《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第7章 线性变换

第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值

第七章 线性变换 7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵 课外学习8：一类特殊矩阵的特征值

当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。一一一拉格朗日（Lagrange,1736-1813)数与形，本是相倚依，爲能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。一-华罗庚（19101985

当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取 对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。 -拉格朗日（Lagrange,1736-1813） 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 -华罗庚（1910－1985）

7.1线性映射一、内容分布7.1.1线性映射的定义、例7.1.2线性变换的象与核二、教学目的：1.准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）：2.正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核，三、重点难点：判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核

7.1 线性映射 一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核. 二、 教学目的: 1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定 的法则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的 联系，并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变 换（线性映射），求给定线性变换的象与核．

7.1.1线性映射的定义、例设F是一个数域，V和W是F上向量空间定义1设g是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称g是V到W的一个线性映射：①对于任意 ≤,nE V, o(+n)=o()+o(n)②对于任意aEF,V,o(a)=ao()容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件-③对于任意a,beF和任意,nVo(a=+bn)=ao()+bo(n)

7.1.1 线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意  V,  ()()(  ).   aaVFa  )()(, ,  Fba  V,  baba  )()()(

在②中取α=0，对③进行数学归纳，可以得到：(1) (0)= 0(2) o(ai5i +...+anEn) = ajo(51)+...+ano(En)例1对于R2的每一向量==(x,x2)定义0(E)=(x1,Xf -X2,Xf +x2)e R3o是R到R的一个映射，我们证明，是一个线性映射例2令H是V中经过原点的一个平面.对于V，的每一向量，令α（表示向量在平面H上的正射影根据射影的性质，:→α()是 V,到 V,的一个线性映射

在②中取 ，对③进行数学归纳，可以得到： （1） （2） a  0   0)0( ( )()() 11  nn aaa  11  a  nn 例1 对于 的每一向量 定义 σ是 到 的一个映射，我们证明，σ是一个线 性映射. 2 R   21   , xx     3 21211  ,  Rxxxxx 3 R 2 R 例2 令H是 中经过原点的一个平面.对于 的每 一向量ξ，令 表示向量ξ在平面H上的正射影. 根据射影的性质， 是 到 的一个线 性映射. V3 V3    :     V3 V3

例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间的Fm每一向量t3.X0(E)= As规定：o(=)是一个m×1矩阵，即是空间Fm的一个向量，g是到Fn的F个线性映射

例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空 间的 F m 每一向量                n x x x  2 1  规定：     是一个m×1矩阵，即是空间 的一个向量， σ是 到 的一个线性映射.    m F m F n F

例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意eV,定义 ()=k容易验证，是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个位似特别，取k=1，那么对于每一V,都有 ()=这时就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0，那么就是V到V的零映射

例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到 W的一个线性映射，叫做零映射. 例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数 k，对于任意 定义 容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一 个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映 射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射.  V,    k  V,    

例6取定F的一个n元数列an)对于FnC规定的每一向量 =(xi x2 .…. xn)o()=aixi +a,x2 +...+anxn EF容易验证，是F到F的一个线性映射，这个线性±一个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或型例7对于F[冈的每一多项式f（x），令它的导数(x)与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[]到自身的一个线性映射

例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定 容易验证，σ是 到F的一个线性映射，这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性 型.  . 21  aaa n n F  . 21 n    xxx    2211  nn  Fxaxaxa n F n F 例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射.   xf

例8令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所规定成的R上向量空间，对于每一 f(x)eC[a,blo(f(x)= /f()dt(f(x仍是[a,b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，α是C[a,b]到自身的一个线性映射

例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所 成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的 基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.     baCxf ,     tfxf dt x a       xf

7.1.2线性变换的象与核定义2设g是向量空间V到W的一个线性映射(1)如果V'≤V,那么 α(V')={α()I≤eV 叫做 V在之下的象(2)设W'W,那么Vlo()W叫做W'在o之下的原象，定理7.1.1设V和W是数域F上向量空间，而是一个线性映射，那么V的任意子空间o:VW是在g之下的象是W的一个子空间，而W的任意子空间在g之下的原象是V的一个子空间

7.1.2 线性变换的象与核 定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在σ之下的象. (2) 设 那么 叫做 在σ 之下的原象.  VV , V   V}|)({)( V   WW , V   }W)( |{ W  定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间 在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.  : WV