第一节第四章不定积分（3)：分部积分法(uv)'= u'v +uv由导数公式积分得：u'vdx + I uv'dxuv =uv'dx = uv - [ u'vdx分部积分公式或{ud=v-{vdu选取u及v'(或dv)的原则：1）容易求得；2)「u'vdx比「uv'dx容易计算olelollox机动目录上页下页返回结束
第一节 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分(3): 分部积分法 第四章
分部积分法的应用1.用于求形如：J p,(x)e*dx, J p,(x)sinmxdx, p,(x)cos mxdx,的不定积分.常令 u= p,(x)Ixcos x dx.例1.求解：令 u= x，v'=cosx,则 u'=l, v=sinxI sin x dx： 原式 =xsinx -1= xsin x+cosx +CO0000x机动目录上页下页返回结束
例1. 求 ( ) , ( )sin , ( )cos , ax p x e dx p x mxdx p x mxdx n n n 解: 令 u = x, v = cos x, 则 u =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法的应用 1. 用于求形如： 的不定积分. 常令 ( ) n u p x =
例2.求「xe*dx提示:令 u= x，dv=edx.x'sin xdx?思考：如何求提示:令u= x2, '= sin x,则原式 =-x2 cosx +2[xcos xdxOe000x机动目录上页下页返回结束
思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 x xe dx 提示: 令 u x = , , x dv e dx =
2.用于求形如：J p,(x)In xdx, J p,(x)arcsin xdx, J p,(x)arctan xdx,等的不定积分.常令dv= p,(x)dx例3. 求[x ln xdx.解：令 u=lnx，v'=x115则ZVX2x12原式dxXX22112+CXX.X24O10000x机动自录上页下页返回结束
例3. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, v = x 则 , 1 x u = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )ln , ( )arcsin , ( )arctan , n n n p x xdx p x xdx p x xdx 2. 用于求形如： 等的不定积分. 常令 ( ) n dv p x dx =
例4. 求[ x arctan x dx.解:令 u= arctanx, v'= x112则uV=-x221+ x212.原式dxarctan x+22X112dxarctan xX22+x12 arctan x)+Carctan xXA22oAo00x机动目录上页下页返回结束
例4. 求 x arctan x dx. 解: 令 u = arctan x, v = x 则 , 1 1 2 x u + = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 求[arccos x dx.解：令u=arccosx，v'=1,则7V=xxdx原式= xarccos x -反：反三角函数[(1 - x2)2d(1-x2)=xarccos x对：对数函数幂：幂函数= xarccos x- /1-x2 +C指：指数函数三：三角函数选取u及v的一般方法：注：解题技巧把被积函数视为两个函数之积，按安“反对幂指三”的顺序,前者为 u后者为 v'Oe00x机动自录上页下页返回结束
例5. 求 解: 令 u = arccos x, v =1 , 则 , 2 1 1 x u − = − v = x 原式 = x arccos x − + x x x d 2 1 = x arccos x (1 ) d(1 ) 2 2 2 1 2 1 − − − − x x = x arccos x− − x +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 解题技巧 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 u 后者为 v . 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
icosx例6.求dxr2cos"x1,则解：令 u=lncosx,v'2cos"xu'=-tanx, v=tanxtan’ x dx原式 = tanx·lncosx +I (sec2 x - 1)dx= tanx· lncosx += tanx·lncosx +tanx-x +C000x机动目录上页下页返回结束
例6. 求 解: 令 u = lncos x, x v 2 cos 1 = , 则 u = −tan x, v = tan x 原式 = tan x lncos x + tan x dx 2 = tan x lncos x + (sec x −1) dx 2 = tan x lncos x + tan x − x +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.求ex dx.解：令/x=t,则x=t2,dx=2tdt原式=2[te'dtl令u=t,v=ei=2(te'-e') +C=2e/x(/x-1)+CleD0x机动目录上页下页返回结束
例7. 求 解: 令 x = t, 则 , 2 x = t dx = 2t d t 原式 t e t t 2 d = t = 2(t e e x C x = 2 ( −1) + u = t , t v = e ) t − e +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令
3.求形如：e sin bxdx,「e cos bxdx 等的不定积分,常通过“循环”求不定积分例8.求[e* sin xdx.解:令u=sinx，v'=ex,则 u=cosx，=e: 原式=e*sinx -[e*cos xdx再令u=cosx，=ex,则u'=-sinx, v=ex=e" sinx -e" cos x- [e" sinxdx故原式= e*(sinx-cos x)+C说明：也可设u=e,'为三角函数，但两次所设类型o0000x必须一致机动目录上页下页返回结束
例8. 求 e sin x dx. x 解: 令 u = sin x, x v = e , 则 u = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v = e , 则 u = −sin x, x v = e e x x = sin − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin , cos ax ax e bxdx e bxdx 3. 求形如： 等的不定积分, 常通过“循环”求不定积分
例9. 求「/x2 +α2 dx (a>0).x解：令u=x2+α2,=l,则u=V=x2Vx.2x[/x?+a? dx=x/x?+α?dxa(x=x/x2+α2 dx210dxIx?+a? dx +a=xVx~+α?.0x2+a21O22-ln(x+/x?+α?)+C：原式xx+a22思考.求「sec’xdxO0000x机动自录上页下页返回结束
例9. 求 解: 令 , 2 2 u = x + a v =1, 则 , 2 2 x a x u + = v = x 2 2 x x + a + − x x a x d 2 2 2 2 2 = x x + a + + − − x x a x a a d 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 = x x + a − x + a dx 2 2 + + 2 2 2 d x a x a ∴ 原式 = 2 2 2 1 x x + a x x a C a + ln( + + ) + 2 2 2 2 + = x a dx 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考. 求 3 sec xdx