第2节行列式的性质主要内容：>行列式的5个性质>4个推论>应用（计算行列式）
第2节 行列式的性质 主要内容： ➢行列式的5个性质 ➢4个推论 ➢应用（计算行列式）
一、行列式的性质记a21anauraila12an...a21a22a12a22?2D=D·aan2an1a2n行列式D称为行列式D的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等
一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 ann a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 an an a D = 2 21 1 n n a a a a n a n a 1 2 12 = T D ann a a 22 11
证明记D=a的转置行列式ana12bb2-bmLa2ra22b2b22...bamDDTaabbh2..b.即b,=a,(i.j-1,2n)，按定义-E(-)on"anan2-amD-E(-1)npb.bap...bm.D-E(-1)np"anam.ap.n又因为行列式D可表示为故D=DT说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
证明 记 D a = ij 的转置行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D = 即b a ij ji = (i j n , 1,2, , , = ) 按定义 ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 1 2 n n T N p p p D b b b = − p p np 又因为行列式D可表示为 ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 . n n N p p p D a a a = − p p p n ann a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 an an a D = 故 . T D = D 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡 是对行成立的对列也同样成立. ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 . n n N p p p p p p n = − a a a
性质2互换行列式的两行（列）行列式变号中aainaa,a(i)amam(k)证明左端-(-1)N..aak..am.--Eaa-右端an..a
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a 11 12 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) n k k kn i i in n n nn a a a a a a i a a a k a a a = − 1 1 (1 ) ( ) 1 ( 1) i k i k n n N k i j j ij kj n N j j a a j nj a a + 左端= − 1 1 (1 ) ( ) 1 = ( 1) k i n i k n N i N j j j j j kj i k j n nj a a a a + − − =右端
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以三同一数k，等于用数k乘此行列式a1ma12ainaa1zainkakaiz...kaim=kainaizainaa2aa.anan2
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此 行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一数k，等于用数k乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 =
证明z1aa.ckaam.左端二JJ2-.Jn-1aaaa右端JJ2Ja推论2行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面． 1 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) i k n i n n N j j j j j j ij nj j j j 左端 = − a a ka a （ ） 证明 1 1 2 1 2 ( ) 1 2 = ( 1) k i n i n n N j j j j j j ij nj j j j k a a a a − = 右端
推论3行行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.证明aana12aindinai2ailai2inailainai2一K=0.kaikakai2ainai2ain.an!ana.2ana1
推论3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则 此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0
例1求行列式的值21-3-4=0.53-20D:12-39-6219710
例1 求行列式的值 1 2 3 4 0 3 2 5 3 6 9 12 7 10 21 9 D − − − = − − = 0
性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，ana2(aai)aina22(aa)a例如D=：:aaa+a)a则D等于下列两个行列式之和：a..anananauiayaaanas...a..a21a21D-a..aanlaC
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和， n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 2 2 11 12 1 1 1 + + + = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + 1 21 2 2 11 1 1 1 21 2 2 11 1 1 例如
201983-301例2D=1322-43200+1100-22-300-1231二23-4200100-300-2-132213十1二2323-4-4
2 4 3 1 3 2 201 98 301 2 − − 例 D = 2 4 3 1 3 2 1 2 1 2 4 3 1 3 2 200 100 300 − − − + − − = 2 4 3 1 3 2 200 1 100 2 300 1 − + − − − =