第3节行列式的展开主要内容：1.余子式与代数余子式2.行行列式展开定理3.定理的应用
第3节 行列式的展开 主要内容： 1. 余子式与代数余子式 2. 行列式展开定理 3. 定理的应用
1、余子式与代数余子式定义1在n阶行列式中，把元素a，所在的第i行和第i列划去后，留下来的n一1阶行列式称为元素a，的余子式，记作M，记A,=（1+M，称为元素a，的代数余子式例如auai2ana12a14a14Q13M23=a31a32a34aa...LD=a41a42a44a31a32a34C133443a4A23=(-1)2+3M23--M23.a41a42
定义1 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式称 为元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记Aij = (−1) i+ j Mij， 称为元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23 1、余子式与代数余子式
.a......r2.014a21a23a24ai22a21a23D-M12-a31a33a34,dig4a32a33a31a41a43a44..a......a....a43......4.A12-(-1)+2M12=-M12.a11a1213A44-(-1)+4M44-M44M44=a21a22a23,1a3132a33丰注：行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 = − 1 + M . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − + M = M . 注 个代数余子式 ：行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
aa2a3a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32421a22a23-a11a23a32-a12a21a33-13a22a31,a331a32a31=a(a22433—a23432)+12(2331a2133)+a13(a21a32-a2a31)a22a21a21a23a23a23+a13-a12=a1la311a31a32a33a33a33=aiA+12A2+a13A13
11 23 32 12 21 33 13 22 31, 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + = + + a A a A a A 11 11 12 12 13 13
引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除ai外都为零，那未这行列式等于a，与它的代数余子式的乘积，即D=a,A,.aula12a14a13a21a23a24a22D-例如000a33a41a43a44a42aia12a14- (-1)3+3 a33a21a22a24a41a42a44司
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘 积，即 D = aijAij． n i aij aij 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如
证1）当，位于第一行第一列时，00ana21a22aznD=:·.anlan2ann即有-aahaaaam=aZ(-1)ha2ham.-aM又A.-(-1)+M.-Mu,从而D-aA.2）再证一般情形，此时
证 1）当 aij 位于第一行第一列时, n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 ( 1) n n n N j j j j j nj j D a a a = = − 又 ( ) 11 1 1 A11 = −1 + M , = M11 从而 . D = a11A11 2）再证一般情形, 此时 2 2 (1 ) 11 2 2 ( 1) n n n N j j j nj j a a a = = − 2 2 ( ) 11 2 2 ( 1) n n n N j j j nj j a a a = = − 11 11 = a M
alain1··.·00D-a..anlannanj把D的第行依次与第i-1行，第i一2行，第1行对调，00ai.得D-(-1y-1ai-1,1ai-l,jai-1,n..:anlanjann
n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D 1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − aij aij
再把D的第列依次与第i一1列，第i一2列，第1列得对调,D=(-1)-1.(-1)-a-1,ji-1,n1anjannan,j-1
, 1 , 2 , 1 对调 再把D的第j列依次与第j − 列 第j − 列 第 列 得 ( ) ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 − − − − − − − = − −
00aij....·-(-1)+i-2ai-1,ja,-1,na,-1,j-1.·amnanjan,j-100au·...-(-1)+ia,-1,jai-1,nai-1,j-1......anjannan,j-1
( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 1 − − − − − + − = − ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − aij
a,-1,n中的元素a,在行列式ai-1,a,-1,j-1..anjan,j-1ann余子式仍然是a，在ailain1·..00D-中的余子式M··anlanjann
n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 中的余子式 . Mij 余子式仍然是 在 元素 在行列式 中的 ij nj n j nn i j i j i n ij ij a a a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − aij aij