目录第二章随机变量及其分布182.6条件分布和随机变量的独立性1条件分布182.6.1$2.6.2随机变量的独立性4i
8 ¹ 1Ù ÅCþ9Ù©Ù 1 §2.6 ^©ÙÚÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2.6.1 ^©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2.6.2 ÅCþÕá5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 i
第二章「随机变量及其分布82.6条件分布和随机变量的独立性$2.6.1、条件分布一个随机变量(或向量)的条件概率分布，就是在给定(或已知)某种条件(某种信息)下该随机变量(向量)的概率分布。1.离散型随机变量的条件分布设(X,Y)为二维离散型随机变量，其全部的可能取值为((riyi)：i,j=1,2,..)。记其联合分布律为pij=P(X=ri,Y=yi),i,j= 1,2, *若对给定的事件[Y=9i}，其概率P(Y=9i)>0，则称P(X=r,Y=y)=piP(X =2:/Y = y) = Ii = 1,2,...P(Y = yi)p-j为在给定Y=y的条件下x的条件分布律(概率函数)。类似的，若P(X=a)>0，则称P(X = ,Y=) _PP(Y = ylX = r) =j =1,2,*.P(X = r)Pi.为在给定条件X=工；下Y的条件分布律。例2.6.1.设二维随机向量(X1,X2)的联合分布律如下所示：X205-1行和pi.Xi10.430.170.050.2130.040.280.250.57列和p-j0.210.330.461.00试求当X2=0时，Xi的条件分布律。解：由联合分布律先算出两个边缘分布律pi.与p.并填入表中，由此进一步算出条件分布律为：50.05P[X1=1|X2=0] :=330.331
1Ù ÅCþ9Ù©Ù §2.6 ^©ÙÚÅCþÕá5 §2.6.1 ^©Ù ÅCþ(½þ)^VÇ©Ù§Ò´3½(½®),«^(,«&E)e TÅCþ(þ)VÇ©Ù" 1. lÑ.ÅCþ^©Ù (X, Y )lÑ.ÅCþ§Ù ÜU{(xi , yj ) : i, j = 1, 2, · · · }"P ÙéÜ©ÙÆ pij = P(X = xi , Y = yj ), i, j = 1, 2, · · · e齯{Y = yj}§ÙVÇP(Y = yj ) > 0§K¡ P(X = xi |Y = yj ) = P(X = xi , Y = yj ) P(Y = yj ) = pij p·j , i = 1, 2, · · · 3½Y = yj^eX^©ÙÆ(VǼê)"aq§eP(X = xi) > 0§K¡ P(Y = yj |X = xi) = P(X = xi , Y = yj ) P(X = xi) = pij pi· , j = 1, 2, · · · 3½^X = xieY ^©ÙÆ" ~ 2.6.1. Åþ(X1, X2)éÜ©ÙÆXe¤«µ ❍ X ❍ 1 ❍❍❍❍❍ X2 −1 0 5 1Úpi· 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 Úp·j 0.21 0.33 0.46 1.00 Á¦X2 = 0§X1^©ÙÆ" ): déÜ©ÙÆkÑü>©ÙÆpi·p·j¿W\L¥§dd?ÚÑ^©Ù Ƶ P{X1 = 1|X2 = 0} = 0.05 0.33 = 5 33 1
0.2828而 P[X1=3]X2=0)=0.33-33例2.6.2.设X=(Xi,X2.,Xn）～M(N;p1,p2...,Pn)，试求Xi在给定X2=k的条件下的条件分布律。解：由于易知(Xi,X2)～M(N;P1,P2,1-P1-p2)，即其联合分布律为N!P(Xi=i, X2= ) = J(N-i-)Pip(1-1-Pa)--, 0≤i.j ≤ N &0 ≤i+ ≤ N.并且X2~B(N,p2).因此P(X1= i, X2 = k)P(Xi=iX2=k) =P(X2 = k)N!(N-1 - )Pin( - P1 - p2)N-k / %p(1 -Pa) -kN-k-i(N - k)!P1D1,i=0,1,...,N-k.(N--)(1-p2）1-P2即Xi在给定X2=k的条件下服从二项分布B(N-k,p1/(1-p2))2.连续型随机变量的条件分布设(X,Y)有概率密度f(r,y)，我们考虑在给定y≤Y≤y+e的条件下x的条件分布函数(设P(y≤≤y+e)>0)P(X≤a,y≤Y≤y+e)P(X≤rly≤Y≤y+e) =P(y≤Y 0.fr(y)记为Xly ~ fxy(rly)类似地有Y在给定X=r的条件下的条件概率密度：fy)x(9la) = f(z,u)fx() >0.fx(r)2
P{X1 = 3|X2 = 0} = 0.28 0.33 = 28 33 . ~ 2.6.2. X = (X1, X2, · · · , Xn) ∼ M(N; p1, p2, . . . , pn)§Á¦X13½X2 = k^e ^©ÙÆ" )µdu´(X1, X2) ∼ M(N; p1, p2, 1 − p1 − p2)§=ÙéÜ©ÙÆ P(X1 = i, X2 = j) = N! i!j!(N − i − j)!p i 1p j 2 (1 − p1 − p2) N−i−j , 0 ≤ i, j ≤ N & 0 ≤ i + j ≤ N. ¿ X2 ∼ B(N, p2). Ïd P(X1 = i|X2 = k) = P(X1 = i, X2 = k) P(X2 = k) = N! i!k!(N − i − k)!p i 1p k 2 (1 − p1 − p2) N−i−k . C k N p k 2 (1 − p2) N−k = (N − k)! i!(N − k − i)! p1 1 − p2 i 1 − p1 1 − p2 N−k−i , i = 0, 1, · · · , N − k. =X13½X2 = k^eÑl©ÙB(N − k, p1/(1 − p2)). 2. ëY.ÅCþ^©Ù (X, Y )kVÇÝf(x, y)§·Ä3½y ≤ Y ≤ y +^eX^©Ù¼ ê(P{y ≤ Y ≤ y + } > 0) P(X ≤ x|y ≤ Y ≤ y + ) = P(X ≤ x, y ≤ Y ≤ y + ) P(y ≤ Y ≤ y + ) = ˆ x −∞ ˆ y+ y f(u, v)dvdu. ˆ y+ y fY (y)dy = ˆ x −∞ ´ y+ y f(u, v)dv ´ y+ y fY (y)dy du éþªüà'ux¦¿- → 0, ¦X3½^Y = ye^VÇÝ fX|Y (x|y) = f(x, y) fY (y) , fY (y) > 0. P X|y ∼ fX|Y (x|y). aq/kY 3½X = x^e^VÇÝ: fY |X(y|x) = f(x, y) fX(x) , fX(x) > 0. 2
记为Ylr~fyix(yla).例2.6.3.设(X,Y)服从二元正态分布N(a,b,o,,p)，试求X|Y=y的条件概率密度。解：f(r,y)fxr(rly) =fy(y)1 exp(--(apo(-b)2元01V1-p220(1 -p2)即Y=~N(a+p1a(-b)(1-p2)。同理有：X=~N(b+pa-l2(-a),(1 -p2))。例2.6.4.设X,Y服从单位圆上的均匀分布，试求fxlr(aly)和fyix(ylz)。解：由题设知(X,Y)的联合概率密度为，α?+≤1f(r,y) =其它10,易知sV1-a2,-1≤≤1fx(r):其它0,所以-Vi-y0.g(r1,...,rk)注:若记(X1,**,X)=X, (X+1,...,Xn)=Y,(r1,...,k)=a,(k+1,...,n)=y,则上式还可表示为：f(a,y)h(yla) = :, g(r) >0g(α)3
P Y |x ∼ fY |X(y|x). ~ 2.6.3. (X, Y )Ñl©ÙN(a, b, σ2 1 , σ2 2 , ρ)§Á¦X|Y = y^VÇÝ" ): fX|Y (x|y) = f(x, y) fY (y) = 1 √ 2πσ1 p 1 − ρ 2 exp{−[x − (a + ρσ1σ −1 2 (y − b))]2 2σ 2 1 (1 − ρ 2) } =X|Y = y ∼ N(a + ρσ1σ −1 2 (y − b), σ2 1 (1 − ρ 2 ))"ÓnkµY |X = x ∼ N(b + ρσ−1 1 σ2(x − a), σ2 2 (1 − ρ 2 ))" ~ 2.6.4. X, Y Ñlü þþ!©Ù§Á¦fX|Y (x|y)ÚfY |X(y|x)" ): dK(X, Y )éÜVÇÝ f(x, y) = ( 1 π , x2 + y 2 ≤ 1 0, Ù§ ´ fX(x) = ( 2 π √ 1 − x 2, −1 ≤ x ≤ 1 0, Ù§ ¤± fX|Y (x|y) = 1 2 √ 1−y 2 , − p 1 − y 2 ≤ x ≤ p 1 − y 2 0, Ù§ Irx, yp§Ò±fY |X(y|x)" 3. / ÃØlÑ.´ëY.^©Ù§þã(X, Y )¥XÚY í2p"~X: (X1, X2, · · · , Xn) ∼ f(x1, x2, . . . , xn)§ (X1, · · · , Xk) ∼ g(x1, . . . , xk)§K½Â3(X1, · · · , Xk) = (x1, . . . , xk)^e§(Xk+1, · · · , Xn)^ݵ h(xk+1, . . . , xn|x1, . . . , xk) = f(x1, . . . , xn) g(x1, . . . , xk) , Ù¥ g(x1, . . . , xk) > 0. 5: eP(X1, · · · , Xk) = X§(Xk+1, · · · , Xn) = Y §(x1, . . . , xk) = x§(xk+1, . . . , xn) = y§ KþªL«: h(y|x) = f(x, y) g(x) , g(x) > 0 3
82.6.2随机变量的独立性若条件分布等于无条件分布，或者说条件分布与“条件"无关，例如，设fxlr(zly)=g(a)，则可推出g(a)=fi(α)，从而得到：f(a,y) = fi(a)f2(y), (z,y) ER2此时我们称X与Y是（相互）独立的。更一般的定义如下：定义2.6.1.称离散型随机变量Xi.,Xn相互独立，若它们的联合分布律等于各自的边缘分布律的乘积，即P(Xi = r1,..., Xn = an) = P(Xi = ri).. P(Xn = In),其中(a1,...,n）为(X1,X2,.,Xn）的值域中的任意一点定义2.6.2.称连续型随机变量X1，·，Xn相互独立，若它们的联合密度等于各自的边缘密度的乘积，即f(ri,..,an)=fi(ri)...fn(rn),V(ri,...,an)eRn注：更一般地，有下面的的定义定义2.6.3.设X1，.，Xn为n个随机变量，如果它们的联合分布函数等于各自边缘分布函数的乘积，即F(a1,..",an)=Fi(ri)...Fn(an),V(r1,a2,...,an)eRn则称随机变量Xi，，Xn相互独立在离散型和连续型两种情况下，可以证明本定义分别与定义2.6.1和定义2.6.2等价例2.6.5.如果随机变量X1，..·，Xn相互独立，则容易证明其中任何一部分随机变量也相互独立.然而一般来说，仅由某一部分独立却无法推出X1，··，Xn相互独立.如见下例例2.6.6.若s,n相互独立都服从-1和1这两点上的等可能分布，而C=m。则,Sn两两独立但不相互独立。4
§2.6.2 ÅCþÕá5 e^©Ù uÃ^©Ù§½ö`^©Ù“^”Ã'§~X§fX|Y (x|y) = g(x)§KíÑg(x) = f1(x)§l µ f(x, y) = f1(x)f2(y), (x, y) ∈ R 2 d·¡XY ´(p)Õá"½ÂXeµ ½Â 2.6.1. ¡lÑ.ÅCþX1, · · · , XnpÕá§e§éÜ©ÙÆ ug> ©ÙƦȧ= P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P(X1 = x1)· · · P(Xn = xn), Ù¥(x1, . . . , xn) (X1, X2, · · · , Xn) ¥?¿:. ½Â 2.6.2. ¡ëY.ÅCþX1, · · · , XnpÕá§e§éÜÝ ug> ݦȧ= f(x1, . . . , xn) = f1(x1)· · · fn(xn), ∀ (x1, . . . , xn) ∈ R n 5: /, ke¡½Â: ½Â 2.6.3. X1, · · · , XnnÅCþ§XJ§éÜ©Ù¼ê ug>©Ù ¼ê¦È§= F(x1, · · · , xn) = F1(x1)· · · Fn(xn), ∀ (x1, x2, . . . , xn) ∈ R n K¡ÅCþX1, · · · , XnpÕá. 3lÑ.ÚëY.ü«¹e, ±y² ½Â©O½Â2.6.1Ú½Â2.6.2 d. ~ 2.6.5. XJÅCþX1, · · · , XnpÕá§KN´y²Ù¥?ÛÜ©ÅCþ pÕá. , 5`, =d,Ü©Õá%Ã{íÑX1, · · · , XnpÕá. Xe~: ~ 2.6.6. eξ, ηpÕá,ÑÑl-1Ú1ùü:þ U©Ù§ ζ = ξη"Kζ, ξ, ηüüÕ áØpÕá" 4
例2.6.7.设(X,Y)～N(a,b,,o2,p)，则X与Y相互独立的充要条件是p=0。例2.6.8.设(X,Y)服从矩形D=[a,b]×[c,d]上的均匀分布，则X与Y相互独立。例2.6.9.设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则X与Y不独立。例2.6.10.设有n个事件：A1，A2，，An，对于每个事件Ai，定义：X，=IA（A,的示性函数)，i=1,2,，n，则可证明：AiA2，，An独立←X1，X2，.，Xn独立。5
~ 2.6.7. (X, Y ) ∼ N(a, b, σ2 1 , σ2 2 , ρ)§KXY pÕá¿^´ρ = 0" ~ 2.6.8. (X, Y )ÑlÝ/D = [a, b] × [c, d]þþ!©Ù§KXY pÕá" ~ 2.6.9. (X, Y )Ñlü þþ!©Ù§KXY ØÕá" ~ 2.6.10. kn¯µA1, A2, · · · , An§éuz¯Ai§½ÂµXi = IAi (Ai«5 ¼ê), i = 1, 2, · · · , n§Ky²µA1 ,A2, · · · , An Õá⇐⇒ X1, X2, · · · , Xn Õá" 5