目录第一章重事件与概率181.3古典概型1791.4几何概率i
8 ¹ 1Ù ¯VÇ 1 §1.3 ;V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §1.4 AÛVÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 i
第一章事件与概率$1.33古典概型(1)古典概型：有两个条件第一，（有限性）试验结果只有有限个(记为n），第二，(等可能性）每个基本事件发生的可能性相同为计算事件A的概率，设A中包含m个基本事件，则定义事件A的概率为P(A) = mn记号：为方便起见，以B记事件B中基本事件的个数，因此，[A]P(A) =1S2]计算古典概率，主要用到排列组合的知识，计数原理乘法原理假定进行过程I有n1中方式，而对于过程I的每一个方式，进行过程I都有n2种方式。那么，依次进行过程I与I共有nin2种方式。图1.3.1乘法原理Leavesn1n2n3n4Choices Choices Choices Choices++Stage1Stage2Stage 3 Stage41
1Ù ¯VÇ §1.3 ;V. (1) ;V.: kü^, 1, (k5) Á(Jkk(Pn) , 1, ( U5) zÄ ¯u)U5Ó. O¯AVÇ, A¥¹mÄ ¯, K½Â¯AVÇ P(A) = m n PÒ: B姱|B|P¯B¥Ä ¯ê§Ïd§ P(A) = |A| |Ω| O;VÇ, Ì^ü|Ü£. Oên ¦{n b½?1L§Ikn1¥ª§ éuL§Izª§?1L§IIÑkn2« ª"@o§g?1L§IIIkn1n2«ª" ã 1.3.1 ¦{n 1
加法原理假定进行过程有ni中方式，进行过程II有n2种方式。那么，进行过程I或I共有ni+n2种方式。排列组合1.从n个不同的元素中，有放回地取出r个元素组成的可重复排列的种数为n种。从n个不同的元素中，不放回地取出r个元素组成的不重复排列的种数为n(n-1)..·(n-r+1)=Pr2.从n个不同的元素中，不放回地取r个组成的组合，种数为n!n(n - 1) ... (n -r +1) _(1.3.1)r!rl(n-r)!3.从n个不同的元素中，有放回地取r个组成的组合(不考虑顺序），种数为+r-在运用排列组合公式时，要清楚次序问题例1.3.1.甲乙丙丁四人进行乒乓球双打练习，两人一对地结为对打的双方，有多少种不同的结对方式？可能有人会认为这个问题是简单的组合问题：从四人中选出两人结为一对剩下的两人结为一对即可.于是他们算得：有C?=6种方式但事实是否如此呢？我们还是实际地来排一排吧！不难看出，一共只有如下3种结对方式:(1)[甲,乙)丙,丁}；(2)[甲,丙){乙,丁}；(3)[甲,丁}[乙,丙)这个事实说明，组合模式并不适用于这个问题.有人可能会问：这是为什么呢组合”“组合”，不就是用来解决分组和结合问题的吗？我们说：固然不错“组合”是用来解决“分组”和“结合”问题的，但是这里仍然有着一个“顺序”问题.固然，在按组合模式分出的“组内”，元素之间是没有“顺序”的，但是需要指出的是：在“组”与“组”之间却存在着“顺序”，或者叫做“编号”！应当注意，在按“组合”模式计算时,我们计算的是“取出两个人”的所有不2
\{n b½?1L§Ikn1¥ª§?1L§IIkn2«ª"@o§?1L§I½II kn1 + n2«ª" ü|Ü 1. lnØÓ¥, k£/Ñr|¤Eü« ên r«"lnØÓ¥§Ø£/Ñr|¤Ø Eü«ên(n − 1)· · ·(n − r + 1) = P r n . 2. lnØÓ¥,Ø£/r|¤|ܧ«ê n r = n(n − 1)· · ·(n − r + 1) r! = n! r!(n − r)! (1.3.1) 3. lnØÓ¥,k£/r|¤|Ü(ØÄ^S)§«ê n + r − 1 r 3$^ü|Üúª, ÙgS¯K. ~ 1.3.1. `¯Z¶o<?1® ¥VöS,ü<é/(éV,kõ«Ø Ó(éª? Uk<¬@ù¯K´{ü|ܯK:lo<¥ÀÑü<(é,eü <(é=.u´¦:kC 2 4 = 6«ª. ¯¢´ÄXdQ?·´¢S/5üüj!ØJwÑ,kXe3«(é ª: (1){`,¯} {Z,¶}; (2){`,Z} {¯,¶}; (3){`,¶} {¯,Z}. ù¯¢`²,|Ü ª¿Ø·^uù¯K.k<U¬¯:ù´oQ¿‘|Ü”“| Ü”, ØÒ´^5)û©|Ú(ܯKí? ·`:,Ø,“|Ü”´^5)û“© |”Ú“(Ü”¯K,´ùpE,kX“^S”¯K. ,3U|Ü ª©Ñ“| S”,m´vk“^S”,´IÑ´:3“|”“|”m%3X“^S”,½ ö“?Ò”! A5¿,3U“|Ü” ªO,·O´“Ñü<”¤kØ 2
同取法数目，假如我们把取出的两人算为一组，而把留下的两个人算为另一组，那么由于“取出甲，乙，留下丙，丁”和“取出丙，丁，留下甲，乙”是两种不同的取出方式，而在这种计算方法中，被算作是两种不同的“分组”方式，从而得到如下6种“分组”方式：(1)第一组为：{甲,乙)；第二组为：丙,丁};(2)第一组为：{丙,丁)；第二组为：【甲,乙);(3)第一组为：{甲,丙)；第二组为：[乙,丁};(4)第一组为：{乙,丁}；第二组为：甲,丙);(5)第一组为：甲，丁1；第二组为：（乙,丙1(6)第一组为：{乙,丙)；第二组为：【甲,丁}这就是说，在这种计算中，我们已经把所分出的组编了号：取出的两个人为第一组，剩下的两人为第二组的这就告诉我们：“组合”是一种“有编号的分组模式”，或者说，按照组合模式计算出的分组方式数目中，已经天然地把组的不同编号方式数目计算在内了。例1.3.2.欲将6个人分为3组，每组2人，分别从事3项不同工作，求分配方式数解：先取出两人从事第1项工作，有C种方式；再取出两人从事第2项工作，有C种方式剩下的两人从事第3项工作.所以一共有6！46!C C = 41-2 21.21 = 2. 21. 2 = 90种分配方式在这里，3项工作是不同的，在它们之间天然地存在着“顺序”,或者叫"编号”所以适用于组合模式.由于分出的组数多于两组，所以我们将分组过程分为几步进行例1.3.3.要把7人分为3个小组，执行同一种任务，其中一个组3人，另两个组各2人，求分组方式数.解：显然这也是一个“无编号分组”问题.但是却与上面的情况有所不同.因为其中有一个3人组,无论是否编号，它都与其余两个组有所区别（编号无非是为了对分出的组加以区分），所以在按“有编号分组模式”算出分组方式数之后，只应再除以2！（即除去两个不加区分的组的排列顺序数),故得：共有7！17!3! ·2! -2 21=3 (2)33
Ó{ê8. bX·rÑü<|, r3eü<,|. @od u“Ñ`,¯, 3eZ,¶”Ú“ÑZ,¶, 3e`,¯” ´ü«ØÓѪ, 3ù« O{¥, ´ü«ØÓ“©|”ª, l Xe6«“©|”ª: (1)1|:{`,¯}¶1|µ{Z,¶}; (2)1|:{Z,¶}¶1|µ{`,¯}; (3)1|:{`,Z}¶1|µ{¯,¶}; (4)1|:{¯,¶}¶1|µ{`,Z}; (5)1|:{`,¶}¶1|µ{¯,Z}; (6)1|:{¯,Z}¶1|µ{`,¶}. ùÒ´`, 3ù«O¥, ·®²r¤©Ñ|? Ò: Ñü<1|,e ü<1|. ùÒw·: “|Ü”´«“k?Ò©| ª”, ½ö`, Uì|Ü ªOÑ©|ªê8 ¥,®²U,/r|ØÓ?Òªê8O3S . ~ 1.3.2. ò6<©3|,z|2<,©Ol¯3ØÓó,¦©ªê. )µkÑü<l¯11ó,kC 2 6«ª;2Ñü<l¯12ó, kC 2 4« ª;eü<l¯13ó. ¤±k: C 2 6 · C 2 4 = 6! 4! · 2! 4! 2! · 2! = 6! 2! · 2! · 2! = 90 «©ª. 3ùp,3ó´ØÓ,3§mU,/3X“^S”,½ö”?Ò”,¤±·^ u|Ü ª.du©Ñ|êõuü|,¤±·ò©|L§©AÚ?1. ~ 1.3.3. r7<©3|,1Ó«?Ö,Ù¥|3<,ü|2<, ¦©| ªê. ):w,ù´“Ã?Ò©|”¯K. ´%þ¡¹k¤ØÓ. ÏÙ¥k 3<|,ÃØ´Ä?Ò,§ÑÙ{ü|k¤«O(?Òô é©Ñ|\± «©),¤±3U“k?Ò©| ª”Ñ©|ªê,A2ر2! (=ØüØ\ «©|ü^Sê),: k 7! 3! · 2! · 2! · 1 2! = 7! 3! · (2!)3 3
种分组方式为了适应这种分为多个“不同的”组的问题需求，人们总结出如下的“多组组合模式"：4.多组组合模式：有n个不同元素，要把它们分为k个不同的组，使得各组依次有n1,n2,,nk个元素，其中n1+n2+..+nk=n,则一共有n!ni!n?!....nk!种不同分法，4.不尽相异元素的排列模式有n个元素，属于个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有ni，n2，..，n个，其中n+m2+..+nk=n.要把它们排成一列.则一共有n!ni!n2!..nk!种不同排法，例1.3.4.一批产品有N个，其中废品有M个。现从中随机取出n个，在以下两种情形下，分别求“其中恰好有m个废品”这一事件的概率。(1)有放回地选取；(2)不放回地选取解：记A=（其中恰好有m个废品，则(1)有放回情形Mm(N-M)n-m[2] = Nn, [A| =CmMm(N- M)n-mVP(A) =NnA(2)不放回情形[2]=CN,[A|=CMCN-MCHCN-MP(A) = CN例1.3.5.n个男生，m个女生排成一排(m≤n+1).求事件A=[任意两个女孩不相邻)的概率。又若排成一，又如何？4
«©|ª. ·Aù«©õ“ØÓ”|¯KI¦,<o(ÑXe“õ||Ü ª”: 4. õ||Ü ªµ knØÓ,r§©kØÓ|,¦ |gkn1, n2, · · · , nk,Ù¥n1 + n2 + · · · + nk = n,Kk n! n1! · n2! · . · nk! «ØÓ©{. 4’. ئÉü ª kn,áukØÓa,Óa mØE@,a©Okn1, n2, · · · , nk,Ù¥n1 + n2 + · · · + nk = n,r§ü¤,Kk n! n1! · n2! · · · nk! «ØÓü{. ~ 1.3.4. 1¬kN§Ù¥¢¬kM"yl¥ÅÑn§3±eü«/e§ ©O¦/Ù¥TÐkm¢¬0ù¯VÇ" (1) k£/À¶ (2) Ø£/À ): PA = {Ù¥TÐkm¢¬}§K (1) k£/ |Ω| = N n , |A| = n m Mm(N − M) n−m P(A) = C m n Mm(N − M) n−m Nn = n m M N mN − M N n−m (2)Ø£/ |Ω| = C n N , |A| = C m MC n−m N−M P(A) = C m MC n−m N−M Cn N ~ 1.3.5. nI), må)ü¤ü(m ≤ n+ 1). ¦¯A = {?¿üå¯Ø} VÇ"qeü¤§qXÛ? 4
解：（1）排成一排[2] = (n + m)!, [A| = n!Cm+1m![A] _ n!Cn+im!P(A) =[32] (n+m)!(2)排成一圈[2| = (n +m - 1)!, [A| = (n - 1)!Cmm!(n-1)!Cmm![A| 中P(A) =[2]-(n+m-1)!例1.3.6.r个不同的球任意放入编号为1至n的n个盒子，每球入各盒均等可能，求下列事件的概率(1)A={指定的r个盒子各含一个球)(2) B=[每盒至多有一球)(3) C=[某指定盒中恰有m个球)解：[2|=n(1) |A| = r!(2) [B| = Cnr!(3) IC|= Cm(n - 1)r=m又若球是相同的，则在这里，r个球是相同的，n个盒子是互不相同的，因此我们只需要关心各个盒子中的球数.而无需考虑哪个球落在哪个盒子中.我们可把问题设想为：r个相同的小球已经一字排开，只须在它们之间加上n一1块隔板.把它们隔为n段，然后让各段对号放入相应的盒子即可由于盒子可空，相当于要将r十n－1个不尽相异的元素进行排列，其中1类元素（小球）有r个，另1类元素（隔板）有n－1个，所以由不尽相异元素的排列模式知，一共有C++n-1 = Cp-n-1种不同分法.因此21=(1) [A| = 1(2) |B|= Cn(3) [C[ = (r-m+n-1-"-m5
): (1) ü¤ü |Ω| = (n + m)!, |A| = n!C m n+1m! P(A) = |A| |Ω| = n!C m n+1m! (n + m)! (2) ü¤ |Ω| = (n + m − 1)!, |A| = (n − 1)!C m n m! P(A) = |A| |Ω| = (n − 1)!C m n m! (n + m − 1)! ~ 1.3.6. rØÓ¥?¿\?Ò1nnÝf§z¥\Ýþ U§¦e ¯VÇ (1) A={½rÝf¹¥} (2) B={zÝõk¥} (3) C={,½Ý¥Tkm¥} ): |Ω| = n r (1) |A| = r! (2) |B| = C r n r! (3) |C| = C m r (n − 1)r−m qe¥´Ó§K3ùp,r¥´Ó,nÝf´pØÓ. Ïd·I '%Ýf¥¥ê, ÃIÄ=¥á3=Ýf¥. ·r¯Kµ rÓ¥®²iüm,L3§m\þn − 1¬ ,r§ nã, , 4ãéÒ\AÝf=. duÝf, uòr + n − 1Ø¦É ?1ü,Ù¥1a(¥)kr, ,1a( )kn − 1,¤±dØ¦É ü ª, k C r r+n−1 = C n−1 r+n−1 «ØÓ©{.Ïd |Ω| = n + r − 1 n − 1 (1) |A| = 1 (2) |B| = C r n (3) |C| = r−m+n−1−1 r−m 5
注：球相异和球相同两种情形下的样本空间是不同的，即机会均等原则是不同的。（各是什么呢？）这个例子是古典概型中一个很典型的问题，不少实际问题可以归结为它例如，若把球解释为粒子，把盒子解释为相空间中的小区域，则这个问题便相应于统计物理学里的Maxwell一Boltzmann统计．概率论历史上有一个颇为有名的问题，要求参加某次集会的r个人中没有两个人生日相同的概率，若把r个人看作上面问题中的r个球，而把一年的365看作为盒子，则n=365，这时事件B的概率即为所求概率。例如当r=40时，P(B)=0.109，这个概率已经相当小；而当r=50时，P(B)=0.03。进一步当r=55时，P(B)之值只有0.01，这实在是出乎意料地小。总之，投球问题中球相遇的概率比预料的大得多，这种意外在研究随机现象中时常遇见，也算是随机现象的特性之一吧！例1.3.7.设有方程+y+之=15,试分别求出它的正整数解和非负整数解(a,y,z)的组数解：本题可以设想为将15个无区别的小球分入3个不同的盒子，再分别将第1，2,3个盒中的球数对应为，9，z的值即可.所以,非负整数解的组数(相当于允许出现空盒的情况)为：C1+3-1 = Ci = 17 × 16=136;2而正整数解的组数（相当于不允许出现空盒的情况）为：Cli2 = C%4 = 14,13 = 91. #2注：此例的方法即是证明公式(1.3.1)的方法。例1.3.8.一个班有r个人，不计2月29日出生的（即假定一年为365天），问至少有两人同一天生日的概率是多少？要点：（1）本问题中的样本空间是什么？（2）重复排列，（3）先计算余事件例1.3.9.盒中有32只红球，4只白球，从中任摸2球，求两球中至少有一个白球的概率，要点：（1）样本空间可以考虑为所有可能的组合，也可以考虑为所有可能的选排列有些问题中只能考虑其中之一，具体问题具体分析(2）本题可以直接计算随机事件的概率，也可以先计算对应的余事件的概率，然后得到所需事件的概率6
5µ¥ÉÚ¥Óü«/e m´ØÓ§=Ŭþ K´ØÓ"( ´oQº) ù~f´;V.¥é;.¯K§Ø¢S¯K±8(§© ~X§er¥)ºâf§rÝf)ºm¥«§Kù¯KBAuÚ OÔnÆpMaxwell)BoltzmannÚO©VÇØ{¤þk¹k¶¯K§¦ ë\,g8¬r<¥vkü<)FÓVÇ©err<wþ¡¯K¥r ¥§ rc365wÝf§Kn = 365§ù¯BVÇ=¤¦VÇ"~X r = 40§P(B) = 0.109§ùVÇ®²¶ r = 50, P(B) = 0.03"?Ú r = 55§P(B)k0.01§ù¢3´Ñ¿/"o§Ý¥¯K¥¥V Ç'ýõ§ù«¿ 3ïÄÅy¥~§´ÅyA5 j ~ 1.3.7. k§x + y + z = 15,Á©O¦Ñ§ê)ÚKê)(x, y, z) | ê. )µ K±ò15ëO¥©\3ØÓÝf,2©Oò11, 2, 3Ý ¥¥êéAx, y, z=.¤±,Kê)|ê(u#NÑyݹ)µ C 15 15+3−1 = C 2 17 = 17 × 16 2 = 136; ê)|ê(uØ#NÑyݹ)µ C 3−1 15−1 = C 2 14 = 14 · 13 2 = 91. # 5: d~{=´y²úª(1.3.1){" ~ 1.3.8. kr<, ØO229FÑ)(=b½c365U) , ¯kü<Ó U)FVÇ´õ? :: (1) ¯K¥ m´o? (2) Eü, (3) kO{¯ ~ 1.3.9. Ý¥k32ù¥, 4x¥, l¥?¹2¥, ¦ü¥¥kx¥VÇ. :: (1) m±Ä¤kU|Ü, ±Ä¤kUÀü, k ¯K¥UÄÙ¥, äN¯KäN©Û, (2) K±OůVÇ, ±kOéA{¯VÇ, , ¤I¯VÇ. 6
例1.3.10.设有n个人随机地坐到礼堂第一排N个座位上去，试求下列事件的概率：(1)任何人都没有邻座；（2)每人恰有一个邻座；(3)关于中央座位对称的两个座位至少有一个空着。解：分别用A,B,C表示上述(1)-(3)各事件。则j2)=PN(1)视此n个人为“女生”，N-n个座位为“男生”，则A|=CN-n+1n!(2) [B| = CN/=n+1n!(3)CN/22"n!,Nis evenICI=( nC(~=1)/22n-1(n - 1)! + C(v-1)/22nnl, N is oddS1.4几何概率在实际中，我们还会碰到样本点无限多的情形。此处举几个例子。定义1.4.1.设是欧氏空间中确定的集合，满足条件0<m(2)<+80。对2中的任何可测子集A,称P(A) = m(A)= m(2)为事件A的几何概率。这里等可能性体现在“落在区域A的概率与区域A的测度成正比并且与其形状位置无关。”例1.4.1.甲乙两人约定在[0,T时段内去某地会面，规定先到者等候一段时间t(t≤T)再离去。试求事件A=甲乙将会面1的概率。解：以a,y分别表示甲乙到达会面地点的时间。则2=((c,y)lo≤a,y≤T)，而A=[(,9)le= ≤t),因此P(A) =() =1 -(1 -)2.例1.4.2.桌面上画满间隔均为a的平行线，现向桌面任意投放一长为l(l<a)的针，求事件E=[针与某直线相交]的概率。解：如下图所示，针的位置由针的中点到最近直线的距离p及针与直线所夹锐角决定。于是=(p,)：0≤≤a/20≤≤元/2).由针的任意性，样本点(p,0)在2中均勺分布，是几何概型。而针与某直线相交，当且仅当p≤sino.即E=(e.0) E0:p≤6sin0)7
~ 1.3.10. kn<Å/r,1üN þ§Á¦e¯Vǵ(1)? Û<Ñvk¶(2) z<Tk¶(3) 'u¥ é¡ü k X" ): ©O^A, B, CL«þã(1)-(3)¯"K|Ω| = P n N . (1) Àdn</å)0§N − n /I)0§K|A| = C n N−n+1n! (2) |B| = C n/2 N−n+1n! (3) |C| = C n N/2 2 nn!, N is even nCn−1 (N−1)/2 2 n−1 (n − 1)! + C n (N−1)/2 2 nn!, N is odd §1.4 AÛVÇ 3¢S¥§·¬- :Ãõ/"d?ÞA~f" ½Â 1.4.1. Ω´î¼m¥(½8ܧ÷v^0 < m(Ω) < +∞"éΩ¥?Û ÿf8A,¡ P(A) = m(A) m(Ω) ¯AAÛVÇ"ùp U5Ny3/á3«AVÇ«Aÿݤ'¿ Ù/G Ã'"” ~ 1.4.1. `¯ü<½3[0, T]ãS,/¬¡§5½kö ÿãmt(t ≤ T)2 l"Á¦¯A={`¯ò¬¡}VÇ" ): ±x, y©OL«`¯¬¡/:m"KΩ = {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ T}§ A = {(x, y)||x − y| ≤ t}, ÏdP(A) = m(A) m(Ω) = 1 − (1 − t T ) 2 . ~ 1.4.2. S¡þx÷m þa²1§yS¡?¿Ýl(l < a)§¦¯ E ={,}VÇ" )µXe㤫§ d¥:Cålρ9¤Ybθû ½"u´Ω = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ a/2, 0 ≤ θ ≤ π/2}. d?¿5§ :(ρ, θ) 3Ω¥þ! ©Ù§´AÛV." ,§ =ρ ≤ l 2 sinθ. = E = {(ρ, θ) ∈ Ω : ρ ≤ l 2 sinθ} 7
图1.4.1针和平行线位置关系x/2元/2Taasinddgm(2) =m(E)4.所以P(E) = m(E) _ 21m(2)一a值得注意的是这里采用的方法：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量-这里是常数元有关，然后设计随机试验，并通过这个试验的结果来确定这些量。这也就是Monte-Carlo思想例1.4.3.设随机向区间[0,1)中投一个点，记A为该点落入(0,),An为该点落入区间[㎡+，),则A=Ann=1如果假定所投的点落入某区间的概率等于该区间的长度，则P(A)=1/2,P(An)=2+r，所以有P(An)P(A) = n=1这个例子说明了我们在前面所提到的概率的频率定义的缺陷。例1.4.4.在圆周上任取三点A,B,C，求事件E={△ABC为锐角三角形)的概率。(1/4)例1.4.5.在圆上任取两点A,B连成一条弦，再任取两点C,D连成一弦，求AB与CD相交的概率。(1/3)8
ã 1.4.1 Ú²1 'X m(Ω) = πa 4 , m(E) = ˆ π/2 0 l 2 sinθdθ ¤± P(E) = m(E) m(Ω) = 2l πa . 5¿´ùpæ^{µïáVÇ .§§, ·a,þ–ù p´~êπ–k'§,OÅÁ§¿ÏLùÁ(J5(½ù þ"ùÒ ´Monte-Carlog. ~ 1.4.3. Å«m[0, 1)¥Ý:§PAT:á\(0, 1 2 ), AnT:á\«m[ 1 2n+1 , 1 2n ), K A = X∞ n=1 An. XJb½¤Ý:á\,«mVÇ uT«mݧKP(A) = 1/2, P(An) = 1 2n+1§ ¤±k P(A) = X∞ n=1 P(An) ù~f`² ·3c¡¤JVǪǽÂ"" ~ 1.4.4. 3 ±þ?n:A, B, C§¦¯E={4ABCbn/}VÇ"(1/4) ~ 1.4.5. 3 þ?ü:A, Bë¤^u§2?ü:C, Dë¤u§¦ABCD VÇ"(1/3) 8