第三章第六节孤微分、曲率与切线的转角有关曲线的弯M曲程度M与曲线的弧长有关M主要内容：弧微分曲率及其计算公式一Aa三、曲率圆与曲率半径oeololox机动目录上页下页返回结束
第六节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 M M M 弧微分、曲率 第三章
一、弧微分y= f(x设f(x)在 (a,b)内有连续导数。 yMoM在y=f(x)上取固定点M(xo,Jo)作为度量弧长的基点规定：x增大的方向为曲线的0xxXo正向。对曲线上任一点 M(x,J),规定有向弧段M,M的值s:s的绝对值为弧段的长度当方向与曲线的正向一致时,s>0相反时,s<0。显然，s= s(x)是x的单调增加函数leD0x机动目录上页下页返回结束
M0 0 x M x s的绝对值为弧段的长度， 设 f ( x) 在 (a,b) 内有连续导数。 在 y = f (x) 上取固定点 ( , ) 0 0 0 M x y 作为度量弧长的基点， 规定： x 增大的方向为曲线的 正向。 对曲线上任一点 M( x, y), 相反时,s 0。 当方向与曲线的正向一致时,s 0; 显然， s = s(x) 是x的单调增加函数. y = f (x) o x y 规定有向弧段M0 M的值s： （ 一、 弧微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设 y=f(x)在(α,b)内有连续导数,其图形为 AByy= f(x)弧长 s= AM= s(x)PMAsMM'MM'AAyMAxMM'△xAxMM'/(△x)? +(Ay)0ax1bxMM△xx+△xMMMM'lim±1MMAx-0MM"As1 +(v): s'(x)= limAx->0 △Ax0000机动目录上页下页返回结束
设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s(x) x s M M M M = x M M M M M M = x x y + 2 2 ( ) ( ) M M M M = 2 1 ( ) x y + x s s x x = →0 ( ) lim 2 = 1+ ( y ) x A B y = f (x) a b x o y x M x + x M y lim 1 0 = → M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
s(x)= /1+(y)2x 或 ds = /(dx)2 +(dy)2ds = /1+(y)?dxx= x(t)若曲线由参数方程表示(y= y(t)ds = x2 + j? dt则弧长微分公式为yds =|MT几何意义：TIdyMdxdxdyasinα= cosα ;x x+dx xdsds000x机动自录上页下页返回结束
则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 = + ds 1 ( y ) dx 2 = + 或 2 2 ds = (dx) + (dy) x + dx dx o x y x M dy T 几何意义: ds = MT cos ; d d = s x sin d d = s y 若曲线由参数方程表示: = = ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束
曲率及其计算公式pM,1.曲率定义M2MM32MM'的长度为[AsN.NM切线转过的角度为△ααMM'的平均弯曲程度[AslAα即 平均曲率 KDAsM'当△s→0(即 M→M)时,△s平均曲率的极限称为曲线C在AQMAα点M处曲率MoK = limAsAs->0α+ααAαdα0若 lim存在，xK:AsAs-→0dsO0000x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式 s K s = → 0 lim ds d K = 2 1 + • M • M s 点M处曲率 1.曲率定义 • • • M1 M2 M3 M1 M2 • • • • N2 N1 M0 • s K = s 即 平均曲率 当 s →0 （即 M → M ）时， 平均曲率的极限称为曲线C在 s s → 0 若 lim 存在， o x y MM ' 的平均弯曲程度 切线转过的角度为 MM ' 的长度为 s
yAα=0,对于直线，△α=0,AsAsM从而MdaaK ::00xds例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率：解：如图所示，M'As=RAαOAAα1RK = limMR△s△s->0可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害：R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小0000机动自录上页下页返回结束
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s = R s K s = → 0 lim R 1 = 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . s R M M 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • • o x y s M M 对于直线， = 0, = 0, s = = 0 ds d K 从而
2.曲率K的计算公式dαK=设曲线弧 = f(x)二阶可导,则由ds元tanα=y"（设_<α<-22得α = arctan y'ydxdα = (arctan y)'dx又ds= /1+ y2 dxJ"K=故曲率计算公式为(1 + y2)%当"|<<1时,有曲率近似计算公式 K～|y"Oe000x机动目录上页下页返回结束
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 tan = y ) 2 2 ( 设 − 得 = arctan y d = (arctan y )dx 故曲率计算公式为 s K d d = 2 3 (1 ) 2 y y K + = K y 又 2. 曲率 K 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：x =@(t)(1)设曲线的参数方程为ly=y(t)β'(t)y"(t)-p"(t)y'(t)K则3/[β'2 (t) +y"2(t) (2) 若曲线方程为 x=β(y),则x"K=(1+x*2)%J"K=1 + y'2)2O10000x机动目录上页下页返回结束
说明: 2 3 (1 ) 2 y y K + = (2) 若曲线方程为 x =( y), 则 2 3 (1 ) 2 x x K + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 设曲线的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t 则 3/ 2 2 2 '( ) "( ) "( ) '( ) ' ( ) ' ( ) t t t t K t t − = +
例2计算xy=1在点(1,1)处的曲率21解x3Xx=2Y=x=12V21:K[1+(-1]]J22
例 2 计算xy = 1在点(1,1 )处的曲率. 解 x y 1 = 2 1x y = − 3 2x y = 1 1 = − x = y 2 1 = x = y ( ) 23 2 1 1 2 + − K = 21 = 22 =
1作缓和曲线例3.我国铁路常用立方抛物线16RI其中R是圆弧弯道的半径，1是缓和曲线的长度且 1<< R求此缓和曲线在其两个端点O(0,0),B(l处的曲率6R说明：铁路转弯时为保证行车平稳安全，离心力必须连续变化，因此铁道的曲率应连续变化点击图片任意处播放暂停oeollox机动目录上页下页返回结束
例3. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y = 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化