《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 导数与微分

第110页第2章导数与微分本章结构$2.1导数的基本概念$ 2.2导数的基本公式和求导法$2.3高阶导数、隐函数及由参数方程确定的函数的导数$ 2.4微分本章教学目的和要求理解导数的概念及儿何意义，会用定义求函数在一点处的导数，理解可导性与连续性的关系；熟练掌握基本初等函数的导数公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，掌握反函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法；理解左右导数的概念，会求分段函数的导数；理解微分概念及与可导的关系，掌握微分法则

第 110 页 第 2章 导数与微分 本章结构 §2.1 导数的基本概念 §2.2 导数的基本公式和求导法 §2.3 高阶导数、隐函数及由参数方程确定的函数的导数 §2.4 微分 理解导数的概念及几何意义,会用定义求函数在一点处的 导数,理解可导性与连续性的关系; 熟练掌握基本初等函数的导数公式、四则运算法则以及复 合函数的求导方法,掌握反函数、隐函数及由参数方程所确定的 函数的求导法; 理解左右导数的概念,会求分段函数的导数; 理解微分概念及与可导的关系,掌握微分法则. 本章教学目的和要求

第111页微积分学的创始人：牛顿（Newton，1642-1727)：伟大的英国数学家、物理学家、天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数（微分）术，次年又提出反流数（积分）术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书（1736年出版）.他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等。莱布尼兹（Leibniz.1646-1716）：德国数学家哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人，他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中，有的早于牛顿，所用微积分符号也远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机，系统地阐述二进制计数法并把它与中国的八卦联系起来

第 111 页 牛顿 (Newton,1642–1727):伟大的英国数 学家、物理学家、天文学家和自然科学家.他 在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665 年 他提出正流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数 (积分 ) 术 ,并于1671年完成《流数术与无穷级 数》一书 (1736年出版).他还著有《自然哲学 的数学原理》和《广义算术》等. 莱布尼兹 (Leibniz,1646 –1716 ):德国数学家、 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 ,他在 《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论 文中 ,有的早于牛顿 ,所用微积分符号也远优于 牛顿 .他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述 二进制计数法 ,并把它与中国的八卦联系起来. 微积分学的创始人 :

第112页82.1导数的概念导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出。一、两个引例1.变速直线运动的瞬时速度一物体作直线运动（例如自由落体运动）位置与时间的关系为 S=s(t),试确定物体在某时刻to的速度.从时刻t到时刻时间段内物体运动的平均速度为ss(to +△t)- s(to)V△t△tAss(to +△t) - s(to)在t时刻的瞬时速度为v= limlim△tNt>0Nt-0 △t

第 112 页 从时刻 t0到时刻 t时间段内物体运动的平均速度为 一、两个引例 1.变速直线运动的瞬时速度 一物体作直线运动 (例如自由落体运动 ) 0 0 s st t st ( ) () v t t         在 t0 时刻的瞬时速度为 0 0 0 0 ( ) () lim lim t t s s t t st v t t          位置与时间的关系为 s = s ( t),试确 定物体在某时刻 t0 的速度. §2.1 导数的概念 导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出

第113页2.平面曲线的切线斜率设连续函数y=f(x)的图形为一条曲线C,确定曲线C在点P(xoyo)处的切线yt在P的邻近取一点Q(xy);y= f(x) /则割线PQ的斜率为QTAy - f(xo +△x)-f(x)PCtan@:△xAxXox +△xx0当点O沿曲线C趋向于P割线αDPQ的极限位置称为曲线C在P点的切线，因此切线的斜率为f(xo +x)- f(x)Ay:limk = tanα = lim tan@ = limAr→0Ar-→0Ar-0 △xAx和称为函数的平均变化率以上两例中的△tAxr

第 113 页 以上两例中的 和 称为函数的平均变化率. 2.平面曲线的切线斜率 设连续函数 y =f (x )的图形为一条曲线 C,确定 曲线 C在点 P (x 0,y 0 )处的切线. 在P 的邻近取一点 Q (x,y), 则割线PQ的斜率为 0 0 ( ) () tan y f x x f x x x          当点 Q沿曲线 C趋向于 P,割线 PQ的极限位置称为曲线 C在 P 点的切线. 因此切线的斜率为 0 0 0 00 ( ) () tan lim tan lim lim x xx y f x x fx k x x               s y t x     x y o y  f ( x ) C   Q T 0 x P 0 x  x

第114页二、导数1.导数定义定义2.1.1设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义,当自变量x在xo处取得增量△x=x-xo,相应地函数y取得增量 △y=f(xo+△x)-f(xo),若极限= lim ( +Ax)-()存在limAxAr-0 △xAr-→0则说y=f(x)在xo处可导,此极限值称为函数y=f(x)在xo处的导数,记为f(x +△x)- f(x)Ayf'(x)= limlimAxAr→0Ar-0 △xf(x)-f(x)f(x +h)-f(x)= limlimhh-0X-x0x-Xo

第 114 页 二 、导数 1.导数定义 定义2.1.1 设函数 y =f (x) 在 x0 的某邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得增量 Δ x = x -x 0,相应地函数 y 取得增量 Δ y =f (x 0 + Δ x)-f (x 0),若极限 0 0 0 0 ( ) () lim lim x x y f x x fx   x x        则说 y =f (x) 在 x0 处可导,此极限值称为函数y =f (x) 在 x0 处的导数,记为 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim x x y f x x f x f x   x x         存在 0 00 0 0 0 ( ) ( ) () ( ) lim lim h xx f x h fx fx fx   h xx      

第115页若函数V=f(x)在区间I内的每一点都可导，则说函数f(x)在区间I内可导,即对任何xEI有f(x+△x)- f(x)(x) = lim 称为f(x)的导(函)数△xAx-→0df(x)dy可记为下列形式之一：Vdxdx导数描述函数随自变量增量的变化率！y42.导数的几何意义切线Jf()若y =f (x)在xo可导,则f (x)P(xo,J(o)在x0处的导数值表示曲线在法线P(xo,yo)处的切线斜率.x0Xo

第 115 页 若函数 y = f (x) 在区间 I 内的每一点都可导, 则说函数f (x) 在区间 I 内可导,即对任何x ∈ I 有 称为f (x ) 的 导 ( 函 ) 数 可记为下列形式之一: d d() ; ; d d y fx y x x  导数描述函数随自变量增量的变化率 ! 0 ( ) () ( ) limx f x x fx f x   x       2. 导数的几何意义 若y =f (x ) 在 x 0可导,则f (x ) 在 x 0处的导数值表示曲线在 P (x 0, y 0 )处的切线斜率

第116页导数在其它一些学科中的概念在生命科学中,设生物量(如身高、体重等)的生长速度为 y=f(x),则 f(x)/f(αx)称为相对生长速度；在经济管理中,设总成本函数为c=c(x),总收益函数为R=R(x),需求函数为D=D(p)(p为价格),则c(x）称为边际成本函数;R'(x）称为边际收益函数;D'(p)E[D(p)]:称为需求弹性函数pD(p)f(x)一般地,F(x)在x处的弹性定义为 E[f(x)] =Xf(x)

第 116 页 在生命科学中,设生物量 (如身高、体重等 )的生 长速度为 y = f(x),则 称为相对生长速度; 在经济管理中,设总成本函数为 c = c (x),总收益函 数为R = R (x),需求函数为 D = D (p)(p为价格), 则 c x ( ) 称为边际成本函数; R( ) x 称为边际收益函数;   称为需求弹性函数. ( ) ( ) ( ) D p E Dp p D p    一般地 , f (x ) 在 x处的弹性定义为   ( ) ( ) ( ) f x Efx x f x    f () () x f x 导数在其它一些学科中的概念:

第117页3.左、右导数定义f(x +h)- f(xo)定义2.1.2 若,lim存在,则称它为hh->0+0f(x)在x处的右导数,记为 f'(xo+O）或f*(xo)f(xo +h)- f(xo)若lim存在,则称它为hh-→>0-0f(x)在xo处的左导数,记为 f(x-O)或f'(xo)定理2.1.1 y=f(x)在xo处存在导数的充分必要条件是：f(x)的左、右导数存在且相等,即f(x +0)= f(x -0)= f(x)

第 117 页 3. 左、右导数定义 定义2.1.2 若 0 0 0 0 ( ) () lim h f x h fx   h   存在,则称它为 f (x ) 在 x0 处的右导数,记为 或 0 0 f ( 0) ( ) x fx     若 0 0 0 0 ( ) () lim h f x h fx   h   存在,则称它为 f (x ) 在 x0 处的左导数,记为 或 0 0 f ( 0) ( ) x fx     定理2.1.1 y =f (x ) 在 x 0处存在导数的充分必要条件是: f (x )的左 、右导数存在且相等,即 000 f  ( 0) ( 0) ( ) x fx fx   

第118页4.几个基本初等函数的导数(1).(C)= 0，其中C为常量(2).(sin x)' = cos x(3).(cos x)'= - sin x1(4).(log。 x) =(a >0,a ± 1))x ln a(In x)= =;(ln x)'= =xx(5).(x")'= nxn-l,(nE N+)(6).(a*)'= aα*lna,(a >0,a± 1); (e")'= e证明(1)(2)(3)(4)只需要利用导数定义即可证明

第 118 页 4. 几个基本初等函数的导数 1 (1).( ) 0 , (2).(sin ) cos (3).(cos ) sin 1 (4).(log ) , ( 0, 1); ln 1 1 (ln ) ;(ln ) (5).( ) ,( ) (6).( ) ln , ( 0, 1); (e ) e a n n x x xx C x x x x x aa x a x x x x x nx n N a a aa a                         证明 (1)(2)(3)(4)只需要利用导数定义即可证明. 其中 C为常量

第119页先求函数f(x)=xn在x=a处的导数证(5)x"-a"f(x)-f(a)=lim: f'(a) = limx-→>ax-ax-a x-a= lim(xn-1 + axn-2 +...+ an-l) = nan-1x>a:. f'(x) =(x")'= nxn-1一般地有,(x)=axa-l,(其中a为任意实数)请牢记a=-1和a=时的导数！q'+hah-1h-ar=ax Ina证(6)= lima"limhhh-→>0h-→0特别地有（e"）=e

第 119 页 一般地有, ,(其中 a为任意实数 ) 证(5) 先求函数 f (x) = x n 在x = a 处的导数 () () ( ) lim lim n n xa xa f x fa x a f a   x a xa         12 1 1 lim( ) nn n n x a x ax a n a          1 () ( ) n n f x x nx       1 ( ) a a x ax    请牢记 a = -1 和 a = ½ 时的导数 ! 证(6)   0 lim x h x x h a a a h      ln x  a a 0 1 lim h x h a a  h   (e ) e x x 特别地有  