第三章微分中值定理与导数的应用罗尔中值定理推广泰勒公式拉格朗日中值定理中值定理(第三节)柯西中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题
第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用
第三章第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、 拉格朗日(Lagrange)中值定理三、 柯西(Cauchy)中值定理oleoolox机动自录上页下页返回结束
一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 微分中值定理 第三章
一、罗尔(Rolle)定理费马(Fermat)引理y= f(x)在U(xo)有定义,_>f'(xo)=0且f(x)≤f(xo),f'(xo)存在y(或≥)证: 设Vxo +△x EU(xo),f(xo + △x)≤ f(xo):Xo x0f(xo +x)- f(xo)则 f'(xo)= limAxAr->0f(xo)≥0 (△x→0-)> f'(xo)= 0f*(xo)≤0 (△x -→0+)证毕oleo0x费马目录上页下页返回结束
费马(Fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
yy=f(x)罗尔(Rolle)定理y=f(αx)满足(1)在区间[a，bl上连续0xasb (2)在区间(α,b)内可导(3) f(a)=f(b)一>在(α,b)内至少存在一点 ,使 f()=0证:因f(x)在[a,b]上连续,故在[a，b]上取得最大值M和最小值m.若 M=m,则 f(x)=M, xE[a,bl因此Ve(a,b), f'()=0.oleoex机动自录上页下页返回结束
罗尔( Rolle)定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f () = 0. x y o a b y = f (x) 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m，则M和m中至少有一个与端点值不等不妨设 M f(a),则至少存在一点 (a,b),使f()= M,则由费马引理得 f()=0.注意：例如,1)定理条件不全具备，结论不一定成立y0≤x<1x,f(x0,x=10xyVf(x) = xf(x) = xx e[0,1]x E[-1,1]00xx1e000x机动目录上页下页返回结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f () = 0. 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1 x y −1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2）定理条件只是充分的.本定理可推广为y=f(x)在（a,b)内可导,且lim f(x)= lim f(x)x->a+x-→b一>在(α,b)内至少存在一点,使 f'()=0f(at),x=a证明提示：设 F(x)=(x),a<x<bx=bf(b-),证F(x)在[α,b] 上满足罗尔定理oleo0x机动目录上页下页返回结束
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 = → + lim f (x) x a lim f (x) x b → − 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)Rolle定理实质上是符合某种条件的“中间值S的的存在性”定理.但没有给出确定中间值的具体方法而对于一些特殊的函数，定理中也是可以确定的例如,1(1) f(x)x E[-2,2]1+x?(2) f(x) = sin xx E[O,元]1000X机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) Rolle定理实质上是符合某种条件的“中间值ξ的 2 1 (1) ( ) [ 2, 2] 1 f x x x = − + 的存在性”定理. 但没有给出确定中间值ξ的具体方法. 而对于一些特殊的函数, 定理中ξ也是可以确定的. 例如, (2) ( ) sin [0, ] f x x x =
例1. 证明方程 x-5x+1=0 有且仅有一个小于1的正实根.证: 1) 存在性设,f(x)=x2-5x+1,则f(x)在[0，11连续,且f(O)=1,f(I)=-3. 由介值定理知存在 xo E(O,1),使f(xo）=0，即方程有小于1的正根 xo .2)唯一性.假设另有xi(O,1), ≠xo,使f(xi)=0,： f(x)在以xo，Xi为端点的区间满足罗尔定理条件，：.在xo，xi之间至少存在一点 ,使f(S)=0.但 f(x)=5(x4-1)<0,xE(0,1),矛盾,故假设不真！oeo0x机动自录上页下页返回结束
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y= f(x)二、拉格朗日中值定理Vy=f(x)满足(1)在区间「α，bl上连续Ob x3a(2)在区间（α,b）内可导f(b)- f(a)1>至少存在一点 ε(a,b),使 f'()=b-a证:问题转化为证 (s)-()-()=0b-a0(x) = f(x) _ f(b)-f(a)作辅助函数Xb-aLagrange显然，の(x)在「α,bl上连续,在（α,b）内可导，且(a)=b(a)-af(b) =0(b),由罗尔定理知至少存在一点b-a=E(α,b),使β()=0,即定理结论成立.证毕olo0x拉氏自录上页下页返回结束
二、拉格朗日中值定理 ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = x y o a b y = f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . =(b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f 证毕
说明：1)定理的另一种表达形式：：E(αa,b),:可写成=α+(b-α) 0<<1,因此定理结论可写为: 存在(0,1) 使得 f(b)-f(a)=(b-a)f'[a+0(b-a))2)定理建立了 f(x)在[a,bl上的平均变化率f(b)- f(a)(整体性质)与,f(x)在(a,b)内某点导数f()b-a(局部性质)之间的联系3)定理证明方法：辅助函数法是一种重要的解题方法辅助函数也可构造为f(b)- f(a)F(x)= f(x)-[f(a)+a)lb-a4)定理条件是充分的，而非必要的0o0l0?机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理的另一种表达形式: ( , ), a b = + − a b a ( ) 0 1, (0,1) f b f a b a f a b a ( ) ( ) ( ) [ ( )] − = − + − f b f a ( ) ( ) b a − − f ( ) 可写成 因此定理结论可写为: 存在 使得 (整体性质)与 f (x)在(a , b)内某点导数 3) 定理证明方法: 辅助函数法是一种重要的解题方法. 2) 定理建立了 f (x) 在 [a , b] 上的平均变化率 辅助函数也可构造为: 4) 定理条件是充分的, 而非必要的. (局部性质)之间的联系. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )+ ( )] f b f a F x f x f a x a b a − = − − −