《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 常微分方程

第403页第5章常微分方程$5.1本章结构微分方程的基本概念$5.2几种常见的一阶微分方程$5.3高阶微分方程$5.4欧拉方程和常系数线性微分方程组$5.5微分方程的应用本章教学目的和要求了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次方程，会用降阶法求下列高阶方程理解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题

第 403 页 本章结构 §5.1 微分方程的基本概念 §5.2 几种常见的一阶微分方程 §5.3 高阶微分方程 §5.4 欧拉方程和常系数线性微分方程组 §5.5 微分方程的应用 第 5章 常微分方程 本章教学目的和要求 了解微分方程 、 解 、通解 、初始条件和特解等概念. 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法,会解 齐次方程,会用降阶法求下列高阶方程. 理解二阶线性微分方程解的结构,掌握二阶常系数齐次线 性微分方程的解法,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法. 会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解. 会通过建立微分方程模型,解决一些简单的实际问题

第404页85.1微分方程的基本概念例5.1.1一曲线过点（1,2),且在该曲线上任一点(xJ)处的切线的斜率为2x,求曲线的方程解 设曲线方程为y=y(x),则 y'=2x==「2xdx=x2+C其中C为任意常数.由 (1) = 2 得 C = 1所求曲线为V=x2+1

第 404 页 例5.1.1 一曲线过点(1,2),且在该曲线上任一点 (x,y) 处的切线的斜率为 2 x,求曲线的方程. §5.1 微分方程的基本概念 解 设曲线方程为y = y (x), 则 y  2 x 2   y xx x C 2 d  其中 C为任意常数. 由 y(1) = 2 得 C = 1 所求曲线为 y = x 2 + 1

第405页例5.1.2列车运行时速为20mls，制动时加速度为-0.4mls2问从开始制动到停车，火车能运行多远？解设火车运行规律为s=s(t),则制动时运行规律满足d’s得 C, = 20-0.4dt?ds= -0.4t + 20.vdts(0) = 0解得 s(t) = -0.2 t? + 20 t + C,ds:20v(0)=0dt由 s(0)=0 得 C2= 0ds= s(t) = -0.2t2 +20t解得√-0.4t +Cdt由v=-0.4t+20=0 得t=50ds= 20由v(0)dt l=0s(50) = 500(m)U

第 405 页 例5.1.2 列车运行时速为 20 m /s , 制动时加速度为 -0.4 m /s 2,问从开始制动到停车,火车能运行多远 ？ 解 设火车运行规律为 s = s ( t),则制动时运行规律满足 2 2 0 d 0.4 d (0) 0 d (0) 20 d t s t s s v t              解得 1 d 0.4 d s v tC t    0 d (0) 20 d t s v t    d 0.4 20 d s v t t     2 2 s( ) 0.2 20 t t tC    2    st t t ( ) 0.2 20  s m (50) 500( )  由 得 C1 = 20 解得 由 s(0)=0 得 C2 = 0 由 v =-0.4 t +20 =0 得 t =50

第406页含有未知函数及其导数的方程称为微分方程；未知函数为一[多1元函数的微分方程称为常偏]微分方程；微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.n阶微分方程一般形式为：F(x, y, y',", y(n)) = O...(1)或y(n) = f(x,y, y",..., y(n-).....(2)使微分方程恒成立的函数称为微分方程的解：若解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解；不含任意常数的解称为特解：用于确定通解中任意常数的条件称为定解条件（也称初值条件或初始条件）.由微分方程和定解条件构成的问题称为初值问题

第 406 页 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程;未知 函数为一 [ 多 ]元函数的微分方程称为 常 [ 偏 ]微分方程; 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为 微分方程的阶数. n 阶微分方程一般形式为: ( ) ( , , , , ) 0 (1) n Fxyy y     或 ( ) ( 1) ( , , , , ) (2) n n y fxyy y      使微分方程恒成立的函数称为微分方程的 解;若 解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数等于微分 方程的阶数,则称此解为微分方程的通解;不含任意常 数的解称为特解;用于确定通解中任意常数的条件称 为定解条件 (也称初值条件 或初始条件).由微分方程和 定解条件构成的问题称为初值问题

第407页验证函数 =C,e-x+C2 是否为微分方程例5.1.3"-2y-3y=0的通解解二阶微分方程的通解v应满足两个条件①y是方程的解；②y包含两个独立的任意常量y=C,e-*+C2 →y'=-C,e-x+C2, J"=C,e-x+C2代入微分方程得 C,e-*+C2 + 2C,e-x+C2-3C, e-x+C2 = 0故 =C,e-+是微分方程 J"-2y'-3y=0 的解但若记 C=Ce,则 y=C,e-x+2 =Ce-x即两个任意常量不独立，故它不是通解

第 407 页 但若记 , 则 代入微分方程得 故 是微分方程 的解 例5.1.3 验证函数 是否为微分方程 y yy     230 2 22 1 11 e e, e xC xC xC yC y C y C          2 22 1 11 e 2e 3e 0 xC xC xC CCC       2 1 e 230 x C yC y y y        2 2 1 1 e ee C xC x CC yC C      即两个任意常量不独立,故它不是通解. 的通解 ① y是方程的解; ② y包含两个独立的任意常量 . 2 1 e x C y C    解 二阶微分方程的通解y应满足两个条件:

第408页例5.1.4（2015年考研真题）已知高温物体在低温介质中任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120℃的物体放在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？dT=-k(T-20)其中k为待定常数解建立微分方程：dtdT求通解：=-kdt = T=C-e-kt +20T-20求特解：由T(0)=120 得 C=100,T=100e-kt +20求k:由T(30)=30得 k=→ T=100e-+20求冷却至21℃所需的时间:令T=100e-%+20=21得t=60，故从30℃继续降至21℃还需30min

第 408 页 例5.1.4(2015年考研真题) 已知高温物体在低温介质中, 任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介 质的温差成正比.现将一初始温度为120 ℃的物体放在 20 ℃恒温介质中冷却,30 min后该物体温度降至30 ℃,若 要将该物体的温度继续降至21 ℃,还需冷却多长时间 ？ 解 建立微分方程:   d 20 d T k T t   其中 k为待定常数 求k : 由 T(30) =30 得 求冷却至21 ℃所需的时间:令 求通解: 求特解: 由 T(0) =120 得 C =100, d d e 20 20 T k t kt T C T        100e 20 k t T    ln10 ln10 30 30 100e 20 t k T     ln10 30 100e 20 21 t T     得 t = 60, 故从30 ℃继续降至21 ℃还需30 min

第409页85.2几种常见的一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为：F(x,,)=0dy主要讨论形式为'=:f(x,y)的微分方程dxdy= f(x)g(y) 求解、可分离变量微分方程dxdy f(x)dx当g(y)≠0 时微分方程变形为g(y)方程两边同时进行不定积分得dyG(y)=( f(x)dx+C = F(x)+Cg(y)

第 409 页 §5.2 几种常见的一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为: Fxyy (, , ) 0   主要讨论形式为 的微分方程. d (, ) d y y f x y x    一、可分离变量微分方程 求解 d ()() d y f xgy x  d ( )d ( ) y f x x g y  d ( )d ( ) y f xxC g y     当 g (y) ≠0 时微分方程变形为 方程两边同时进行不定积分得 G( ) y   Fx C ( ) 

第410页dyXx例5.2.1的通解求微分方程dxy解微分方程变形得 ydy=xdx11C两边不定积分得222=→ 2=x2+Cy'=e2x-,y(O)=0 特解例5.2.2求初值问题的+e' dy=e?* dx解微分方程变形得1e2×+Cey二两边不定积分得e2e2*+1y= ln二由 y(0) = 0 得 C = 22

第 410 页 例5.2.1 求微分方程 的通解 解 微分方程变形得 y dy = x dx 两边不定积分得 1 11 2 2 2 22 y xC   2 2   y x C 例5.2.2 求初值问题的 特解 2 e , (0) 0 x y y y     解 微分方程变形得 2 ed e d y x y x  两边不定积分得 1 2 e e 2 y x   C 由 y(0) = 0 得 C = ½ 2 e 1 ln 2 x y          d d y x x y 

第411页dy=3x2y的通解。例5.2.33求微分方程dxdy = 3x2 dx解J≠0时分离变量得y两边同时不定积分得ln=x2+C通解 y=±e+Ci α Ce,(C=±e℃)通解中包含了分离变量时丢失的解y=0说明：①在求解过程中微分方程的变形有可能增加或减少方程的解；②通解不一定是方程的全部解！例如（y-x)y'=O通解y=C未含解y=x

第 411 页 例5.2.3 求微分方程 的通解 . d 2 3 d y x y x  x x y y 3 d d 2  两边同时不定积分得 3 1 ln y   x C   3 3 1 1 e e, e xC C x y CC  通解    通解中包含了分离变量时丢失的解 y = 0 . 解 y ≠ 0时分离变量得 说明 : ① 在求解过程中微分方程的变形有可能增加或 减少方程的解 ; 例如 ( )0 y xy    ② 通解不一定是方程的全部解 ! 通解 y = C 未含解 y = x

第412页dyY求解二、齐次微分方程@dxxdyduyu=解引入新变量=y=xuu+xdxdxxdudug(u)代入方程得u+xp(ux1dxdxdudx分离变量得p(u)-uxdudx解得 G(u)=lnx+C两边积分得p(u)-ux2= In|x| + C从而得方程通解Gx

第 412 页 二、齐次微分方程 求解 解 引入新变量 y u x    y xu d d d d y u u x x x   代入方程得 d ( ) d u ux u x    d ( ) d u x u u x   分离变量得 d d ( ) u x  uu x   两边积分得 d d ( )u x  uu x     Gu x C ( ) ln   ln y G xC x         d d y y x x         解得 从而得方程通解