第一节第四章不定积分(4)：有理函数等的积分·基本积分法：直接积分法；换元积分法：分部积分法求导·初等函数初等函数积分本节内容有理函数的积分一、有可化为有理函数的积分olelollox机动目录上页下页返回结束
第一节 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分 不定积分(4): 有理函数等的积分 本节内容: 第四章
一、有理函数的积分有理函数P(x)+ar00R(x) :=boxm +b,xm-1Q(x)+b.m≤n时,R(x)为假分式; m>n 时,R(x)为真分式有理函数真分式多项式+相除分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为AMx+NN+,p2-4q<0)k(x2+px+g)a)hx-0o0l0x机动自录上页下页返回结束
一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0) 2 − + k p q 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束
真分式分解为部分分式一待定系数法(1)若O(x)有一个k重实根α,则分解式必含有以下分式AA,A,(x-a)k(x-a)x-a其中 A1,A2,,A为待定系数.(2)若Q(x)有一对k重共轭复根 α 和β,此时,Q(x)必有因子（x2＋ px+q)，其中x2 + px +q =(x-α)(x-β),(p2 -4q<0)则分解式必含有以下分式O0o010x机动目录上页下页返回结束
真分式分解为部分分式—待定系数法 1 2 2 ( ) ( ) k k A A A x a x a x a + + + − − − 1 2 , , , A A Ak 和 ， (1) 若Q(x)有一个k重实根a,则分解式必含有以下分式 (2) 若Q(x)有一对k重共轭复根 则分解式必含有以下分式 此时,Q(x)必有 2 ( ) , k x px q + + 2 2 x px q x x p q + + = − − − ( )( ),( 4 0). 其中 为待定系数. 因子 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束
则分解式必含有以下分式B,x+CB,x+C.x+(x? + px+q(x? +px+g)(x2 + px +g)其中 B,,C,,i=1,2,,k 为待定系数注：上述待定系数的求法:通分比较等式两端x同次幂幕的系数求得各个待定系数O0000?机动目录上页下页返回结束
1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) k k k B x C B x C B x C x px q x px q x px q + + + + + + + + + + + + , , 1,2, , B C i k i i = 则分解式必含有以下分式 其中 为待定系数. 注: 上述待定系数的求法:通分比较等式两端 x 同次 机动 目录 上页 下页 返回 结束 幂的系数,求得各个待定系数
四种典型部分分式的积分：Adx = Alnx-a+Cx-aAA+C (n+l)2dx1-nMx+N3dx变分子为2x2+ px+q(2x+p)+N_Mp2Mx+Ndx再分项积分(x? + px +q)可建立其(p2-4q<0,n1)递推公式000机动目录上页下页返回结束
四种典型部分分式的积分: = Aln x − a +C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1 − x x a A 1. d − x x a A n d ( ) 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 + + + x x px q M x N 3. d 2 + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分 可建立其 递推公式
2x+2dx例1.求积分I=(x-1)(x2 +1)A2x+2B,x+CB,x+C解.设(x-1)(x2 +1)2x2 +1(x2 +1)x-1右边通分，比较两端分子同次幂系数，则有A+B, =0解得:Ci -B, = 0A= 1, B, = -1,C( = -12A+B, +B, -C, = 0B, = -2,C2 = 0Ci - B, +C2 - B, = 2A-C -C, = 22xdxx+1dx所以I+1)+1=ln(1 + x2)+C=ln)-arctanx-1 +x?2
例1. 求积分 2 2 2 2 ( 1)( 1) x I dx x x + = − + 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 1 ( 1) x A B x C B x C x x x x x + + + = + + − + − + + 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 2 0 2 2 A B C B A B B C C B C B A C C + = − = + + − = − + − = − − = 1 1 2 2 1, 1, 1 2, 0 A B C B C = = − = − = − = 2 2 2 1 2 1 1 ( 1) dx x x I dx dx x x x + = − − − + + 2 2 1 1 ln | 1| ln(1 ) arctan 2 1 x x x C x = − − + − + + + 解. 设 右边通分, 比较两端分子同次幂系数, 则有 所以 解得:
练习.将下列真分式分解为部分分式：11x+3(1)(3)(2)12(1+ 2x)(1+ x2)x(x-1)2-5x+6解：（1）用拼凑法111x-(x-1)x(x-1)2x(x-1)2(x-1)2x(x-1)1x-(x-1)(x-1)2x(x-1)111(x-1)2x-1x10000x机动目录上页下页返回结束
练习. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)用赋值法BAx+3x+3x2_5x+6x-2x-3(x-2)(x-3)x+3A=(x-2)·原式x=2 =-5x=2x-3x+3= 6B=(x-3)·原式x=3x=3x-26.-5原式=故x-2x-3O10000x机动目录上页下页返回结束
(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)混合法A1Bx + C21+2x(1 +2x)(1 + x2)1+ x4A=(1+2x)·原式15x=2分别令x=0,1代入等式两端24B+C5514B+C1+52615412x-1原式25L 1+2x1+ x-O0o00X机动自录上页下页返回结束
(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1 + + − − 2 1 2 1 x x
dx例2.求(1 + 2x)(1 + x2)解：已知142x22(1 + 2x)(1 + x2)5L1+2x1-1+xx2dxd(1 + x2 rd(1 + 2x)：原式225J5:1+2x5.1+x+x2=arctan x + C5550D0O例1(3）目录上页下页返回结束
例2. 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + − + + 2 1 1 x + + = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln(1 ) 5 1 2 − + x + arctan x +C 5 1 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束