第6章向量空间6.1向量空间的定义和例子子空间6. 26.3向量的线性相关6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间
第6章 向量空间 6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。—--皮尔斯(S.Peirce,1838—1914)不懂几何者勿入内（指：柏拉图学园）--柏拉图（Plato，约公元前427年一前347年）不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门一一一匿名者
数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 -皮尔斯(S. Peirce,1838－1914) 不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) -柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年) 不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 -匿名者
向量空间（VectorSpaces）又称线性空间（LinearSpaces）.本章的特点及要求：向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统．所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法
向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求： 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一， 是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法
S6.1向量空间的定义和例子1.引例一一一定义产生的背景2.向量空间的定义一一一一抽象出的数学本质3.进一步的例子一一一加深对定义的理解4.一些简单性质
§6.1 向量空间的定义和例子 1.引例―――定义产生的背景. 2.向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3.进一步的例子―――加深对定义的理解. 4.一些简单性质
1.引例一一一定义产生的背景例1设F是一个数域，Fmxn表示上m×n矩阵的集合回忆一下Fmxn上所能够施行的运算（教材P182）：只有加法和数乘两种，并且满足（教材P183)：1.A+B=B+A5.a(A+B)= aA+Ab2. (A+B)+C= A+(B+C)6.(a+b)B=aB+Bb3.0+A=A7. (ab)A=a(b)A4.A+(-A)=0还有一个显而易见的：8.1A=A
1. 引例―――定义产生的背景 例1 设 F 是一个数域， m n F 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 m n F 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)： 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C= A+( B+C) 3.O＋A=A 4.A+(-A)=O 5.a(A+B)= aA+Ab 6.(a+b)B=a B +Bb 7.(ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
例2设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质．按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式，·类似的问题许多，，有必要总结它们的共性：1.涉及两个集合（其中一个集合..）II.涉及两种运算（什么样的运算？）：IIl.满足8条运算性质
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，. 类似的问题许多，.，有必要总结它们的共性： I. 涉及两个集合（其中一个集合.）. II. 涉及两种运算（什么样的运算？）. III. 满足8条运算性质
2.向量空间的定义一抽象出的数学本质定义1设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：闭合性：(c1）V上有（闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V，一定有u+v属于V.(c2）F上的数对V上的向量有（闭合的）数乘运算，即：对任意F中数和V中元素v,一定有：v属于V加法的性质：(a1）u+v=v+u，对所有u和v属于Vu+(v+w)=（u+v)+w,对所有u、v和w属于v.(a2)(a3)V中存在一个向量，记作o，它满足：v+o=v对所有V中的v(a4)给定V中每一个向量v，V中存在一个向量u满足：u+v=0.这样的u称为v的负向量
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质 定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立： 闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量
乘法的性质：(m1) (ab)V =a(bV), Va, beF(m2) a(U+V)= aU +aV.(m3) (a+b)U =aU+bU.(m4）1u=u对所有u属于v
乘法的性质： (m1) ab aV bV)()( ， Fba . (m2) VUa )( aVaU . (m3) （ )Uba bUaU . (m4) 1u= u 对所有u属于V
3.进一步的例子一一加深定义的理解例3按照定义1，Fmxn是数域F上的向量空间，称为矩阵空间(1) Flxn,Fmxl统称为n元向量空间，统一用符号F"表示(2)R"是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常用的一类例4数域F上一元多项式集合F风按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间证明：根据多项式加法和数乘的定义，(c1) f(x)+g(×) E F[冈), 任给f(x),g(x) E F[冈)(c2) αf(×) EF[],任给 αEF,f(×)EF[)(a1) f(x)+g(x)= g(×) + f (×), 任给f(×),g(×)EF[冈)
3. 进一步的例子――加深定义的理解 例3 按照定义1， m n F 是数域F上的向量空间，称为矩阵 空间. （1） 1 1 , n n F F 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 n F 表示. （2） n R 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类. . 例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义， (c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) a f(x) F[x]，任给 a F，f(x) F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x]
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) 1任给f(×),g(x),h(×) E F[冈)（a3）0向量就是零多项式(a4)f(x)的负向量为（-f(x)）(m1) (ab) f(x)=a(bf(x))(m2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(×)(m3) (a+b) f(x)=af(x)+ bf(x)(m4) 1 xf(x)= f(x)注1：刚开始，步骤要完整
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ], 任给f(x),g(x),h(x) F[x]. (a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) ( ) ab f(x)= a b( f(x)). (m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) ( ) a b f(x)= a f(x)+ b f(x). (m4) 1 f(x)= f(x). 注1：刚开始，步骤要完整