第五章第四节*欧拉方程欧拉方程11(n-x"y(n) +Pixn-+...pn-ixy'+ pny= f(x).(pk为常数)令x=et,即t=lnx常系数线性微分方程O0000x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 欧拉方程 欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( 为常数) pk , t 令 x = e 常系数线性微分方程 即t = ln x 第五章
欧拉方程的算子解法：x"g(n) + Pixn-ly(n-1I) + .-Pn-1xy'+ Pny= f(x)令x=e'，则t=lnx,则dy.dydtdy1dydtdxdt dxx dtd?2Q2dtdydldy1yJdx?2d,2dtdxdtx dtXd2dyy2Xdf2dt计算繁！Oeo0x机动目录上页下页返回结束
欧拉方程的算子解法: ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − , t 令 x = e 则 = x y d d x t t y d d d d t y x d 1 d = = 2 2 d d x y x t t y t x d d ) d 1 d ( d d ( ) t y t y x d d d 1 d 2 2 2 = − 计算繁! t y x y d d = t y t y x y d d d d 2 2 2 = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
QAdK记DD(k=2,3,.),则由上述计算可知dtkdtxy'= Dyx?y" = D?y- Dy= D(D-1)yx*y(k) = D(D-1)..(D- k+1) y用归纳法可证于是欧拉方程(n-lx"y(n)+..· pn-1xy'+ pny= f(x)+1x n,*:1转化为常系数线性方程D"y+b,Dn-ly+ ...+bny= f(e')dn-1d" y1即+b..+bny= f(et)d thndtOe00x机动目录上页下页返回结束
, d d t 记 D = 则由上述计算可知: x y = Dy x y = D y − Dy 2 2 ( 2, 3, ), d d = k = t D k k k = D(D −1)y 用归纳法可证 x y D D D k y k k ( 1) ( 1) ( ) = − − + 于是欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( ) 1 1 t n n n D y + b D y + + b y = f e − 转化为常系数线性方程: ( ) d d d d 1 1 1 t n n n n n b y f e t y b t y + + + = − − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程x2y"=2xy+2y=ln2x-2lnx的通解d则原方程化为解：令x=et,则t=lnx,记DdtD(D -1)y- 2Dy+ 2y =t2 - 2t即(D2 -3D+2)y =t2 -2td? y-3d+2y=?-2t亦即1)dt2dt特征方程r2-3r+2=0,其根 =l,=2则①对应的齐次方程的通解为Y =Cje' +Ce2tO0000?机动自录上页下页返回结束
例1. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
: *=At? +Bt+C设特解：代入①确定系数得.1.12+-t+V二242①的通解为12y= Cet + C十一t十十一242换回原变量，得原方程通解为122y=Cix+C2x2+=ln2x+nx+224Oe000?机动目录上页下页返回结束
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: y = At + Bt +C 2 代入①确定系数, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2/例2.求方程 "的通解.xxx解：将方程化为x"-xy'+=2x(欧拉方程)d令x=et,记D则方程化为dt[D(D - 1) - D +1)] y = 2et即(D2 -2D +1)y= 2et?特征根：=r2=1,设特解：=Atet,代入②解得A=1,所求通解为y=(Ci +C2 t)et +t?et=(Ci + C2 ln x) x + x ln? xOe00x机动自录上页下页返回结束
例2. 解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: , 2 t y = At e 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设函数y=y(x)满足xy+f" [3y+t?y"(t)]d t=5lnx, x≥1且 ylx=1 =0, 求y(x)解：由题设得定解问题5x?y"+xy'+4y=3文④y(1)= 0,y'(1)=0d令x=et,记D则③化为dt[D(D - 1)+ D + 4] y= 5e-t(D2 + 4) y= 5e-t特征根：r=±2i，设特解：y*=Ae-t,代入③得A=1Oe000x机动目录上页下页返回结束
例3. 解: 由题设得定解问题 ③ , t 令 x = e , d d t 记 D = 则③化为 t D D D y e − [ ( −1) + + 4] = 5 t D y e − ( + 4) = 5 2 特征根: r = 2i, 设特解: ④ , t y Ae − = ⑤ 代入⑤得 A＝1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
得通解为y = Ci cos 2t +C2 sin2t +e1= Ci cos(2 ln x) +C2 sin(2ln x)+ -x利用初始条件④得1C2Ci = -1,2故所求特解为y = -cos(2ln x)+=sin(2ln x)+-2xOe00x机动目录上页下页返回结束
得通解为 t y C t C t e − = 1 cos 2 + 2 sin 2 + x C x C x 1 cos(2ln ) sin(2ln ) = 1 + 2 + 利用初始条件④得 2 1 1, C1 = − C2 = 故所求特解为 x y x x 1 sin(2ln ) 2 1 = −cos(2ln ) + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考：如何解下述微分方程(x +a)?y" + pi(x+a) y'+ P2y= f(x)提示：原方程直接令先令u=x+ax+a=etd2dy1p2y= f(u-a)dupiu2du记D=dudtd令u=et,记Ddt[D(D-1)+ pD+ p2ly= f(et -a)O0000x第11节目录上页下页返回结束
思考: 如何解下述微分方程 提示: 原方程 直接令 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 t D d d 记 = [ ( 1) ] ( ) D D p1D p2 y f e a t − + + = − t D d d 记 =