第四章 机械 动
内容提要 堵振动的特征 谐振动的描述 ·谐振动的能量 同方向、同频率诸振动的合成 谐振子的阻尼振动 谐振子的受迫振动和共振
• 谐振动的特征 • 谐振动的描述 • 谐振动的能量 • 同方向、同频率谐振动的合成 • 谐振子的阻尼振动 • 谐振子的受迫振动和共振 内 容 提 要
情振动的特征 k 1、动力学特征 F (1)弹簧振子 tvm 取平衡位置为坐标原点 0 F k 动力学方程 +02x=0 O (2)单摆 T 合力对O轴的力矩: M=-mglo
一 、谐振动的特征 1、动力学特征 (1) 弹簧振子 o x k F m 取平衡位置为坐标原点 F kx 0 2 2 2 x dt d x 动力学方程： (2) 单摆 M mgl 合力对O轴的力矩： mg T O
动力学方程:a20 a2+o20=0 综上,功(或力矩)的大小与粉体的位置( 或角丘置量)正比奀系乔反号,则轸体的远动 就是谐振动。使物体作谐振动的力(或力矩), 称为线性回复力(或线性回复力矩) 2、运动学特征 运动学(或振动)方程:x=Acos(Ot+) 物体作谐振动的速度、加速度: Asin(o t+o) d A@ coS(at+9)=-0fx
0 2 2 2 dt d 动力学方程： 综上，力（或力矩）的大小与物体的位置（ 或角位置量）成正比关系并反号，则物体的运动 就是谐振动。使物体作谐振动的力（或力矩）， 称为线性回复力（或线性回复力矩）。 2、运动学特征 x Acos( t ) A x dt d a 2 2 cos( t ) 物体作谐振动的速度、加速度： 运动学（或振动）方程： A sin( t ) dt dx
三、谙振动的描述 1、振幅A 振幅是位置坐标的最大绝对值。其大小可由初始 条件确定。 A 2、周期T 振子作一次全振动所需的肘间称周期。 2丌 T
二、谐振动的描述 2 2 2 0 0 A x 2 T 2、周期 T 振幅是位置坐标的最大绝对值。其大小可由初始 条件确定。 振子作一次全振动所需的时间称周期。 1、振幅 A
3、频率与角频率 单位肘间内振动的次数为频率,频率与周期互 为倒数。 2丌 O=2丌v O 77=2 4、相位与初相 振动方程中的(t+p)一项称为相位,它决定 着谐振动物体的状态。 t=0时的相位称初位相。初位相由初始条件决定: t=0时 xo= Acos o DAsin
2 1 T T 2 2 3、频率与角频率 单位时间内振动的次数为频率，频率与周期互 为倒数。 4、相位与初相 sin cos 0 0 0 A x A t 时 ， t 0时的相位称初位相。初位相由初始条件决定： 振动方程中的 ( t ) 一项称为相位，它决定 着谐振动物体的状态
5、旋转矢量法 ot t=0 0 P 矢量A称旋转矢量,A绕0旋转一周时,其端 点的轨迹称为参考圆,这种描述简谐振动的方法 称談转矢量法
5、旋转矢量法 t x X o t t 0 P A t 0 矢量 称旋转矢量， 绕o旋转一周时，其端 点的轨迹称为参考圆，这种描述简谐振动的方法 称旋转矢量法。 A A A t
(1)P点的运动为谐振动。 D=0A A cos(@ t+ B u=O Acos ot t=0 O Acos 0 P O Asin(at+o) O Acos(at+o (2)旋转矢量旋转一周所需的时间为谐振动的 周期T
(1) P点的运动为谐振动。 (2) 旋转矢量旋转一周所需的时间为谐振动的 周期T。 x Acos( t ) P Acos Acos( t ) 2 aP Asin( t ) P Acos A t 0 t X o A A P t 0 a
三、振动的能量 动能: E no mA sin(ot+o) 弹性势能: kA coS(ot+o) 机械能 E=E +e=kA2=mo2 A2 系统的动能、势能都随时间变化,动能达最大 值时,势能为零,势能达最大值时,动能为零。但 系统的总机械能守恒
三、振动的能量 动能： sin ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 Ek m mA t 弹性势能： 系统的动能、势能都随时间变化，动能达最大 值时，势能为零，势能达最大值时，动能为零。但 系统的总机械能守恒。 cos ( ) 2 1 2 1 2 2 2 Ep kx kA t 机械能： 2 2 2 2 1 2 1 E Ek EP kA m A
例∷:两质点在x轴上作同方向、同振幅的谐振动,其周 期均为8.5s,当t=0时,质点1在、2A/2处,向x轴 负向运动,而质点2在-A处。用旋转矢量法求两个 谐振动的相位差及两个质点第一次经过平衡位置的时 刻。 解:914 2 A Ot1=→1=1.06 lf 21 →t2=2.13s
例:两质点在x轴上作同方向、同振幅的谐振动，其周 期均为8.5s，当 时，质点1在 处，向x轴 负向运动，而质点2在 处。用旋转矢量法求两个 谐振动的相位差及两个质点第一次经过平衡位置的时 刻。 t 0 2A/ 2 A , 4 1 2 解： 4 3 2 1 1.06 4 t1 1 t s t 2.13s 2 t 2 2
