第一章基本概念1.1 集合1. 2 映射1.3岁数学归纳法1.4整数的一些整除性质1.5 数环和数域课外学习1：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村评析数学进程中的三次危机
第一章 基本概念 1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域 课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村 -评析数学进程中的三次危机
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要一一康托尔（Cantor，集合论的奠基人，1845一1918）算术给我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。--高斯（Gauss,1777-1855)数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备-麦斯韦（JamesClarkMaxwe111831-1879）
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要。 ――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918） 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 -高斯（Gauss,1777-1855） 数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 -麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
集合1.1内容分布1.1.1集合的描述性定义1.1.2集合的表示方法1.1.3集合的包含和相等1.1.4集合的运算及其性质教学目的掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点集合概念、证明集合相等
1.1 集合 内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质 教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法 重点、难点 集合概念、证明集合相等
1.1.1集合的描述性定义表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”“一班”、“一筐”组成集合的东西叫这个集合的元素我们常用大写拉丁字母A，B，C，..表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，...表示元素如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作αEA；或者说A包含a，记作Aa如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作α史A；或者说A不包含a，记作Aba例如，讠设A是一切偶数所成的集合，那么4EA，而3±A
1.1.1 集合的描述性定义 表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如 “一队” 、 “一班” 、 “一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，.表示集合，用小 写拉丁字母a，b，c，.表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；或 者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ； 或者说A不包含a，记作 Aa a A 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 3 A
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合.如，前十个正整数的集合：一个学校的全体学生的集合：一本书单面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合.如，全体自然数的集合全体实数的集合：小于的全体有理数的集合等等都是无限集合不含任何元素的集合叫空集.表示为：0
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的 全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等 等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元 素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合； 全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都 是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
1.1.2集合的表示方法枚举法：例如，我们把一个含有n个元素的集合的有限集合aia2a表示成.a2a.前五个正整数的集合就可以记作(1,2,3,4,5)。枚举仅用来表示有限集合拟枚举：自然数的集合可以记作123.4.5....n....，拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合，像自然数、整数...概括原则：如果一个集A是由一切具有某一性质的元素所组成的，那么就用记号A=(x|x具有某一性质)来表示.例如
1.1.2 集合的表示方法 枚举法: 例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限 集合 表示成： . 前五个正 整数的集合就可以记作 . n , aaa 21 n , aaa 21 5,4,3,2,1 枚举仅用来表示有限集合. 拟枚举: 自然数的集合可以记作 , 拟枚举 可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数. 5,4,3,2,1 n. 概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号 |{x A x具有某一性质 来表示. 例如
A=(x|xER-1<x<1表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C
表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. xRxxA }11,|{ 常用的数集： 全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
1.1.3集合的包含和相等设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是的元素，那么就说A是B的子集，记作AcB读作A属于B），或记作BA（读作B包含A）：根据这个定义，A是B的的子集必要且只要对于每一个元素x，如果xEA，就有xeB·例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而后者又是一切实数的集合的子集A是B的子集，记作：(A≤B)←(对于一切x:xEA=xEB)
1.1.3 集合的包含和相等 设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那 么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 （读作Ａ属于Ｂ），或 记作 （读作Ｂ包含Ａ）. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的 的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 ，就 有 . BA AB Ax Bx 例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集. A是B的子集，记作： BA 对于一切 :()( BxAxx )
如果A不是的子集，就记作：AOB或AUB：因此，A不是的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B即：(A0 B)←(存在一个元素x:xEA但x± B)例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后者．集合[1，2，3]不是[2，3，4，5]的子集根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：A二A如果集合A与的由完全相同之处的元素组成部分的，就我们有说A与B相等，记作：A=B.(A=B)(对于一切x: x E A x EB)
如果A不是B的子集，就记作： 或 . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B， 即： A B Ø A B Ù ( ) ( A B Ø 存在一个元素 但 x x A x B : ) 例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一 切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后 者. 集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集. 根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即： AA 如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有 BA 对于一切 :()( BxAxx )
例如，设A[1，2]，二次方程x2-3x+2=0 的根的集合，则A=B.(ACB且BCc)=(ACC)(AB且BCA) ←(A=B)
例如，设 A={1 ，2} ， B是二次方程 的根 的集合，则A=B. 023 2 xx ( 且 CAcBBA )() ( 且 BAABBA )()