第三章渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容 包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部 分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理 论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、 物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法 在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算 的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近 方法具有重要的地位
第三章 渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容 包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部 分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理 论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、 物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法 在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算 的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近 方法具有重要的地位
第三章渐近方法 1、 量级符号； 2、渐近展开； 3、渐近展开式的运算； 4、积分的渐近展开式； 5、最陡下降法； 6、 驻定相位法； 7、常微分方程的渐近解；
1、 量级符号； 2、 渐近展开； 3、 渐近展开式的运算； 4、 积分的渐近展开式； 5、 最陡下降法； 6、 驻定相位法； 7、 常微分方程的渐近解； 第三章 渐近方法
§31量级符号 §3渐近方法 由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是 微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或 傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近 展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它 可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。 同量级 比较函数趋于某个极限时的性质常定义： 量级最多为 量级小于 1)同量级 若x→x时，f(x)/g(x)→1，则称f(x)~g(x) 例：x>0,tanx>x
由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是 微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或 傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近 展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它 可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。 O o 同量级 量级最多为 量级小于 比较函数趋于某个极限时的性质常定义： 0 若x x f x g x f x g x → → 时， ( ) / ( ) 1 ( ) ( ) ，则称 例： x x x → → 0, tan § 3.1 量级符号 § 3 渐近方法 1) 同量级
§3.1量级符号 §3渐近方法 2)量级最多为 若x>x,时，f(x)/g(x)保持有界，则称f(x)的量级 最多为g(x),记为f(x)=O(g(x) 例： n-→o,Pn(x)=O(x”), x→0，xCos(1/x)→O(x) *也可以说若存在某个常数A,使对定义域D某个内点x的邻域 V内的所有x,满足 VGAG✉度m =A 称函数fx)至多与g(x)同阶
0 ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) x x f x g x f x g x f x O g x → = 若 时， 保持有界，则称 的量级 最多为 ，记为 , ( ) ( ), 0, cos(1/ ) ( ) n n n P x O x x x x O x → = → → 例： 0 ( ) ( ) ( ) lim A ( ) x x f x f x g x → g x = A 或 称函数f (x)至多与g (x)同阶。 § 3.1 量级符号 § 3 渐近方法 2) 量级最多为 也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x0的邻域 V内的所有x，满足
§3.1量级符号 §3渐近方法 3)量级小于 若x→x时，f(x)/g(x)→0，则记f(x)=o(g(x) 例：x→0，tan(x3)=o(x2), x→o,对n>0,x”=o(e) f(x)=OI)的意义是说fx)有界，而f(x)=o(I)的意义是 说f(x)趋于零。 *也可以说若存在任乙>O,定义域D内点x总有一的邻域 V存在，使得所有x∈V。,满足 f(x)≤elg(x)或lim f(x) x→X0 8(x) 称函数fx)是函数gx)的高阶小量
0 若x x f x g x f x o g x → → = 时， ( ) / ( ) 0 ( ) ( ( )) ，则记 3 2 0, tan( ) ( ), , 0, ( ) n x x x o x x n x o e → = → = 对 例： 的意义是说f (x)有界，而 的意义是 说f (x)趋于零。 f x O ( ) (1) = f x o ( ) (1) = § 3.1 量级符号 § 3 渐近方法 3) 量级小于 也可以说若存在任一 ，定义域D内点x0总有一的邻域 存在，使得所有 ，满足 0 V x V 0 x ( ) ( ) ( ) lim 0 ( ) x f x f x g x g x → = 或 称函数f (x)是函数g (x)的高阶小量
§3.2渐近展开 §3渐近方法 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复 平面上进行。 一、渐近序列 设(2)，"(2)，…，"()，是定义在区间D上的连续函数序列 20是D中的一固定点，若对每一个固定的，有 W()=o(w,(=) 则称{"(}为二0点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也 可以是无限项的。 例如： 是对零点的渐近序列。 是对于无穷的渐近序列
§ 3.2 渐近展开 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复 平面上进行。 一、 渐近序列 设 ，是定义在区间D上的连续函数序列， 是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有 0 1 ( ), ( ), , ( ) w z w z w z n 0 z 1 0 ( ) ( ( )) ( ) w z o w z z z n n + = → 则称 为 点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也 可以是无限项的。 例如： w z n ( ) 0 z 是对零点的渐近序列。 2 1, , , z z § 3 渐近方法 2 1 1 1, , , z z 是对于无穷的渐近序列
§3.2渐近展开 §3渐近方法 二、渐近展式 设f(x)是一个给定的函数，而{w,()是z。点的一个渐近序 列，如果对每个固定的整数n,有 f(2)=aw(2)+aw(2)+…+anwn(2)+own(2)]z>2o 那么称此为f(x)在2。点的渐近展式。记为 fa)-∑a,w.(e):→。 n 注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近 展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足 渐近展式的定义式，则当2→o时，取确定的项数会得到 对函数非常好的近似
二、 渐近展式 设 是一个给定的函数，而 是 点的一个渐近序 列，如果对每个固定的整数n，有 那么称此为 在 点的渐近展式。记为 注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近 展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足 渐近展式的定义式，则当 时，取确定的项数n会得到 对函数非常好的近似。 f x( ) w z n ( ) 0 z 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ))] n n n f z a w z a w z a w z o w z z z = + + + + → f x( ) 0 z 0 ( ) ( ) n n n f z a w z z z → 0 z z → § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法
§3.2渐近展开 §3渐近方法 例1：求- 当x→∞时的积分值。 x+t 即求x→∞时f(x)的渐近展式。 解：利用分部积分法，多次分部积分 w- =3是+-"a e"'dt (x+ 余项： R=a+则 (1+,) 4 sa+e=a
例1：求 当 x → 时的积分值。 0 ( ) t e dt f x x t − = + 即求 x → 时 f x( ) 的渐近展式。 解： ( ) ( ) 2 0 1 2 3 4 1 2 0 1 ( ) 1 1 2 3 - (-1) ( 1) ( 1)! t t n n n n e dt f x x t n e dt n x x x x x x t − − + + + = − + − + + + + − + + 利用分部积分法，多次分部积分 x ！ ！ ！ ＝ 余项： ( ) ( ) 2 2 1 0 0 1 2 0 ( 1)! ( ) ( 1)! 1 ( 1)! ( 1)! t xy n n n n xy n n e dt n e dy R x n x t y x n n e dy x x − − + + + − + + + = + ⎯⎯⎯→ + + + + = t=xy § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法
§3.2渐近展开 §3渐近方法 因此，取展开式的前项，略去余项，当x>o∞时，其误差 量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为 X>0 注意：这个级数对于有限的x值均不收敛。但是，取确定 的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出 的相对误差为1x,结果粗略一些，但已经足够用了
因此，取展开式的前n项，略去余项，当 时，其误差 量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为 x → § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 1 0 0 ( ) (-1) x t n n n e dt n f x x t x − + = = → + ！ 注意： 这个级数对于有限的x 值均不收敛。但是，取确定 的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出 的相对误差为1/x ,结果粗略一些，但已经足够用了
§3.2渐近展开 §3渐近方法 三、展开式系数： 当z→2。时，f(2)的渐近展式∑a,w,(a) 的系数为 fe)- anwn (= a,lim 2→20 w(2) 四、展开式的构成 证明略 设f(2),w(三)，w(2),…,w(2)在区域D中有定义，若 fe)-2aw.(回 a lim m=] 2→20 w(2) 有定义且不为零，则 立，日)是2→)时， f(z)的一个直到N项的渐近展开式
三、 展开式系数： 当 时， 的渐近展式 的系数为 1 1 0 ( ) ( ) ( ) lim N n n n N f z a w z n w z z z a − = − → = 0 z z → f z( ) ( ) n n n a w z 证明略 § 3.2 渐近展开 § 3 渐近方法 四、 展开式的构成 设 在区域D中有定义，若 有定义且不为零，则 是 时， 的一个直到N项的渐近展开式。 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ) N f z w z w z w z 0 1 1 ( ) ( ) lim ( ) k n n n k z z k f z a w z a w z − = → − = 1 ( ) N n n n a w z = 0 z z → f z( )