第三章第五节曲线的凹凸性与函数作图曲线的凹凸性一、 由曲线的渐近线二、三、函数图形的描绘1000x机动目录上页下页返回结束
第五节 二、 曲线的渐近线 三、 函数图形的描绘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线的凹凸性与函数作图 第三章 一、 曲线的凹凸性
一、曲线的凹凸性与拐点定义.设函数f(x)在区间I上连续,Vxi,x2 EIf(xi)+ f(x2)(1 +x2)则称f(αx)的(1)若恒有,22图形是凹的f(xi)+ f(x2)(2)若恒有f(+)则称f(x)的22图形是凸的y连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点0xOeloo0?机动目录上页下页返回结束
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 一、曲线的凹凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.(凹凸判定法)设函数f(x)在区间I上有二阶导数(1)在I内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的：±/(2)在I内f"(x)0时, f(xi)+f(x2)+X2f(i说明(1)成立22证毕(2)O0000x机动目录上页下页返回结束
定理1.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕
例1.判断曲线=x^的凹凸性解: y'= 4x3,y"=12x2当x±0时，y">0;x=0时,y"=00x故曲线=x4在（-0,+8）上是向上凹的说明：1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号则曲线的凹凸性不变。根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下2）若曲线y=f(x)在点xo连续,f"(xo)=0或不存在但f"(x)在xo两侧异号则点(xo,f(xo）)是曲线y=f(x)的一个拐点OeD0X机动自录上页下页返回结束
例1. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y = x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求曲线V=3/x的拐点解: y'=1x%, "=--x%0(0,+ 80)(-80,0)xJ"+不存在凹y凸0V因此点（00）为曲线=3/x的拐点x0O0000x机动目录上页下页返回结束
例2. 求曲线 的拐点. 解: , 3 2 3 1 − y = x 3 5 9 2 − y = − x x y y (−,0) 0 (0,+ ) 不存在 0 + − 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求曲线V=3x4-4x3+1的凹凸区间及拐点解：1)求y"y'=12x3 -12x2, y"=36x2 -24Y2)求拐点可疑点坐标(0,) (号,27)令"=0 得 =0,X2=,对应xO23)列表判别323(0,3)0(3, +0)x(-8,0)00+J"1+11凹1凸 y冏凹27故该曲线在（-0,0)及(,+)上向上凹,在(0,)上向上凸，点（0，1）及（,)均为拐点eo010x机动自录上页下页返回结束
36 ( ) 3 2 = x x − 例3. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y 12 12 , 3 2 y = x − x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 列表判别 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 + y x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 + 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 在(0, 3 2 )上 凹 凸 凹 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2
曲线的渐近线二、定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线yty= f(x)或为“纵坐标差CM=kx+bPN21x21例如，双曲线xa0xyY=0有渐近线Xbax但抛物线V=x?无渐近线。O10000?机动自录上页下页返回结束
无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 二、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x +b M x y o C y = f (x) P x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.水平与铅直渐近线若 lim f(x)=b,则曲线 y=f(x)有水平渐近线 y=bx>+8(或x→-8)若 lim f(x)=oo,则曲线 y=f(x)有垂直渐近线 x=xo .x-→>x0(或x→)1例1.求曲线y=+2的渐近线，x-1解：：lim (+2)=x-→0 x-1：y=2为水平渐近线12)=80，：x=1为垂直渐近线limx-1 x-100x机动目录上页下页返回结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或x → −) 若 则曲线 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x − y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + = x→ x − x =1 为垂直渐近线. 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.斜渐近线若 lim [f(x)-(kx+b)]=0,则曲线 =f(x)有x→+8斜渐近线y=kx+b(或x→-8)lim [f(x)- (kx+b)]=0bXx>+k=11m拉xxx-→>+8f(x)1k = limxxx-→+8xx-→>+8(或x→-8)6xb= lim [f(x)-kx]1xxx—→>+8x→>+8(或x→-8)O0000X机动自录上页下页返回结束
2. 斜渐近线 斜渐近线 y = kx + b. (或x → −) 若 (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x x (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+ = b lim [ f (x) kx] x = − →+ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (或x → −) (或x → −)
ts例2.求曲线y=2+2x-3的渐近线2f解: ： y=(x+3)(x-1)"lim y=o0,x-→-3y=x-2x(或x→l)3所以有铅直渐近线x=-3及x=1ff(x)又因 k = limlim12x→0 x2 + 2x -3xx->80-2x2 +3x=-2b= lim[f(x)-x] = lim2x→0 x2 + 2x- 3x->8=x-2为曲线的斜渐近线000x机动目录上页下页返回结束
例2. 求曲线 的渐近线 . 解: , ( 3)( 1) 3 + − = x x x y lim , 3 = →− y x (或x →1) 所以有铅直渐近线 x = −3 及 x =1 又因 x f x k x ( ) lim → = 2 3 lim 2 2 + − = → x x x x b lim[ f (x) x] x = − → 2 3 2 3 lim 2 2 + − − + = → x x x x x y = x − 2为曲线的斜渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −3 1 y = x − 2