第一章第二节极限运算法则一、无穷小运算法则极限的四则运算法则二、三、 复合函数的极限运算法则oleoolox机动自录上页下页返回结束
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小证：考虑两个无穷小的和.设 limα =0，lim β=0,x→xox-→>xo>0,>0,当00,当 0<|x-<,时,有|β<号取S=min(Si,S2 ,则当 0<|x-xol< 时,有[α+β≤|α|+β|<+=8lim (α + β)= 0因此x-→xo这说明当x→xo时，α+β为无穷小量1eo0x机动自录上页下页返回结束
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！例如，lim n=12n~+2元n>00n+元n+n元Oo00x机动目录上页下页返回结束
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小证:设VxeU(xo,S),|u|≤M又设 lim α=0,即>0,S,>0,当xU(xo,2)x→xo时,有α|≤取=min(Si,2,则当 xU(xo,S)时,就有[uα|=αM·=1故limuα=o,即uα是x→xo时的无穷小x→>xo推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小oeol00x机动自录上页下页返回结束
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sinx例1. 求 lim2xx-0sinx1x解：：|sinx≤1xlim = = 0x->0 xsin x0lim利用定理 2 可知xx-00sin x的渐近线。说明：y=0是y2xoleolo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 极限的四则运算法则定理 3.若 lim f(x)= A,limg(x)= B,则有lim[f(x)±g(x)) = lim f(x)±limg(x) = A± B证: 因 limf(x)= A, limg(x)= B,则有f(x)=A+α,g(x)=B+β(其中α，β为无穷小)于是f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β)由定理1可知α±β也是无穷小，再利用极限与无穷小的关系定理，知定理结论成立说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形olololx机动目录上页下页返回结束
二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形
定理 4.若lim f(x)= A, limg(x)= B,则有lim[f(x)g(x)]= lim f(x) limg(x) = AB提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形推论 1. lim[C f(x)]=Clim f(x)（C为常数）推论 2. lim[f(x)]" =[limf(x)]"（n为正整数）例2.设 n 次多项式 Pn(x)=αo +aix +..+anx",试证lim Pn(x)= Pn(xo)x→xoY证: lim Pn(x)= ao +a, lim x +...+ an lim x'x-→>xox→Xox-xo= Pn(xo)oleo0x机动自录上页下页返回结束
定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理5.若limf(x)= A,limg(x)= B,且 B0 ,则有Alim [()_ lim ()Blim g(x)g(x)证: 因lim f(x)= A, limg(x)= B, 有f(x)=A+α，g(x)=B+β,其中α,β为无穷小A1AA+αf(x)设(Bα-Aβ)VBBB+βg(x)B(B + β)无穷小有界Af(x)因此为无穷小+yBg(x)Alim f(x)f(x)由极限与无穷小关系定理，得limBlim g(x)g(x)oeolo0x机动目录上页下页返回结束
为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理6.若 lim xn = A,lim Yn =B,则有n-n-8(1)lim(xn ±yn) = A±Bn-0(2) lim xnyn = ABn-8A(3)当yn0且B0时, limBn-→>o Yn提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由定理3，4，5直接得出结论.10000x机动自录上页下页返回结束
定理6 . 若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x y → n n n x y → (2) lim (3) 当y 0且B 0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P(x)例3.设有分式函数 R(x)其中P(x),Q(x)都是Q(x)多项式,若 Q(xo)±0,试证: lim R(x)=R(xo).x-→>xolim P(x)P(xo)= R(xo)lim R(x)= →xo证:9(xo)lim Q(x)x→>x0x→>xo说明：若Q(xo）=0，不能直接用商的运算法则x? - 4x+3x-1(x -3)(x -1)例4. lim:limlimx2-9x→3 x +3x-→3(x -3)(x +3)x-3213x=3时分母为 0！6oleolo0x机动目录上页下页返回结束
x = 3 时分母为 0 ! 3 1 lim 3 + − = → x x x 例3. 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: = → lim ( ) 0 R x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 Q x P x x x x x → → 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. ( 3)( 3) ( 3)( 1) lim 3 − + − − = → x x x x x 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束