振动理论与声学原理 4 1956 第二章单自由度系统的自由振动 牛顿(1643年1月4日一1727年3月31日)是一 位英国物理学家、数学家、剑桥大学数学教授 英国皇家学会主席。他在1687年发表的论文 《自然哲学与数学原理》里，对万有引力和三 大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后 三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现 代工程学的基础
1 第二章 单自由度系统的自由振动 牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）
课堂讨论主题2： 口主题：单自由度系统振动案例分析 口时间：9月27日（10-11节课) 口各小组从提供的8个案例中选取一个案例进行分析； 并通过文献查阅说明其工程应用场景。 口课堂PPT交流与讨论，每组15分钟。 3
课堂讨论主题2： 3 p 主题：单自由度系统振动案例分析 p 时间：9月27日（10-11节课） p 各小组从提供的8个案例中选取一个案例进行分析； 并通过文献查阅说明其工程应用场景。 p 课堂PPT交流与讨论，每组15分钟
案例1 升降机笼的质量为m，由钢丝绳牵挂以等速度'o向下运动。钢丝绳的刚 度系数为k，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然 停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。 k x(t)=Asin(@,t+) m V 振幅：A= 固有频率 k m (n m
4 升降机笼的质量为 ，由钢丝绳牵挂以等速度 向下运动。 钢丝绳的刚 度系数为 ，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然 停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。 m 0 v k 0 v 0 v m k 0 m v k 0 k 0 v 案例1 ( ) sin( ) n x t A t 振幅： 2 2 0 0 n x A x n k m 固有频率
案例2 提升机系统。重物W仁1.47x105N,钢丝刚度k=5.78x104W/cm。重物以 v=15m/min的速度匀速下降，求绳的上端突然卡住时， (1) 重物的振动频率；(2)绳中最大张力。 x(t)=Asin(@,t+) W 初相位：p=arctan k 固有频率 0n= 5
5 提升机系统。重物W=1.47x105N，钢丝刚度k=5.78x104N/cm。重物以 v=15m/min的速度匀速下降，求绳的上端突然卡住时， （1）重物的振动频率；（2）绳中最大张力。 ( ) sin( ) n x t A t 振幅： 2 2 0 0 n x A x n k m 固有频率 0 0 arctan n x x 初相位： 案例2
案例3 直升机桨叶经实验测出其质量为m,质心C距铰中心o距离为l。现给予桨 叶初始扰动，使其微幅摆动，用秒表测得多次摆动循环所用的时间，除以 循环次数获得近似的固有周期，试求桨叶绕垂直铰o的转动惯量. 质量元件 力矩和周期已知 平动：Fm=m成 力、质量和加速度的单位分别为N、kg和m/s2。 转动： T=J0 图用振动测量方法求 桨叶的转动惯量 力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为Nm、kgm2和rad/s2
6 O l C m g 直升机桨叶经实验测出其质量为m，质心C 距铰中心o 距离为l。 现给予桨 叶初始扰动，使其微幅摆动，用秒表测得多次摆动循环所用的时间，除以 循环次数获得近似的固有周期，试求桨叶绕垂直铰o 的转动惯量. 图 用振动测量方法求 桨叶的转动惯量 质量元件 Tm J 转动： 平动： Fm mx 力、质量和加速度的单位分别为N、kg和m / s 2 。 力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为Nm、kg m 2和rad / s 2 . 力矩和周期已知 案例3
案例4 一倒置的摆，杆质量不计，假设起转动惯量为，求做 m 微幅振动时摆的固有频率。 2 k/2 机械能守恒 T'max =V max 7
7 一倒置的摆，杆质量不计，假设起转动惯量为I，求做 微幅振动时摆的固有频率。 机械能守恒 Tmax Vmax 案例4
案例5 m 重物落下并与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长 L,抗弯刚度EJ,求梁自由振动频率及最大挠 度。梁不计质量 12 12 8
8 重物落下并与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长 L，抗弯刚度EJ，求梁自由振动频率及最大挠 度。梁不计质量. 案例5
案例6 图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量，α/1=。求系统绕o点小幅摆动的 阻尼振动频率和临界阻尼系数。 【思路】 要想求阻尼振动频率：0，=√-专 就要求：5,0n 通过系统的运动微分方程来求：5,0m 图 摆振系统的小幅振动 9
9 图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量， 。求系统绕o点小幅摆动的 阻尼振动频率和临界阻尼系数。 c k m o a l a / l 图 摆振系统的小幅振动 【思路】 要想求阻尼振动频率： 2 1 d n 就要求： , n 通过系统的运动微分方程来求： , n 案例6
案例7 小球质量，刚杆质量不计，小球重量不计。写出（1)系统运动微分方程 ;（2)临界阻尼系数和有阻尼固有频率。 动力矩平衡建立系统运动微分方程 无阻尼固有频率： k m 阻尼比 5= 2.m.0m 有阻尼固有频率 04=0nV1-52 10
10 小球质量m，刚杆质量不计，小球重量不计。写出（1）系统运动微分方程 ；（2）临界阻尼系数和有阻尼固有频率。 θ 无阻尼固有频率： n k m 阻尼比 2. . n c m 2 1 d n 有阻尼固有频率 动力矩平衡建立系统运动微分方程 案例7
案例8 质量m=2000N.s2m,以匀速vo=3cm/s运动与弹簧阻尼器相碰后自由振 动，k=48020N/m,c=1960N.s/m,问质量撞后多少时间达到最大振幅 ?最大振幅是多少？ 11
11 质量m=2000N.s2/m，以匀速v0=3cm/s运动与弹簧阻尼器相碰后自由振 动，k=48020N/m，c=1960N.s/m, 问质量撞后多少时间达到最大振幅 ？最大振幅是多少？ 案例8