
第6章向量空间6.1向量空间的定义和例子子空间6. 26.3向量的线性相关6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间
第6章 向量空间 6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间

数学研究理想结构(突出应用于实际问题),并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。—--皮尔斯(S.Peirce,1838—1914)不懂几何者勿入内(指:柏拉图学园)--柏拉图(Plato,约公元前427年一前347年)不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门一一一匿名者
数学研究理想结构(突出应用于实际问题),并在这 种研究中去发现各种结构之间的未知关系。 -皮尔斯(S. Peirce,1838-1914) 不懂几何者勿入内 (指:柏拉图学园) -柏拉图(Plato,约公元前427年-前347年) 不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门 -匿名者

向量空间(VectorSpaces)又称线性空间(LinearSpaces).本章的特点及要求:向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一,是进一步学习数学必备的内容向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性非常组解的结构向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数系统,就是带有运算的集合.通过本章的学习,初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法
向量空间(Vector Spaces)又称线性空间(Linear Spaces).本章的特点及要求: 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一, 是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包 括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性非常组解 的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统,就是带有运算的集合.通过本章的学习,初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法

S6.1向量空间的定义和例子1.引例一一一定义产生的背景2.向量空间的定义一一一一抽象出的数学本质3.进一步的例子一一一加深对定义的理解4.一些简单性质
§6.1 向量空间的定义和例子 1.引例―――定义产生的背景. 2.向量空间的定义――――抽象出的数学本质. 3.进一步的例子―――加深对定义的理解. 4.一些简单性质

1.引例一一一定义产生的背景例1设F是一个数域,Fmxn表示上m×n矩阵的集合回忆一下Fmxn上所能够施行的运算(教材P182):只有加法和数乘两种,并且满足(教材P183):1.A+B=B+A5.a(A+B)= aA+Ab2. (A+B)+C= A+(B+C)6.(a+b)B=aB+Bb3.0+A=A7. (ab)A=a(b)A4.A+(-A)=0还有一个显而易见的:8.1A=A
1. 引例―――定义产生的背景 例1 设 F 是一个数域, m n F 表示上m×n矩阵的集合, 回忆一下 m n F 上所能够施行的运算(教材P182):只有 加法和数乘两种,并且满足(教材P183): 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C= A+( B+C) 3.O+A=A 4.A+(-A)=O 5.a(A+B)= aA+Ab 6.(a+b)B=a B +Bb 7.(ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的: 8. 1A=A

例2设R是实数域,V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法(平行四边形法则),可以用R中的一个数乘一个向量,加法和数乘满足同样的8条性质.按照解析几何的方法,向量可以用的坐标(x,y,z)来表达,加法和数乘都有表达式,·类似的问题许多,,有必要总结它们的共性:1.涉及两个集合(其中一个集合..)II.涉及两种运算(什么样的运算?):IIl.满足8条运算性质
例2 设R是实数域,V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法(平行四边形法则),可以用R中的一个数乘一个 向量,加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法,向量可以用的坐标(x,y,z)来表达,加法和数乘都 有表达式,. 类似的问题许多,.,有必要总结它们的共性: I. 涉及两个集合(其中一个集合.). II. 涉及两种运算(什么样的运算?). III. 满足8条运算性质

2.向量空间的定义一抽象出的数学本质定义1设F是一个数域,V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量,V称为向量空间,如果下列条件成立:闭合性:(c1)V上有(闭合的)加法运算,即:对任意u,v属于V,一定有u+v属于V.(c2)F上的数对V上的向量有(闭合的)数乘运算,即:对任意F中数和V中元素v,一定有:v属于V加法的性质:(a1)u+v=v+u,对所有u和v属于Vu+(v+w)=(u+v)+w,对所有u、v和w属于v.(a2)(a3)V中存在一个向量,记作o,它满足:v+o=v对所有V中的v(a4)给定V中每一个向量v,V中存在一个向量u满足:u+v=0.这样的u称为v的负向量
2. 向量空间的定义-抽象出的数学本质 定义1 设F是一个数域,V是一个非空集合.我们把V中的 元素称为向量,V称为向量空间,如果下列条件成立: 闭合性: (c1) V上有(闭合的)加法运算,即:对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算,即:对任意F中数 和V中元素v, 一定有: v属于V. 加法的性质: (a1) u+v= v +u,对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量,记作o, 它满足:v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足: u+v= 0. 这样的u称为v的负向量

乘法的性质:(m1) (ab)V =a(bV), Va, beF(m2) a(U+V)= aU +aV.(m3) (a+b)U =aU+bU.(m4)1u=u对所有u属于v
乘法的性质: (m1) ab aV bV)()( , Fba . (m2) VUa )( aVaU . (m3) ( )Uba bUaU . (m4) 1u= u 对所有u属于V

3.进一步的例子一一加深定义的理解例3按照定义1,Fmxn是数域F上的向量空间,称为矩阵空间(1) Flxn,Fmxl统称为n元向量空间,统一用符号F"表示(2)R"是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常用的一类例4数域F上一元多项式集合F风按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间,称为多项式空间证明:根据多项式加法和数乘的定义,(c1) f(x)+g(×) E F[冈), 任给f(x),g(x) E F[冈)(c2) αf(×) EF[],任给 αEF,f(×)EF[)(a1) f(x)+g(x)= g(×) + f (×), 任给f(×),g(×)EF[冈)
3. 进一步的例子――加深定义的理解 例3 按照定义1, m n F 是数域F上的向量空间,称为矩阵 空间. (1) 1 1 , n n F F 统称为n元向量空间,统一用符号 n F 表示. (2) n R 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类. . 例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘 构成F上的向量空间,称为多项式空间. 证明:根据多项式加法和数乘的定义, (c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) a f(x) F[x],任给 a F,f(x) F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x]

(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) 1任给f(×),g(x),h(×) E F[冈)(a3)0向量就是零多项式(a4)f(x)的负向量为(-f(x))(m1) (ab) f(x)=a(bf(x))(m2) a[f(x)+g(x)]= af(x)+ ag(×)(m3) (a+b) f(x)=af(x)+ bf(x)(m4) 1 xf(x)= f(x)注1:刚开始,步骤要完整
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ], 任给f(x),g(x),h(x) F[x]. (a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为(- f(x)). (m1) ( ) ab f(x)= a b( f(x)). (m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) ( ) a b f(x)= a f(x)+ b f(x). (m4) 1 f(x)= f(x). 注1:刚开始,步骤要完整