第173页第3章微分中值定理与导数的应用本章结构$3.1微分中值定理$3.2洛必达法则$3.3泰勒中值定理$3.4函数的单调性、极值和最值$3.5函数的凹凸性和函数作图$3.6弧微分和曲率
第 173 页 本章结构 §3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒中值定理 §3.4 函数的单调性、极值和最值 §3.5 函数的凹凸性和函数作图 §3.6 弧微分和曲率 第 3章 微分中值定理与导数的应用
第174页本章教学目的和要求了解罗尔中值定理、理解拉格朗日中值定理及它们的几何意义，理解泰勒定理.会用罗尔中值定理证明方程根的存在性；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式和等式了解柯西中值定理，熟练掌握洛必达法则.掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式，理解函数极值的概念，掌握求函数的极值（必要性和充分条件)和最值的方法，并且会解简单的应用问题会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点，会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线和斜渐近线，会描绘简单函数的图形，了解曲率和曲率半径概念，会计算曲率和曲率半径
第 174 页 了解罗尔中值定理 、理解拉格朗日中值定理及它们的 几何意义,理解泰勒定理.会用罗尔中值定理证明方程根的 存在性;会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式和等式. 了解柯西中值定理,熟练掌握洛必达法则. 掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增 、减区 间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式. 理解函数极值的概念,掌握求函数的极值 (必要性和充 分条件 )和最值的方法,并且会解简单的应用问题. 会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点. 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线和斜渐近线. 会描绘简单函数的图形. 了解曲率和曲率半径概念,会计算曲率和曲率半径． 本章教学目的和要求
第175页83.1微分中值定理一、费马(Pierre de Fermat)定理设f(x)在xo的某邻域U(xo)内有定义且在xo处可导,若对任意xEU(xo)有f(x)≤f(xo或 f(x)≥f(xo), 则 f'(xo)=O证明不妨设x EU(xo) 时 f(x)≤f(xo)则对xo+ △xEU(xo)有 y =f(x+△x) -f(x)≤0Ay≤0; f(x0)= lim=→ fi(x)= lim >0Ax→0+△AxAr→0-△xf(x)= fi(x) = f'(x)= 0U
第 175 页 §3.1 微分中值定理 一 、费马 (Pierre de Fermat )定理 设f (x ) 在 x0 的某邻域 U(x 0 )内有定义且 在 x 0处可导,若对任意 x ∈ U(x 0 ) 有f (x ) ≤f (x 0 ) 或 f (x ) ≥f (x 0), 则 0 f x ()0 证明 不妨设x ∈ U(x 0) 时 f (x ) ≤f (x 0 ) 则对x 0 + Δ x ∈ U(x 0 ) 有 Δ y =f (x 0 + Δ x) - f (x 0 ) ≤ 0 0 0 0 0 ( ) lim 0 ; ( ) lim 0 x x y y fx fx x x 000 fx fx fx () () ()0
第176页二、 罗尔(Roll)定理若函数f(x)满足以下罗尔条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；几何意义(2)在开区间(a,b)内可微(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)则至少存在一点 E(a,b),使得 f'()=0证明由f(x) E C[a,b]知f(x)在[a,b]上可取得其最大值M和最小值m.(1)若M=m,则 f(x)在[a,b]上为常数,故 f(x)= 0:. V=e(a,b) = f'()=0
第 176 页 二、罗尔 (Roll )定理 若函数 f (x) 满足以下罗尔条件: (1)在闭区间 [ a,b ]上连续 ； (2)在开区间 ( a,b )内可微 ； (3)在区间端点处的函数值相等,即f ( a)=f ( b ) 则至少存在一点 ξ ∈ ( a,b),使得 f ( ) 0 证明 由f (x) ∈ C [ a,b ] 知f (x) 在 [ a,b ]上可取得其最 大值 M 和最小值 m . (1) 若 M= m,则 f (x) 在 [ a,b ]上为常数,故 f ( x ) 0 ( ,) () 0 ab f 几何意义
第177页(2)若M>m,则最大值M与最小值m至少有一个不等于f(x)在区间端点处的函数值不妨设M>f(a)=f(b),因此至少存在一点E (a,b),使得f()=M.:. V xE(a,b), f(x)≤ f()由费马定理得f'()=0注：罗尔条件是结论成立的充分条件，不是必要条件例如 f(x)=x2 -2x-3C[-1,2]f'(1)= 0但 f(-1)=0± f(2)=3
第 177 页 (2) 若M > m,则最大值M与最小值 m至少有一个 不等于f (x ) 在区间端点处的函数值 x ( , ), ( ) ( ) ab fx f 不妨设M > f ( a)=f ( b),因此至少存在一点 ξ ∈ ( a,b),使得 f ( ξ) = M f () 0 注:罗尔条件是结论成立的充分条件,不是必要条件 2 fx x x C ( ) 2 3 [ 1,2] f (1) 0 由费马定理得 例如 但 f f ( 1) 0 (2) 3
第178页三、拉格朗日(Lagrange)中值定理(中值公式)若函数f(x)满足以下拉格朗日条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可微则至少存在一点 E(a,b),使得f(b)- f(a)= f()(b-a)或 f(s)=f(b)-f(a)b-a几何意义拉格朗日中值公式的变形（有限增量公式）：f(x+△r)- f(x)= f'()Ax = f(x+0. △x)△x三介于x与x+△r之间,0<日<1f(a)=f(b）时即为Roll定理
第 178 页 三 、拉格朗日 (Lagrange )中值定理 (中值公式) 若函数f (x )满足以下拉格朗日条件: (1) 在闭区间 [ a,b ]上连续; (2) 在开区间 ( a,b )内可微. 则至少存在一点 ξ ∈ ( a,b),使得 f ( ) ( ) ( )( ) b f a f b a 几何意义 f( a)=f( b )时即为Roll定理 () () ( ) f b fa f b a 拉格朗日中值公式的变形 (有限增量公式): fx x fx f x f x x x ( ) () () ( ) 或 ξ介于 x 与 x + △ x之间,0< θ<1
第179页f(b)- f(a)设 F(x)= f(x)-f(a)证法1b-a则F(a)=F(b)=0,F(x)在[a,b]上满足Roll条件故至少存在一点 E(a,b),使得 F'()=0f(b)-f(a)= f(3)=,5e(a,b)b-af(b)-f(a)证法2 设 F(x)= f(x)Xb-aF(x)在[a,b]上满足Roll条件,由Roll定理即得推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,则f(x)在区间I上是一个常数
第 179 页 则 F( a ) = F( b ) =0, F(x ) 在 [ a,b ]上满足Roll条件 故至少存在一点 ξ ∈ ( a,b ),使得 F() 0 () () () , ( ,) fb fa f a b b a 证法 1 设 () () () () () ( ) fb fa F x fx fa x a b a () () () () f b f a F x f x x b a 证法 2 设 F(x ) 在 [ a,b ]上满足Roll条件 , 由Roll定理即得 . 推论 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零,则 f (x) 在区间 I 上是一个常数
第180页0)例3.1.1证明(I)sinx≤x；(2)1+x证明(1)令f (x)=sinx则/(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值条件sin x|= |sin x-sinO|=cos x≤x其中在0与x之间证明(2)作辅助函数f(x)=ln(1+x)则(x)在[0,x]上满足拉格朗日条件1f(x)- f(O)= ln(1+ xx,(0<=<x)1+5xxx<ln(1+ x)< x<x1+51+ x1+ x
第 180 页 例3.1.1 证明 证明(1) 令f (x ) =sinx sin sin sin 0 cos x x xx 其中 ξ 在 0 与 x 之间 则f(x ) 在 [0, x] 上满足拉格朗日中值条件 (1) sin ; (2) ln(1 ) , 0 1 x x x x xx x 证明(2) 作辅助函数 f(x ) =ln(1 + x ) 则f(x ) 在 [0, x ]上满足拉格朗日条件 1 ( ) (0) ln(1 ) ,(0 ) 1 f xf x x x 1 1 x x x x ln(1 ) 1 x x x x
第181页例3.1.2(2011研究生入学试题In(1 +成立;(1)证明：对任意正整数n,都有n+1nn(2)设a,=1+-lnn,(n=1,2.）,证明数列(a,收敛。n法1:在上题(2)中令x=1/n即得证明(1)法2:在[n,n+1]上对Inx使用拉格朗日中值定理1Iln(1 +=) = In(n + 1) - In n =Sn1 In(1 +n+1nn
第 181 页 (1)证明:对任意正整数 n,都有 成立; 1 11 ln(1 ) n nn 1 证明(1) 法 1:在上题(2)中令 x = 1/n 即得 1 1 ln(1 ) ln( 1) ln n n n 1 11 ln(1 ) n nn 1 法 2:在 [ n,n+1]上对lnx使用拉格朗日中值定理 1 1 1 ln , ( 1, 2,.) 2 n a nn n (2) 设 ,证明数列 { a n }收敛. 例3.1.2(2011研究生入学试题 )
第182页(2)首先 an+1 -ann+1Y=>In(1+-)其次由(1)知当n≥1时nn11lnn2n+ln(1+=)- lnnn32n+1+ ln+InElnInn21n= ln(1 +n)- ln n > 0由此可知数列a单调下降且有下界0据极限存在准则I知数列{a,收敛
第 182 页 (2)首先 1 1 1 ln(1 ) 0 1 n n a a n n 1 1 1 ln 2 n a n n 23 1 ln ln ln ln 1 2 n n n 由此可知数列 { a n }单调下降且有下界 0 据极限存在准则II知数列 { a n } 收敛 ln(1 ) ln 0 n n 11 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) ln 1 2 n n 1 1 ln(1 ) n n 其次由(1)知当 n ≥ 1 时