《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 一元函数积分学及其应用

第268页第4章一元函数积分学及其应用$4.1本章结构不定积分$4.2定积分$4.3定积分应用本章教学目的和要求理解原函数与不定积分概念及关系，了解原函数存在定理.熟练掌握不定积分和定积分基本公式、两类换元法和分部积分法.会求简单有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.理解定积分的概念与几何意义，了解可积条件.掌握牛顿一菜布尼茨公式.掌握变上下限定积分求导数方法.理解两类反常积分的概念并掌握其计算方法.掌握定积分几何应用和物理应用，了解定积分近似计算法

第 268 页 本章结构 §4.1 不定积分 §4.2 定积分 §4.3 定积分应用 第 4章 一元函数积分学及其应用 理解原函数与不定积分概念及关系,了解原函数存在 定理.熟练掌握不定积分和定积分基本公式 、两类换元法 和分部积分法.会求简单有理函数 、三角函数有理式及简 单无理函数的积分.理解定积分的概念与几何意义,了解可 积条件.掌握牛顿 —莱布尼茨公式.掌握变上下限定积分求 导数方法.理解两类反常积分的概念并掌握其计算方法.掌 握定积分几何应用和物理应用,了解定积分近似计算法. 本章教学目的和要求

第269页84.1不定积分一、不定积分的概念与性质1.原函数的定义定义4.1.1设函数f(x)在区间I上有定义,若存在 1内的可导函数F(x),对任一xEI都有F'(x)= f(x)或 dF(x)= f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间 I 上的一个原函数例如：sinx是cosx的一个原函数；1In(x+ /1+x?是的一个原函数V1+x?

第 269 页 §4.1 不定积分 一 、不定积分的概念与性质 1.原函数的定义 定义4.1.1 设函数f (x )在区间 I上有定义,若存在 I 内的可导函数F(x),对任一 x ∈ I 都有 F( ) ( ) d ( ) ( )d x fx Fx fx x   则称 F(x ) 为f (x )在区间 I 上的一个原函数. 例如: sinx 是cosx的一个原函数;   2 2 1 ln 1 1 x x x    是 的一个原函数 或

第270页定理4.1.1（原函数存在定理）若f(x）在区间I上连续，则f(x）在I上必有原函数即存在区间I上的可导函数F(x),使得对任一xEI有F'(x)= f(x)注1 若f (x)有一个原函数F(x),则F(x)+C为f (x)的任意一个原函数,其中C为任意常数注2 若F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数,则F(x)-G(x) = C(常数)注3原函数不仅连续，而且可导

第 270 页 定理4.1.1(原函数存在定理 ) 若f (x )在区间 I 上连续,则f (x) 在 I 上必有原函数, 即存在区间 I 上的可导函数F(x),使得对任一x ∈ I 有 F x () ()  f x 注 1 若f (x )有一个原函数 F(x), 则 F(x ) + C 为f (x )的任意 一个原函数,其中 C 为任意常数. 注 2 若 F(x ) 与 G (x )都为f (x )在区间 I 上的原函数,则 F(x)- G (x) = C (常数 ) 注3 原函数不仅连续,而且可导

第271页2.不定积分的定义定义4.1.2 f(x)在区间 I上的所有原函数称为f(x)[f(x)dx在I上的不定积分，记为称『为积分号,(x)为被积函数,x为积分变量,f(x)dx为被积表达式原函数与不定积分的关系：不定积分是原函数的集合原函数是该集合中的一个元素.注1:若F(x) 为f(x) 的一个原函数,则(f(x)dx= F(x)+Cd[f(x)dx=f(x); (dx= x+C注2:dx[F'(x)dx= [dF(x)= F(x)+C;

第 271 页 2.不定积分的定义 定义4.1.2 f (x )在区间 I上的所有原函数称为f (x ) 在 I上的不定积分,记为 f ( )d x x  注 1:若 F(x) 为f (x) 的一个原函数,则 f ( )d ( ) x x Fx C    原函数与不定积分的关系:不定积分是原函数的集合, 原函数是该集合中的一个元素. 称 ∫ 为积分号, f (x) 为被积函数, x 为积分变量, f (x)d x 为被积表达式. 注2 : d ( )d ( ); d d ( )d d ( ) ( ) ; f x x fx x x C x F x x Fx Fx C          

第272页3.不定积分的基本性质设f(x)和g(x)的不定积分均存在,则1),[f(x)±g(x)]dx =[ f(x)dx± [ g(x)dx2),[C f(x)dx =CJ f(x)dx,(C ± 0常量)合并可推广n个函数得线性性质(C1...,C,不全为0)Z[c, f.(x)dx[E[C,· f(x)]dx = i=l

第 272 页 3.不定积分的基本性质 1). ( ) ( ) d ( )d ( )d  f x gx x f x x gx x       2). ( )d ( )d , 0 Cf x x C f x x C       合并可推广 n个函数得线性性质 ( C1,., Cn不全为0 )   1 1 ( ) d ( )d n n ii i i i i C fx x C fxx             常量 设f(x ) 和 g (x )的不定积分均存在,则

第273页4.基本积分公式--x)[kdx= kx+C,(k为常量)+Carctanaa9+1adxa+x+C,(a±-1)-Ca+12aa-xOe"dx=e'+C+C,1dxa-x一+CdxInIna2aa+xIn|x|+C10)[ sin xdx = -cos x+Cx11) cos xdx = sin x+C5dx = arcsin=+Ca12)[ tan xdx = -Iln |cos x| +C6) [dx=In/x+Vx13)[cot xdx = In| sin x|+C+a力

第 273 页 4.基本积分公式 1 2 2 2 2 2 2 1) d , 2) d ,( 1) 1 3) d , e d e ln 1 4) d ln | | 1 5) d arcsin 1 6) d ln a a x x xx k x kx C x x x Ca a a ax C x C a x xC x x x C a x a x x xa C x a                           2 2 2 2 2 2 1 1 7) d arctan 1 1 8) d ln 2 1 1 9) d ln 2 10) sin d cos 11) cos d sin 12) tan d ln | cos | 13) cot d ln | sin | x x C ax a a a x x C a x a ax a x x C x a a ax xx x C xx x C xx x C xx x C                             ( k为常量 )

第274页14) [ sec xdx = In sec x + tan x|+C15) [ csc xdx = In|csc x -cot x| +C-dx = [ csc2 xdx =-cot x+C16sin' x1dx = [sec’ xdx = tan x+C17cos? x18) [ sec x tan xdx = sec x+C19) [ csc x cot xdx = -csc x+C20) [ sh xdx = ch x +C21) [ch xdx = sh x +C

第 274 页 2 2 2 2 14) sec d ln sec tan 15) csc d ln csc cot 1 16) d csc d cot sin 1 17) d sec d tan cos 18) sec tan d sec 19) csc cot d csc 20) sh d ch 21) ch d sh xx x x C xx x x C x xx x C x x xx x C x x xx x C x xx x C xx x C xx x C                           

第275页2(x-1),x<1例4.1.1（2016考研）已知函数f(x)=lnx,x≥1).则凡x)的一个原函数为((x-1)2,x<1解首先验证(A).F(x) =x(ln x-1), x ≥1F'(x)= f(x)(x-1),x<1只有(A)和(D)满足(B).F(x) =x(ln x+1)-1, x ≥1其次验证F(x)在(x-1),x<1x=1处的连续性(C).F(x) =x(ln x+1)+1, x ≥1只有(D)满足(x-1),x<1(D).F(x) =x(lnx-l)+1, x ≥1

第 275 页 例4.1.1 (2016考研 ) 已知函数 2( 1), 1 ( ) ln , 1 x x f x x x        则f(x )的一个原函数为( ). 2 2 2 2 ( 1) , 1 (A). ( ) (ln 1), 1 ( 1) , 1 (B). ( ) (ln 1) 1, 1 ( 1) , 1 (C). ( ) (ln 1) 1, 1 ( 1) , 1 (D). ( ) (ln 1) 1, 1 x x F x xx x x x F x xx x x x F x xx x x x F x xx x                                    解 首先验证 Fx fx () ()  只有(A) 和(D)满足 其次验证 F(x ) 在 x = 1处的连续性 只有(D)满足

第276页例4.1.2计算不定积分31021.J Vx(x2 -5)dx=[xdx-5J xdx=2r22 +Cr37-1)31Xdxx-3+X.2.2xxx2x3x+31n|x|+1+C2x3.[(e*-3cos x +2*e*)dx[e* dx -3′ cos xdx + [(2e)*dx(2e)*+C=e*-3sinx+In(2 e)

第 276 页 2 3 1 x 3 dx x x           2 1 3 3ln 2 x x x C x     3. (e 3cos 2 e )d x xx  x x  e d 3 cos d (2e) d x x   x xx x    (2e) e 3sin ln(2e) x x   x C   例4.1.2 计算不定积分 2 1. ( 5)d x x x   5 1 2 2   xx xx d5 d   7 3 2 2 2 10 7 3  x xC   3 2 ( 1) 2. d x x x  

第277页Xdxx(1 + x2)(dx = Inx|+ arctan x +C+X5.[ tan2 xdx = [(sec2 x-1)dx=[ sec'xdx-[dx = tanx-x+C-coSx6.J sin?≥dx (J dx -J cos xdxdx222(x-sinx)+C

第 277 页 2 2 (1 ) d (1 ) x x x x x      2 1 1 d d 1 x x x x       ln| | arctan x xC   2 5. tan dx x  2   (sec 1)d x x  2   sec d d x x x    tan x  x C 2 6. sin d 2 x x  1 cos d 2 x x      1 d cos d 2  x x x   1 ( sin ) 2  x   x C 2 2 1 4. d (1 ) x x x x x    