第六章无穷级数数项级数幂级数无穷级数人付氏级数表示函数研究性质无穷级数是研究函数的工具数值计算o00l008机动自录上页下页返回结束
无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第六章 机动 目录 上页 下页 返回 结束
第六章第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念无穷级数的基本性质二、三、级数收敛的必要条件四、柯西审敛原理Oe000X机动目录上页下页返回结束
常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第六章
一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积依次作圆内接正3×2n（n=0,1,2,.)边形,设αo表示aαk表示边数内接正三角形面积则圆内接正增加时增加的面积3×2n边形面积为ao +ai +a2 +L +ann一→8时,这个和逼近于圆的面积A.即A= ao +ai +a2 +...+an +..O0000x机动自录上页下页返回结束
一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . +L 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 机动 目录 上页 下页 返回 结束
引例2.小球从1米高处自由落下，每次跳起的高度减少一半，问小球是否会在某时刻停止运动？说明道理12 s由自由落体运动方程知tS=gtz-2g设t表示第k次小球落地的时间，则小球运动的时间为T =ti +2t2 +2t3 +..211 + 2(V2)g2[1+2(V2+1) ] ~ 2.63 (s )gO00X机动自录上页下页返回结束
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 2 g 2 1 s = t 知 g 2 s t = 则小球运动的时间为 1 T = t 2 2 + t 2 3 + t + = g 2 1 + 2 1 2 2 ( 2) 1 + + 1 2 2 = + g ( 2 +1) 2.63 ( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义:给定一个数列u,u2，u3，…,un，…将各项依8Zun，即次相加，简记为n=18Eun= u +u2 +u +.+un +..n=1称上式为无穷级数其中第n项un叫做级数的一般项注：级数与有限项和的区别级数的前n项和nSn=Zuk=ui+u2+u3+...+unk=1称为级数的部分和．{S称为的部分和数列Oe000x机动目录上页下页返回结束
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n= n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项. 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：级数与有限项和的区别 {Sn}称为的部分和数列
若 lim Sn=S存在，则称无穷级数收敛n8并称S为级数的和，记作8S=unn=1若lim S，不存在，则称无穷级数发散n00当级数收敛时，称差值rn = S- Sn =un+1 +un+2 + ...为级数的余项lim rn = 0显然n→00Oe000x机动目录上页下页返回结束
当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 则称无穷级数收敛 , 并称 S 为级数的和
例1.讨论等比级数（又称几何级数）8Eaq" =a+aq+aq?+...+aq" +... (a*0)n=0（称为公比）的敛散性解：1)若9±1，则部分和a-aqn-lSn =a+aq+aq'+...+aq1-q当|α1时,由于limq"=o，从而 lim Sn=o0,n-n-8因此级数发散Oeo0x机动自录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2).若q=1,则当 q=1时，Sn=naα→oo,因此级数发散;当 q=-1时,级数成为a-a+a-a+..+(-1)n-1)a+:n为奇数a,Sr因此nn为偶数0.从而 lim Sn不存在，因此级数发散n>综合1)、2)可知，9<1时,等比级数收敛;q≥1时,等比级数发散.Oe000x机动自录上页下页返回结束
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.判别下列级数的敛散性1(I) Zln (1+-)>(2)n(n+1)nn=1n=1解: (1)324n+1S., =ln+ln+ln-In231n(n2 (In1)+(In3 - In2) + + (In(n + 1) - nn=ln(n+l)→o0 (n→>)技巧:利用求“拆项相消”所以级数（1）发散；和O0000?机动目录上页下页返回结束
例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1111S,(2)n1.22.33.4n · (n + 1)+-X+C++-)7(n→8)n+1所以级数(2)收敛,其和为 1技巧:"拆项相消”求利用和O0000?机动目录上页下页返回结束
(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + + + + + = n n Sn = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . + − 3 1 2 1 + − 4 1 3 1 + + + − 1 1 1 n n 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 机动 目录 上页 下页 返回 结束