第九章第二节二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分*三、二重积分的换元法Oe000X机动目录上页下页返回结束
*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章
二重积分的计算设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数Zf(5,n:)Ao,[J f(x,y) do= lim-0i=1D若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则 f(x,J)在D上的二重积分存在直角坐标系下『f(x,J)da=？→两次定积分极坐标系下DO0000?机动目录上页下页返回结束
二重积分的计算 设 f x y ( , ) 是有界闭区域 D 上的有界函数， ( , ) D f x y d ( ) =1 , n i i i i f →0 = lim 直角坐标系下 若 f x y ( , ) 在有界闭区域 D 上连续， 则 f x y ( , ) 在 D 上的二重积分存在。 ( , ) ? D f x y d = 极坐标系下 两次定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、利用直角坐标系计算二重积分[J f(x, y)do =Jf f(x, y)dxdyDD关于x，v的两次定积分x,y的范围怎样确定?区域D的表示问题O0000x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy 关于x, y的两次定积分 x, y的范围怎样确定？ 区域 D 的表示问题 一、利用直角坐标系计算二重积分
1、积分区域为：D: Φ(x)≤y≤P2(x),a≤x≤b43P2(x)V=y= P(x)出口曲线X-型区域y=@(x)=岛(x)Xbab入口曲线其中函数i(x)、2(x)在区间[a,b]上连续假设D是上述x型区域，计算穿过区域D内部且平行于y轴的直线与D的边界不多于两个交点J f(x,y)dxdy (f(x,y)≥0) 的值DO0000X机动自录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、积分区域为： a x b . 1 2 D x y x : ( ) ( ), 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 2 y x = ( ) a b D 1 y x = ( ) D a b 2 y x = ( ) 1 y x = ( ) X －型区域 出口曲线 入口曲线 假设D是上述 x 型区域， 计算 ( , ( ) ) ( , ) 0 D f x y d dy x f x y 的值 穿过区域 D 内部且平行 于 y 轴的直线与 D 的边 界不多于两个交点
： J f(x,y)dxdy（f(x,J)≥0)的值等于以D为底,以曲面 z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。3= f(x,y)应用计算“平行截面7.面积为已知的立体求体积”的方法A(x)V2(x）D: A(x) =f(x,y)dy, x e[a,b]①(x)txbxaA(x)dxy=p(x)y=P(x)万P2(x)P2(x）dxf(x,y)dy)dx :f(x, y)dyPi(x)@(xaO0000x机动自录上页下页返回结束
应用计算“平行截面 面积为已知的立体求 体积”的方法. z y x a x b ( ) 1 y = x A x( ) z f x y = ( , ) 2 y x = ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) , [ , ], x x A x f x y dy x a b = ( ) b a V A x dx = 的值等于以D为底, 以 曲面 z=f (x, y)为曲顶的曲顶柱体的体积。 ( , ) ( ( , ) ) 0 D f x y dxdy f x y D 2 1 ( ) ( ) ( , ) . b x a x dx f x y dy = 2 1 ( ) ( ) ( ( , ) ) b x a x f x y dy dx = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P2(x)SJ f(x, y)dxdy =于是dxf(x,y)dyP(x)D上式右端的积分称为先对后对x的二次积分.即先把x看作常数,把f(x，y)看作的函数,并对计算从Φ(x）到2(x）的定积分：然后把计算的结果再对x计算在区间[α，b1上的定积分注：上式对于在区域D上的一般可积函数f(x,y)仍成立O0000?机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x D f x y dxdy dx f x y dy = 上式右端的积分称为先对 y 后对 x 的二次积分. 即 注: 上式对于在区域D 上的一般可积函数f (x, y)仍成立. 先把 x 看作常数, 把 f (x , y)看作 y 的函数, 并对 y 计算 从 1 ( ) x 到 2 ( ) x 的定积分; 然后把计算的结果再对 x 计算在区间[a , b ]上的定积分
2、积分区域为：D:gi(y)≤x≤9,(y), c≤ y≤d.yyY一型区域Cx=p(y)x=q(y)DD穿过区域D内部且平行x=(y)x=,(y)于x轴的直线与D的边cC界不多于两个交点X>xP2()S"(JJJ f(x,y)do=f(x,y)dxP(y)D92(y)Cdyf(x,y)dx.Pi(y)o00l00x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . d y c y D d y c y f x y d f x y dx dy dy f x y dx = = 2、积分区域为： c y d . 1 2 D y x y : ( ) ( ), 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) D c d c d 2 x y = ( ) 1 x y = ( ) D Y －型区域 穿过区域D 内部且平行 于 x 轴的直线与D 的边 界不多于两个交点
当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于f(x,y)+[f(x, y)f(x, y) - f(x,y)f(x,y)= 22fi(x,y)f2(x,J) 均非负JJ, (x,y)dxd y= JJ,Ji(x,y)dxd y- JJ, J2(x,y)dxd y因此上面讨论的累次积分法仍然有效：说明：二重积分化为二次积分的关键是确定积分限和积分顺序(积分域作图)O0000?机动自录上页下页返回结束
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 二重积分化为二次积分的关键是确定积分限和 积分顺序. (积分域作图)
说明：（1）若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域则有J,f(x,y)dxdyyy=2(x)drP2(x)bx=以2(y)f(x,y)dyx=dxDPi(x)ayYPi(x)2(c(x, y)dxxolab x为计算方便,可选择积分序，必要时还可以交换积分序y(2）若积分域较复杂,可将它分成若干DDiX-型域或Y-型域，则L3JJ。= J, +JJ , +JJD0xO0000x机动目录上页下页返回结束
o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算I：T_xydo,其中D是直线y=1,x=2,及V= x 所围的闭区域l≤y≤x解法1.将D看作X-型区域，则D1≤x≤2y2[=’dxydy="[2 ]'dx9[[1x3-2x ]dx8x 2xCy≤x≤2解法2.将D看作Y-型区域，则D1≤y≤29[T1x2y]dy=[[2y-23]dy"xyd x =8O0000?机动目录上页下页返回结束
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束