目录第二章随机变量及其分布182.7随机变量的函数的概率分布1i
8 ¹ 1Ù ÅCþ9Ù©Ù 1 §2.7 ÅCþ¼êVÇ©Ù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 i
第二章随机变量及其分布82.7随机变量的函数的概率分布最简单的情形，是由一维随机变量X的概率分布去求其一给定函数Y=g(X)的分布。较常见的，是由(X1,X2,，Xn)的分布去求Y=g(X1,X2,,Xn)的分布。更一般地，由(X1,X2,，Xn)的分布去求(Y1,Y2,**，Ym)的分布，其中Y=gi(Xi,X2,,Xn)，i1,2,...,m.这一部分内容，与数理统计中求统计量的分布有密切的联系。1.离散型随机变量的情形设X的分布律为P(X =ri) =pi, i=1,2, g:R→R，令Y=g(X)，则Y的分布律为P(Y =yi)= P(g(X)=yj)= P(X =ri)= Prg(r:)=9j:g(ri)=9j例2.7.1.设X的概率函数为2X-10P/1/41/21/81/8试求Y=X2，Z=X3+1的分布律。解：容易求得Y的分布律为：041/23/81/8LZ的分布律9Z0211/8P1/41/21/81
1Ù ÅCþ9Ù©Ù §2.7 ÅCþ¼êVÇ©Ù {ü/§´dÅCþXVǩ٦ٽ¼êY = g(X)© Ù"~§´d(X1, X2, · · · , Xn)©Ù¦Y = g(X1, X2, · · · , Xn)©Ù"/§ d(X1, X2, · · · , Xn)©Ù¦(Y1, Y2, · · · , Ym)©Ù§Ù¥Yi = gi(X1, X2, · · · , Xn), i = 1, 2, · · · , m" ùÜ©SN§ênÚO¥¦ÚOþ©ÙkéX" 1. lÑ.ÅCþ/ X©ÙÆ P(X = xi) = pi , i = 1, 2, · · · g : R → R§-Y = g(X)§KY ©ÙÆ P(Y = yj ) = P(g(X) = yj ) = X xi:g(xi)=yj P(X = xi) = X i:g(xi)=yj pi ~ 2.7.1. XVǼê X -1 0 1 2 P 1/4 1/2 1/8 1/8 Á¦Y = X2 , Z = X3 + 1©ÙÆ" ): N´¦Y ©ÙÆ: Y 0 1 4 P 1/2 3/8 1/8 Z©ÙÆ Z 0 1 2 9 P 1/4 1/2 1/8 1/8 1
上述结论可以推广到多维随机变量的情形设随机向量X的分布律为P(X=)，则X的函数Y=g(X)的分布律为P(Y =y)=P(g(X) =y) = P(X =a)r:g(r)=y特别当s,n是相互独立的非负整值随机变量，各有分布律[ak]与[bk)那么+n有分布律2Eaxbn-kP(+n=n) =k=0称此公式为离散卷积公式例2.7.2.设X~B(n,P)，Y~B(m,p)且X和Y相互独立，则X+Y~B(n+m,p)。这种性质称为再生性。可推广至多项和：设X，～B(ni,P),i=1,2,，m)，且Xi,X2,.,Xm独立，则有X,~B(ZCni,p)。特别，若Xi,X2,*，Xn为独立同分布，且X,~B(1,p)，i=Bi=11,..·，n.则有：ZX；～B(n,p)。此结论揭示了二项分布与0-1分布之间的密切关系。i=i例2.7.3.设X～P(入)，Y～P(μ)，且X和Y独立，则有X+Y～P(入+μ)。即Poisson分布亦具有再生性，且可推广。2.连续型随机变量的情形定理2.7.1.[密度变换公式/设随机变量X有概率密度函数f(r)，E(a,b)(a,b可以为oo),而y=g(r)在aE(a,b)上是严格单调的连续函数，存在唯一的反函数 =h(y),yE(α,β)并且h(y)存在且连续，那么Y=g(X)也是连续型随机变量且有概率密度函数p(y) = f(h(y)[h'(y)l,y E (α,β),例2.7.4.设随机变量X～U(-，)，求Y=tgX的概率密度函数。由密度变换公式知Y的概率密度函数为1f(u) = 1_arctg(u) = (1 +y)"-8<y<82
þã(رí2õÅCþ/: ÅþX©ÙÆP(X = x)§KX¼êY = g(X)©ÙÆ P(Y = y) = P(g(X) = y) = X x:g(x)=y P(X = x) AOξ, η´pÕáKÅCþ§k©ÙÆ{ak}{bk}. @oξ + ηk©ÙÆ P(ξ + η = n) = Xn k=0 akbn−k ¡dúªlÑòÈúª ~ 2.7.2. X ∼ B(n, p)§Y ∼ B(m, p) XÚY pÕá§KX +Y ∼ B(n+ m, p)"ù«5 ¡2)5"í2õÚµXi ∼ B(ni , p),(i = 1, 2, · · · , m)§ X1, X2, · · · , XmÕ á§Kk: Pm i=1 Xi ∼ B( Pm i=1 ni , p)"AO§eX1, X2, · · · , XnÕáÓ©Ù§ Xi ∼ B(1, p), i = 1, · · · , n. Kk: Pn i=1 Xi ∼ B(n, p)"d(Ø« ©Ù0 − 1©Ùm'X" ~ 2.7.3. X ∼ P(λ)§Y ∼ P(µ)§ XÚY Õá§KkX + Y ∼ P(λ + µ)"=P oisson© Ù½äk2)5§ í2" 2. ëY.ÅCþ/ ½n 2.7.1. [ÝCúª] ÅCþXkVÇݼê f(x), x ∈ (a, b)(a, b±∞), y = g(x)3x ∈ (a, b)þ´îüNëY¼ê§3¼êx = h(y), y ∈ (α, β)¿ h 0 (y)3 ëY§@oY = g(X)´ëY.ÅCþ kVÇݼê p(y) = f(h(y))|h 0 (y)|, y ∈ (α, β). ~ 2.7.4. ÅCþX ∼ U(− π 2 , π 2 ), ¦Y = tgXVÇݼê" dÝCúªY VÇݼê f(y) = 1 π arctg0 (y) = 1 π(1 + y 2) , −∞ < y < ∞ 2
此分布称为Cauchy分布。本题我们也可以用一般的方法求解，即先求出分布函数，然后对分布函数求导数得到。F(y) = P(Y≤y) =P(tg(X)≤y)arctg(y)1Y1= P(X ≤arctg(y)) =arctg(y)+2:dy=元A所以Y的概率密度为1(c) =F(c) = 元(1 +)这种方法更具有一般性。注：当9不是在全区间上单调而是逐段单调时，密度变换公式为下面的形式：设随机变量的密度函数为pe()，a0) +(v)lVl(y>0)1y-e-(y>0)V2元定理2.7.2.设($1,S2)是2维连续型随机向量，具有联合密度函数p(r1,r2)，设G;=f;(S1,52),j=1,2.若(51,52)与(G1,S2)一一对应，逆映射;=h;(G1,S2),j=1,2.假定每个h;(y1,2)都有一阶连续偏导数.则(S1，S2)亦为连续型随机向量，且其联合概率密度为p(hi(y1, 2),hn(yi, y2)/Jl, (1, y2) eD,(2.7.2)q(91,92)=0,(y1, y2) & D,其中D是随机向量(S1,S2)的所有可能值的集合，J是变换的Jaccobi行列式，即ahiJ=3
d©Ù¡Cauchy©Ù" K·±^{¦)§=k¦Ñ©Ù¼ê§, é©Ù¼ê¦ê" F(y) = P(Y ≤ y) = P(tg(X) ≤ y) = P(X ≤ arctg(y)) = ˆ arctg(y) − π 2 1 π dy = 1 π arctg(y) + 1 2 . ¤±Y VÇÝ f(y) = F 0 (y) = 1 π(1 + y 2) . ù«{äk5" 5: gØ´3 «mþüN ´ÅãüN§ÝCúªe¡/ª: ÅCþξݼêpξ(x), a 0} + φ( √ y)| √ y 0 |I{y>0} = 1 √ 2π y − 1 2 e − y 2 I{y>0} ½n 2.7.2. (ξ1, ξ2)´2ëY.Åþ, äkéÜݼêp(x1, x2), ζj = fj (ξ1, ξ2), j = 1, 2. e(ξ1, ξ2)(ζ1, ζ2)éA, _Nξj = hj (ζ1, ζ2), j = 1, 2.b½zhj (y1, y2)Ñk ëY ê. K(ζ1, ζ2)½ëY.Åþ, ÙéÜVÇÝ q(y1, y2) = ( p (h1(y1, y2), hn(y1, y2))|J|, (y1, y2) ∈ D, 0, (y1, y2) 6∈ D, (2.7.2) Ù¥D´Åþ(ζ1, ζ2)¤kU8Ü, J´CJaccobi1ª§= J = ∂h1 ∂y1 ∂h1 ∂y2 ∂h2 ∂y1 ∂h2 ∂y2 3
在多元随机变量场合，更一般地有定理2.7.3.如果(S1,..,En)是n维连续型随机向量，具有联合密度函数p(T1,..,rn).假设存在n个n元函数yj= fi(ai,..,an),j=1,..,n,使得Sj= f;(S1,*+*,Sn),j= 1,-*,n若(Si,.·,Sn)与(S1,.·,Sn)之间一一对应，逆映射为S,=h,(S1,.,Sn),j=1,...,n.其中每个h,(y1,...,yn)都有一阶连续偏导数，那么随机向量(S1,..,Sn)是连续型的，且具有联合密度函数p(hi(y1,,yn),**,hn(y1,,yn))[Jl,(y1,***,yn)ED,(2.7.3)q(y1,..., yn) =0,(yi,.,yn) & D其中D是随机向量(S1，.，n)的所有可能值的集合，J是变换的Jaccobi行列式，即f.J=目:例2.7.6.在直角坐标平面上随机选取一点，分别以随机变量与n表示其横坐标和纵坐标，可以认为与n相互独立.如果与n都服从正态分布N(0.1)，试求其极坐标(o.)的分布.解：易知r=rcosty=rsint是(0,0)×[0,2元)与R2(原点除外)之间的变换，变换的Jaccobi行列式a0-rsintcostJ=Tsintrcost由于(s,n)的联合密度为1a2+yp(r,y) :=exp2元24
3õÅCþ|ܧ/k ½n 2.7.3. XJ(ξ1, · · · , ξn)´nëY.Åþ, äkéÜݼêp(x1, · · · , xn). b 3nn¼ê yj = fj (x1, · · · , xn), j = 1, · · · , n, ¦ ζj = fj (ξ1, · · · , ξn), j = 1, · · · , n, e(ξ1, · · · , ξn)(ζ1, · · · , ζn)méA, _Nξj = hj (ζ1, · · · , ζn), j = 1, · · · , n. Ù¥ zhj (y1, · · · , yn)Ñk ëY ê, @oÅþ(ζ1, · · · , ζn)´ëY., äké Üݼê q(y1, · · · , yn) = ( p (h1(y1, · · · , yn), · · · , hn(y1, · · · , yn))|J|, (y1, · · · , yn) ∈ D, 0, (y1, · · · , yn) 6∈ D, (2.7.3) Ù¥D´Åþ(ζ1, · · · , ζn)¤kU8Ü, J´CJaccobi1ª§= J = ∂h1 ∂y1 · · · ∂h1 ∂yn . . . . . . . . . ∂hn ∂y1 · · · ∂hn ∂yn ~ 2.7.6. 3I²¡þÅÀ:, ©O±ÅCþξηL«ÙîIÚp I, ±@ξηpÕá. XJξηÑÑl©ÙN(0, 1), Á¦Ù4I(ρ, θ)© Ù. ): ´ ( x = r cost y = r sin t ´(0,∞) × [0, 2π)R 2 (:Ø )mC, CJaccobi1ª J = ∂x ∂r ∂x ∂t ∂y ∂r ∂y ∂t = cost −r sin t sin t r cost = r. du(ξ, η)éÜÝ p(x, y) = 1 2π exp − x 2 + y 2 2 , 4
所以由(2.7.3)式得知，(p,0)的联合密度为a(n.) =2resp[= q1(r)q2(t), r >0, te[0, 2元).(2.7.4)12]其中q1(r)=rexp/-号，r>0;q2(t)=,te[0,2m),这一结果表明：0与p相互独立，其中e服从[0,2元上的均匀分布；而p则服从Weibull分布(参数入=1/2,α=2)。在计算两个随机变量之和时，我们还经常用到如下定理定理2.7.4.设X,Y的联合概率密度为f(,y)，则X+Y的概率密度p(z)为p(2) = /f(r,z-r)da = /f(z-y,y)dy证一：先求X+Y的分布函数F(z).我们有F(a)= P(X+Y ≤2)= / / f(r,y)drdy = / dr /"f(r,g)dy /f(a,t -r)dr / dt.2f(r,t-a)dt = /这就说明,X+Y的分布函数F(2)是其中的花括弧中的函数在区间(-80,2)上的积分,所以X+Y是连续型随机变量,其密度函数如定理所述。证二：令X=Z1.X+Y=Z2.利用单调映射的密度变换公式(2.7.2)可求得(Z1.Z2)的联合概率密度函数为g(21，2）=f(21,22-21).再对g(21,22)关于z1在R上积分，便求得Z2=X+Y的密度为( g(21,22)dz1 = /~f(21,22 - 21)dz1,故得所证特别，当X与Y独立时，分别记x和Y的概率密度为fi(r)和f2(y)，则X+Y的概率密度为fi(a)f2(z-a)da = /p(z) =fi(z-y)f2(y)dyαfi*f2(z)=f2*fi(z)称此公式为卷积公式。例2.7.7.设X服从期望为2的指数分布，Y～U(0,1)，且X和Y相互独立。求X-Y的概率密度和P(X≤Y)。5
¤±d(2.7.3)ª, (ρ, θ)éÜÝ q(r, t) = 1 2π r exp − r 2 2 = q1(r)q2(t), r > 0, t ∈ [0, 2π). (2.7.4) Ù¥q1(r) = r expn − r 2 2 o , r > 0; q2(t) = 1 2π , t ∈ [0, 2π). ù(JL²: θρpÕá, Ù¥θÑl[0, 2π) þþ!©Ù; ρKÑlWeibull© Ù(ëêλ = 1/2, α = 2). 3OüÅCþÚ§·²~^Xe½n ½n 2.7.4. X, Y éÜVÇÝf(x, y)§KX + Y VÇÝp(z) p(z) = ˆ ∞ −∞ f(x, z − x)dx = ˆ ∞ −∞ f(z − y, y)dy y: k¦X + Y ©Ù¼êF(z). ·k F(z) = P(X + Y ≤ z) = ˆ ˆ x+y≤z f(x, y)dxdy = ˆ ∞ −∞ dx ˆ z−x −∞ f(x, y)dy = ˆ ∞ −∞ du ˆ z −∞ f(x, t − x)dt = ˆ z −∞ ˆ ∞ −∞ f(x, t − x)dx dt. ùÒ`²,X + Y ©Ù¼êF(z)´Ù¥s)l¥¼ê3«m(−∞, z)þÈ©,¤ ±X + Y ´ëY.ÅCþ,ÙݼêX½n¤ã" y: -X = Z1, X + Y = Z2, |^üNNÝCúª(2.7.2)¦(Z1, Z2)é ÜVÇݼêg(z1, z2) = f(z1, z2 − z1). 2ég(z1, z2)'uz13RþÈ©, B¦Z2 = X + Y Ý ˆ ∞ −∞ g(z1, z2)dz1 = ˆ ∞ −∞ f(z1, z2 − z1)dz1, ¤y. AO§XY Õ᧩OPXÚY VÇÝf1(x)Úf2(y)§KX + Y VÇ Ý p(z) = ˆ ∞ −∞ f1(x)f2(z − x)dx = ˆ ∞ −∞ f1(z − y)f2(y)dy , f1 ∗ f2(z) = f2 ∗ f1(z) ¡dúªòÈúª" ~ 2.7.7. XÑlÏ"2ê©Ù§Y ∼ U(0, 1)§ XÚY pÕá"¦X − Y V ÇÝÚP(X ≤ Y )" 5
解一：由题设知-Y～U(-1,0)，并记x和-Y的密度分别为fi和f2，从而由卷积公式有fx-y(2) =fi(a)f2(z-a)da( e-(1 -e-),z≥01-e-,-1<z<00,≤-1所以P(X≤Y)=P(X-Y≤0)=2e--1。解二：由于P(X ≤z+ylY =y)f(y)dyP(X-Y<z)J P(X ≤z+ y)dyz≥0-, P(X≤z+y)dy -1<z<00≤-11 - 2e-2/2(1 - e-1/2),≥02 + 2e-(2+1)/2 _ 1,-1<z<00,≤-1再对分布函数求导数即得所求些连续型随机变量，也有再生性性质。例2.7.8.设X～N(μ1o),Y～N(μ2,o2)且X与Y相互独立，则：X+Y:~ N(μ1+μ2,+2)更一般地，设X,～N(μui,o),=1,,n，Xi,·，Xn相互独立.a1,,an，b为任意n+1个实数，其中ai,，an不全为零.令X=aiX+b,则有：X~N(u,2),其中μ=Zaipi+=1Zao?b, g2 =S我们把具有再生性性质的分布总结一下为·二项分布（关于试验次数具有再生性）·Poisson分布（关于参数入具有再生性）6
): dK−Y ∼ U(−1, 0)§¿PXÚ−Y Ý©Of1Úf2§l dòÈúªk fX−Y (z) = ˆ ∞ −∞ f1(x)f2(z − x)dx = e − z 2 (1 − e − 1 2 ), z ≥ 0 1 − e − z+1 2 , −1 < z < 0 0, z ≤ −1 ¤±P(X ≤ Y ) = P(X − Y ≤ 0) = 2e − 1 2 − 1" ): du P(X − Y ≤ z) = ˆ P(X ≤ z + y|Y = y)f(y)dy = ´ 1 0 P(X ≤ z + y)dy z ≥ 0 ´ 1 −z P(X ≤ z + y)dy −1 < z < 0 0 z ≤ −1 = 1 − 2e −z/2 (1 − e −1/2 ), z ≥ 0 z + 2e −(z+1)/2 − 1, −1 < z < 0 0, z ≤ −1 2é©Ù¼ê¦ê=¤¦. ëY.ÅCþ§k2)55" ~ 2.7.8. X ∼ N(µ1, σ2 1 ), Y ∼ N(µ2, σ2 2 ) XY pÕá§K: X + Y ∼ N(µ1 + µ2, σ2 1 + σ 2 2 ). /, Xi ∼ N(µi , σ2 i ), i = 1, · · · , n, X1, · · · , XnpÕá. a1, · · · , an, b?¿n+ 1 ¢ê, Ù¥a1, · · · , anØ ". -X = Pn i=1 aiXi+b, Kk: X ∼ N(µ, σ2 ), Ù¥µ = Pn i=1 aiµi+ b, σ 2 = Pn i=1 a 2 i σ 2 i . ·räk2)55©Ùo(e • ©Ù('uÁgêäk2)5) • P oisson©Ù('uëêλäk2)5) 6
·Pascal分布(关于成功次数r具有再生性）·正态分布（关于两个参数都具有再生性）·具有再生性的连续型分布还有x2分布和r分布有时我们还会碰到计算随机变量之商的概率密度.我们有定理2.7.5.如果(S,n)是二维连续型随机向量，它们的联合密度为f(c,y)，则它们的商/m是连续型随机变量，具有密度函数Itif(rt,t)dt, Vre R.pe(a) :(2.7.5)而 pr(a) =Julf(u,ru)du, VreR.例2.7.9.设随机变量与n相互独立，同服从参数入=1的指数分布，试求/m的密度函数，解：我们利用(2.7.5)式求p(c).由于(s,n）的联合密度为p(u,v)=e-u-u, u>0, >0,所以欲(2.7.5)式中的被积函数tlp(rt,t)≠0，当且仅当，t>0和at0,从而知有[ J~ t e-rt-tdt = (+aa >0;Pe(c) :02≤0易见p()同上。例2.7.10.设X1～N(0,1)，X2～xm，且Xi与X2独立。命Y=Vx，则:Y~ tn(自由度为n的t分布)。例2.7.11.设X1~m，Xz~x元，且Xi与X2独立，则Y=/~Fm.n(自由度为m,n的F分X2/n布)。例2.7.12.极小值和极大值的分布7
• P ascal©Ù('u¤õgêräk2)5) • ©Ù('uüëêÑäk2)5) • äk2)5ëY.©Ùkχ 2©ÙÚΓ©Ù k·¬-OÅCþûVÇÝ. ·k ½n 2.7.5. XJ(ξ, η)´ëY.Åþ, §éÜÝf(x, y), K§ûξ/η´ ëY.ÅCþ, äkݼê p ξ η (x) = ˆ ∞ −∞ |t|f(xt, t)dt, ∀ x ∈ R. p η ξ (x) = ˆ ∞ −∞ |u|f(u, xu)du, ∀ x ∈ R. (2.7.5) ~ 2.7.9. ÅCþξηpÕá,ÓÑlëêλ = 1ê©Ù, Á¦ξ/ηݼê. ): ·|^(2.7.5)ª¦p ξ η (x).du(ξ, η) éÜÝ p(u, v) = e −u−v , u > 0, v > 0, ¤±(2.7.5)ª¥È¼ê|t|p(xt, t) 6= 0, =, t > 0Úxt > 0, l k p ξ η (x) = ( ´ ∞ 0 t e−xt−tdt = 1 (1+x) 2 x > 0; 0 x ≤ 0. ´p η ξ (x)Óþ" ~ 2.7.10. X1 ∼ N(0, 1)§X2 ∼ χ 2 n§ X1X2Õá"·Y = √ X1 X2/n §KµY ∼ tn(gdÝ nt©Ù)" ~ 2.7.11. X1 ∼ χ 2 m§X2 ∼ χ 2 n§ X1X2Õá§KY = X1/m X2/n ∼ Fm,n(gdÝm, nF© Ù)" ~ 2.7.12. 4Ú4©Ù 7
对于n个随机变量1...Sn，我们可以考察它们的最大值和最小值m1 = max[1, ., En],n2 = min[S1,..,Sn].如此定义的n与n2也是随机变量当$1...Sn相互独立时，我们不难利用它们的分布函数Fi(a)，.Fn(r)求出ni与m2的分布函数Fm(r)和Fm(a)事实上，Fm(a) = P(m ≤r) = P(max[51,*, n)r) = (si >, ...,Sn >a) = (>r)可得Fm(a) = P(m2 ≤a) = 1 - P(m2 >z) =1- Pn(> a= 1-ⅡP(s >r) =1-IⅡ(1- Ft(g),(2.7.7)k=1k=1目前我们接触到的分布的关系为·n个独立同分布B(1,p)的0-1分布随机变量之和为二项分布B(n,p);·有限个独立二项随机变量(成功的概率相同)之和仍为二项分布；·有限个独立的Poisson分布随机变量之和服从Poisson分布，参数相加；·r个独立同分布几何分布G(p)的随机变量之和服从参数为r和p的Pascal分布：·任意有限个独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布；8
éunÅCþξ1, ., ξn,·± §Ú: η1 = max{ξ1, ., ξn}, η2 = min{ξ1, ., ξn}. Xd½Âη1η2´ÅCþ. ξ1, ., ξnpÕá, ·ØJ|^§©Ù¼êF1(x), ., Fn(x)¦Ñη1η2 ©Ù¼êFη1 (x)ÚFη2 (x). ¯¢þ, Fη1 (x) = P(η1 ≤ x) = P(max{ξ1, · · · , ξn} ≤ x) = P \n k=1 (ξk ≤ x) ! = Yn k=1 P(ξk ≤ x) = Yn k=1 Fk(x); (2.7.6) |^'Xª (η2 > x) = (ξ1 > x, . , ξn > x) = \n k=1 (ξk > x) Fη2 (x) = P(η2 ≤ x) = 1 − P(η2 > x) = 1 − P \n k=1 (ξk > x) ! = 1 − Yn k=1 P(ξk > x) = 1 − Yn k=1 (1 − Fk(x)). (2.7.7) 8c·>©Ù'X • nÕáÓ©ÙB(1, p)0-1©ÙÅCþÚ©ÙB(n, p); • kÕáÅCþ(¤õVÇÓ)ÚE©Ù; • kÕáP oisson©ÙÅCþÚÑlP oisson©Ù§ëê\¶ • rÕáÓ©ÙAÛ©ÙG(p)ÅCþÚÑlëêrÚpP ascal©Ù¶ • ?¿kÕá©ÙÅCþ5|ÜE,Ñl©Ù; 8