及邻域 §1.1 映射与函数 集合的基本运算: 并、交、差、余及直积. 2.区间 区间类型: 有限区间 (开、闭、半开闭 )和无限区间
第5页3.邻域以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记为U(a),85点a的S邻域：xa-oaa+dU(a,8)=xa-8<x<a+8)=[x x-a<886O点a去心8邻域：xa-saa+dU(a,8)={xa-8<x<a+8,x±a)={x0x-ak8点a的左 邻域:(α-,a)={xα-<x<a)点a的右8邻域：(a,a+)={xa<x<a+
第 5 页 3. 邻域 Ua xa x a x x a (,) | | 点 a去心 δ邻域: U a xa x a x a x x a (,) , 0| | 点 a 的 左 δ邻域: ( ,) a a xa x a 点 a 的 右 δ邻域: (, ) aa xa x a 以点 a为中心的任何开区间称为点 a的邻域,记为 U( a). 点 a 的 δ邻域: o
第6页二、 映射1.映射：设X,Y是两个非空集合，若存在一个对应规则f，使得任给xEX，有唯一确定的yEY与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X→YXXY称x为y在映射f下的原像，X为映射f的原像集；称y为x在映射f下的像,R,=(X)=(f(x)IxEX)为f的像集(是Y的子集）若任给x1,X,EX,X;±x2,有f(xi)≠f(x2),则称f为单射;若f(X)=Y，则称f为满射;若f既是满射又是单射,则称f为一一映射或双射
第 6 页 若任给 x1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x2 , 有f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) ,则称 f 为单射 ; 若f (X) =Y , 则称 f 为满射 ; 若f 既是满射又是 单射 ,则称 f 为一一映射 或双射. 二、映射 1. 映射: 设 X, Y 是两个非空集合 , 若存在一个对应规 则 f ,使得任给 x ∈ X , 有唯一确定的 y ∈ Y与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射 ,记作 f : X→Y. 称y 为 x在映射f 下的 像, Rf = f(X) = {f (x)| x ∈ X} 为f 的像集 ( 是Y 的子集 ) . 称 x 为 y在映射f 下的原像, X 为映射 f 的原像集; X x f y Y
第7页2.逆映射 设映射f:X-→f(X)为单射,则必存在/(X)→X的一个映射g，若对任给 yEf(X)有x =g(y)EX则称映射g为f的逆映射,记为g=f-1,即x=f-1(y)T习惯上记成.f(X)y= f-(x) , xE f(X)g=f-1设映射g:D→g(D)和f:D,→Y=f(D)3.复合映射则当 g(D)CD, 时,可定义由D到Y的复合映射，记作 y= [g(x)] 或 fog(x), xED.Y= f(D))gDg(x. y= f (u)=[g(x)]xg(D)1
第 7 页 2.逆映射 设映射f : X→f(X)为单射, 则必存在f(X) → X 若对任给 y ∈ f(X) 有x = g (y ) ∈ X 习惯上记成 1 y f ( ), ( ) x x f X X f ( ) X f g 则称映射g 为 f 的逆映射 ,记为 g = f -1 , 即 x = f -1 (y), 的一个映射g, 设映射 g : D → g (D) 和f : D 1 → Y = f(D 1 ) 则当 时,可定义由 D 到Y 的复合映射 , 记作 y = f [g (x ) ] 或 f○g (x ), x ∈D. )(D 1 Y f y f u)( f g x ])([ D1 D x xgu )( g f Dg )( f g 3. 复合映射 1 gD D ( ) 1 f
第8页三、函数1.函数与图形设D是实数集R=(-80,+8)的一个子集映射f: D→f(D)=R,,其中f(D)也是实数集R的子集,则称f为定义于实数集且取值为实数的[实|函数,称D为函数f的定义域,称f(D)为f的值域记为y=f(x),xED.其中x称为自变量,y称为因变量DX(D)平面R2=R×R上的点集(x,y)称为y函数y=(x)的图形JC= ((x,y)|y= f(x),xe D)CcD× f(D)bxaxD=[a,b]
第 8 页 设D是实数集R = ( - ∞,+ ∞ )的一个子集, 映射 f : D →f (D ) = Rf ,其中f (D )也是实数集 R的子集, 则称f 为定义于实数集且取值为实数的 [ 实 ]函数,称 D 为函数f 的定义域,称f (D ) 为f 的值域. C xy y f x x D ( , ) ( ), x y D [,] a b a x b y C D f ( ) D D × f(D ) C 三 、函数 记为 y =f (x), x ∈ D. 其中 x称为自变量, y称为因变量. 平面 R 2 = R × R上的点集 (x ,y )称为 函数y =f(x ) 的图形 . 1.函数与图形
第9页2.函数和曲线常值函数一因变量值保持不变的函数例如: y= π,xE(-00,+8)单值函数一对每个xED,仅有一个值y=f(x)与之对应.单值函数是因变量值被自变量唯一确定的函数例如: y= er,xE(-o,+8)曲线一点运动的轨迹例如：y=x;x2+2
第 9 页 2. 函数和曲线 常值函数—因变量值保持不变的函数. 单值函数—对每个x ∈ D,仅有一个值y =f(x )与之对应. 例如: y = ex , x ∈(- ∞,+ ∞ ) 曲线 —点运动的轨迹. 例如: y = x ; x 2 +y2 = 1 单值函数是因变量值被自变量 唯一确定的函数. 例如: y = π, x ∈(- ∞,+ ∞ )
第10页3.函数特性设函数=(x）的定义域为D1)奇偶性:(要求D对称)偶函数一任给xED恒有f(-x)=f(x)奇函数一任给xED恒有f(-x)=-f(x)①偶（奇函数之和为偶（奇）函数；②偶函数之积为偶函数；偶(奇)数个奇函数之积为偶(奇)函数;奇函数和偶函数之积为奇函数2)单调性:对任意实数x ED,X2 ED且x/(x2);单调不减:f(x)≤,(x2);单调不增:(x)≥(x2)
第 10 页 3.函数特性 1)奇偶性: (要求D 对称 ) 偶函数 —任给x ∈ D 恒有 f (-x) = f (x ) 奇函数 —任给x ∈ D 恒有 f (-x) = -f (x ) ① 偶 ( 奇 )函数之和为偶 ( 奇 )函数; ② 偶函数之积为偶函数; 偶 ( 奇 )数个奇函数之积为偶 ( 奇 )函数; 奇函数和偶函数之积为奇函数. 2)单调性: 对任意实数 x1 ∈D , x2 ∈ D 且x1 f(x 2); 单调不减: f(x 1 ) ≤ f(x 2) ; 单调不增: f(x 1 ) ≥ f(x 2). 设函数 y = f(x) 的定义域为 D