《线性代数（Linear Algebra）》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵 2-4 矩阵的秩

第4节矩阵的秩1.k阶子式2.矩阵的秩3.矩阵秩的求法

第4节 矩阵的秩 1. k阶子式 2. 矩阵的秩 3. 矩阵秩的求法

1、k阶子式定义1在mxn矩阵A中，任取k行与k列（k<m，k<n），位于这些行列交叉处的K个元素，按原来的次序组成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式例如货是A的A-一个二阶子式mxn矩阵A的k阶子式有CkCk个

          1 1 −2 1 4 2 −1 −1 1 2 2 −3 1 −1 2 3 6 −9 7 9 A=  定义1 在mn矩阵A中 任取k行与k列(km kn) 位于这些行列交叉处的k 2个元素 按原来的次序组 成的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 例如 D= 是A的 一个二阶子式 mn 矩阵 A 的 k 阶子式有 k n k Cm C 个 1 1 − − 3 1 1、k阶子式

2.矩阵的秩定义2矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩记作r(A).注（1）若A为mxn矩阵，则0≤r(A）≤min（m，n）(2) r(A)=r(A)(3）对于n阶矩阵A,当A+0时，r(A)=n，称A为满秩矩阵当A=0时,r(A)<n.称A为降秩矩阵

定义2 矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩 记作r(A). 注 (1) 若A为mn矩阵 则0 r(A) min{m n} (2) r(AT)=r(A) (3) 对于n阶矩阵A 当|A|0时r(A)=n,称A为满秩矩阵 当|A|=0时r(A)n 称A为降秩矩阵 2. 矩阵的秩

23123-5的秩。例2.4.1求矩阵A=471解：A的三阶子式只有一个，经计算知A-0，23--1±0,但A中有一个二阶子式23因此r(A)=2

但A中有一个二阶子式 1 0 2 3 1 2 =−   例 2.4.1 求矩阵 的秩。           = − 4 7 1 2 3 5 1 2 3 A 解： A的三阶子式只有一个，经计算知|A|=0， 因此 r(A)=2

512342508例2.4.2求矩阵A的秩：0O21200OO000O解：在A中，由它的1，2，3行与1，2，行阶梯形矩阵3列构成的一个三阶子式145058一10±000国而A的所有四阶子式全为零，即r(A)=3

例 2.4.2 求矩阵A的秩：                 − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 5 8 2 2 4 5 3 A 10 0 0 0 1 0 5 8 2 4 5 =  − 解：在A中，由它的1，2，3行与1，2， 3列构成的一个三阶子式 而A的所有四阶子式全为零，即r(A)=3. 行阶梯形矩阵

定义3一个矩阵若满足下面两个条件：（1）每行第一个非零元前面零的个数逐行增加：（2）零行位于矩阵的最下方（有零行的情况下）则称该矩阵为行阶梯形矩阵

定义3 一个矩阵若满足下面两个条件： （2）零行位于矩阵的最下方（有零行的情况下）， （1）每行第一个非零元前面零的个数逐行增加； 则称该矩阵为行阶梯形矩阵

2534一20115028103100-21002000000?0000即为行阶梯形矩阵

                − −               0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 5 8 2 2 4 5 3 , 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 3 1 2 0 1 即为行阶梯形矩阵

3222O21

              2 -4 5 3 0 5 8 2 0 2 1 -2 0 0 2 1 0000

有一种特殊的行阶梯形矩阵：

            1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 有一种特殊的行阶梯形矩阵：

行最简形矩阵：每行的第一个非零元是1，且这些非零元所在列的其余元素全为0的行阶梯形矩阵。O门OO0例如2OOO0OO行最简形矩阵注：1任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵

              − 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 例如 行最简形矩阵 注： 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行 阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 行最简形矩阵： 每行的第一个非零元是1，且这 些非零元所在列的其余元素全为0的行阶梯形矩阵