第3章向量向量的线性相关性是线性代数的理论基础，是系统研究线性方程组解的结构的理论工具，对本书以后各章的学习起着十分重要的作用，本章除讨论向量组的线性相关、线性无关，向量组的秩，向量组的极大线性无关组等重要概念外，还将介绍和探究一些重要的理论和方法
第3章 向 量 向量的线性相关性是线性代数的理论基础 , 是系统研究线性方程组解的结构的理论工具, 对 本书以后各章的学习起着十分重要的作用. 本章 除讨论向量组的线性相关、线性无关, 向量组的 秩, 向量组的极大线性无关组等重要概念外, 还 将介绍和探究一些重要的理论和方法
第1节向量的定义及其线性运算1.引例2.向量的概念3.向量的表示4.向量的线性运算5.运算规律
第1节 向量的定义及其线性运算 1. 引例 2. 向量的概念 3. 向量的表示 4. 向量的线性运算 5. 运算规律
1.引例在解析几何中，引进直角坐标系后，平面上的每个点可以用有序数组（x，）表示：空间的点可用有序数组（x，，z）表示zT.(x,y,z). (x,y)X
1. 引例 在解析几何中, 引进直角坐标系后, 平面上的每 个点可以用有序数组 (x , y) 表示; 空间的点可用有序数组 (x , y , z) 表示. o y x . (x , y) o z x y . (x , y , z)
实际问题中，我们经常会碰到超过三个数的数组，例如描述飞机在空中的状态，需要知道6个量：飞机重心在空中的位置：（x，yz)（-元<≤元）机翼的转角机身的仰角（-元/2<≤元/2）机身的水平转角0（0≤0<2元）所以，确定飞机的状态，需用6个元素的有序数组：(x,y,z,,,)
实际问题中, 我们经常会碰到超过三个数的数组, 例如描述飞机在空中的状态, 需要知道6个量： 飞机重心在空中的位置: (x, y, z) 机翼的转角 机身的仰角 机身的水平转角 所以, 确定飞机的状态, 需用6个元素的有序数组: ψ (-π<ψ≤π) φ (-π/2<φ≤π/2) θ (0≤θ<2π) (x, y, z , ψ , φ , θ)
对于n元线性方程组ax+a2x+...+ainx,=ba21x,a22x+..+a2nx,=b,anix,+anzx,+...+annx,=bn每一个方程可用一个n+1元有序数组(a,aiz,...,ain,b,)i=1,2,..,n来表示
对于n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 每一个方程可用一个n+1元有序数组 ( ) 1 2 , , , , i i in i a a a b 来表示． i = 1, 2, ., n
2.向量的概念定义1n个数ai,a2，…，a,组成有序数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数a，称为第i个分量分量全为实数的向量称为实向量：分量全为复数的向量称为复向量分量全为零的向量称为零向量，记作0
2. 向量的概念 n个数a1 a2 an组成有序数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的n个分量第i个 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量; 分量全为零的向量称为零向量, 记作 0 . 定义1 数ai 称为第i个分量
3.向量的表示由有序数组a，az，…，a,所组成的n维向量常记为a,a2α=（ai,2,",an）或α=心an行向量列向量注1.行向量常用列向量的转置来表示2.若无特别说明，本书所讨论的向量都指列向量
3. 向量的表示 由有序数组a1 a2 an所组成的n维向量常记为 ( a1 a2 an ) 或 行向量 列向量 = = 2.若无特别说明, 本书所讨论的向量都指列向量． 1 2 n a a a 注 1. 行向量常用列向量的转置来表示
矩阵与其列（行）向量组的一一对应au..ain(au,ai,..,ain)-βa2a21a22a2n（a21,a22,..a2n）=β2A=(am,am2,.",amm)=βmaaamlm21mnmααBB：·ananA=心ana2i电βm·.e··A=(a1,a2..,an)aaml)am2）mn
矩阵与其列(行)向量组的一一对应 11 12 1 21 22 2 1 2 = n n m m mn a a a a a a A a a a 11 12 1 ( ) n a ,a , ,a 1 2 ( ) m m mn a ,a , ,a . . 21 22 2 ( ) n a ,a , ,a 11 21 m1 a a a 12 22 m2 a a a 1 2 n n mn a a a . . = 1 = 2 = n = β1 = β2 = βm . . A = 1 2 β β βm ( ) A n , , , = 1 2
a小二baz与β设向量α=二的对应分量都相等b.an即a=b;（i-1,2，…，n），则称向量α与相等，记作α=β.-aaa福为向量α=的负向量称向量-α=ana
1 2 = n a a α a 设向量 与 1 2 = n b b b 的对应分量都相等 , 即 ai= bi (i=1, 2, ., n), 则称向量 相等, 记作 . 1 2 = n a a α a 称向量 为向量 的负向量 . 1 2 = n -a -a -α -a α与β α = β
4.向量的线性运算两个n维向量α与β的各对应分量之和所组成的向量称为向量α与β的和，记为α+βa+β=(a,,az,...,an)+(b,,bz,...,b,)=(a,+b,az+b,...,a,+b,)a-β=a+()-(a,a,..",an)-(b,bz,...,bn)
4. 向量的线性运算 1 2 1 2 ( ) ( ) α+ β = a ,a , ,a + b ,b , ,b n n = 1 1 2 2 ( ) n n a + b ,a + b , ,a + b 两个n维向量α与β的各对应分量之和所组成的向量, 称为向量α与β的和, 记为 α+β . + - = ( ) α n n - β = α β a ,a , ,a b ,b , ,b 1 2 1 2 ( ) -( )