《高等代数 Advanced Algebra》课程教学资源（教案讲义）第9章 二次型

第九章二次型9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4 主轴问题

第九章 二次型 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题

我思故我在笛卡儿（Rene Descartes，1596-1650如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。牛顿(Newton,1642—1727)

我思故我在。 -笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650) 如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。 - 牛顿（Newton,1642－1727）

9.1二次型和对称矩阵一.内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二.教学目的1.掌握二次型及其矩阵的定义以及矩阵的合同2.理解关于二次型的线性变换3.了解二次型的标准形三.重点难点：合同、线性变换、二次型的标准形

9.1 二次型和对称矩阵 一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形 二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形

9.1.1二次型及矩阵定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式q(xi,X2,.,xn)=ai1xi +a22x? +.+annxn-(1)+2a12XjX2 +2ai3jX3 +..+2an-1,nXn-1xn叫做F上的一个n元二次型F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数g:Fn→F. 所以n元二次型也叫n个变量的二次型在（1）中令aj =ai(1≤i,j≤n).因为xi,=xjxi,所以（1）式可以写成以下形式：

9.1.1 二次型及矩阵 定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 （1） nnnn n nn n xxaxxaxxa xaxaxaxxxq 1 2 21 1 3 31 1,1 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 ),(              叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. FFq .: n  在（1）中令 因为 所以（1）式可以写成以下形式： njiaa .),1(  jiij   ,  xxxx ijji

n22q(xi,x2,..,xn)=(2)aix,Xj,aj=ajii=l j=l令A=（ai）是（2）式右端的系数所构成的矩阵，称为二次型q(xi,X2,…,xn）的矩阵。因为a,=aji,所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（2）式可以写成X1X2(3)q(Xi,X2,,Xn)=(Xi,X2,..*,Xn)AXn二次型型（3）的秩指的就是矩阵A的秩

（2）      n i n j n ij ji jiij xxxq aaxxa 1 1 21  ),( , 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称 为二次型 的矩阵。因为 , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成 )( 令  aA ij ),( 21  xxxq n jiij  aa （3）                n n n x x x Axxxxxxq    2 1 21 21 ),(),( 二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩

9.1.2线性变换型（3）的变量施行如下的一个变换如果对二次型(4) x, =Epijyj, i=1,2,.,n, Pi, eF(l≤i,j≤n)1那么就得到一个关于yi,J2，，yn的二次型q'(yi, Y2,**", Yn)(4)式称为变量的线性变换，令P=(pi）是（4)的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成

9.1.2 线性变换 如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） ),1(,2,1, 1 x pi njiFpniy ij n i i   jj       那么就得到一个关于 21  , yyy n 的二次型 ),( 21 n   yyyq （4）式称为变量的线性变换，令 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成 )( ij  pP

xiy1X2y2(5)P三X111将（5）代入（3）就得到yi(6)q'(y1,y2,"",yn) =(yi,J2,"", yn)P'AP..矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是对称矩阵，所以(P'AP)=P'A'P=P'AP.P'AP也是对称矩阵

（5）                              n n y y y P x x x  2 1 2 1 将（5）代入（3）就得到 （6）                  n n n y y y Pyyyyyyq AP    2 1 21 21 ),(),( 矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵，所以 也是对称矩阵。 PAP)(      PPAP AP. PAP

nZ定理9.1.1设aijxx，是数域F上的一个以A为i-1 j-1矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是PAP。推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变注意：如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立

推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。 注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立 定理9.1.1 设 是数域F上的一个以A为 矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩    n i n j ij ji xxa 1 1 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 PAP

9.1.3矩阵的合同定义2设A，B是数域F上的两个n阶矩阵。如果存在F上的一个非异矩阵P，使得PAP=B那么称B与A合同矩阵的合同关系的性质：自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A对称性：如果B与A合同，那么A他与合同，因为由PAP=B可以得出(P-I)'BP-1 =(P')-1BP-1 = A传递性：如果B与A合同，C与B合同，那么C与A合同

9.1.3 矩阵的合同 定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵P，使得 那么称B与A合同。 PAP  B 矩阵的合同关系的性质： ③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 么C 与 A 合同。 ① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A PAP  B P BP  P BP  A  11  1 1)()( ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 可以得出

事实上，由P'AP=B和Q'BQ=C可得(PQ)A(PQ) = Q'P'APQ = Q'BQ = C合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的设g和g是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将9变为g，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得B=P'AP通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将q变为gF上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个

事实上，由 可得 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的. PAP  和 QB BQ  C PQ A PQ)()(     QAPQPQ BQ  C 是数域F上两个n 元二次型，它们的 矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 . 设 和 qq  变为 qq   PB AP 变为 qq  F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个