西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课件讲稿）第3章 静磁场 Magnetostatics

Xidian University 第3章静磁场 (Magnetostatics) 主要内容 §1.矢势及其微分方程 §2.磁标势 §3.磁多极矩 §4.阿哈罗诺夫-玻姆效应 西安电子科技大学

西安电子科技大学 §1. 矢势及其微分方程 §2. 磁标势 §3. 磁多极矩 §4. 阿哈罗诺夫-玻姆效应 第3章 静磁场 (Magnetostatics) 主要内容

静磁场 Xidian University §1.矢势及其微分方程 一、稳恒电流磁场的矢势 1.稳恒电流磁场的基本方程 稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷)产生的不随时间变 化的磁场。 V×i=j 基本方程 边值关系 n×(i2-i)=a 7.B=0 n×(B2-B)=0 本节仅讨论B=情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况 静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。 实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时，在这个 参照系中观测，只有静电场。 西安电子科技大学

西安电子科技大学 §1. 矢势及其微分方程 一、稳恒电流磁场的矢势 1．稳恒电流磁场的基本方程 稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变 化的磁场。           B 0 H J    基本方程           ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 n B B n H H        边值关系  本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况 静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。 B H     实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时，在这个 参照系中观测，只有静电场。 静磁场

静磁场 Xidian University 2.矢势的引入及意义 静电场V×龙=0一p 稳恒电流磁场 VxH=J .B=0一A日B=VxA 物理意义： (a)B与A的关系 Bas=V×A)s=fA团 其中S为回路L为边界的任一曲面 正是由于B的无源性决定了A的环量的唯一性 西安电子科技大学

西安电子科技大学 2．矢势的引入及意义 静电场   E 0 物理意义： （a） B 与 A 的关系 稳恒电流磁场   H J          S S L B dS A dS A dl       ( ) dS B L 其中S 为回路L 为边界的任一曲面   B 0 A  B A   正是由于 B 的无源性决定了 A 的环量的唯一性 静磁场

静磁场 Xidian University (b)磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关 ∮、B.d5=0→B.as,+B.s2=0 B (dS:=-dS=-dS)B.dS=B.ds (c)物理意义 fAd=、B-a因 dS A沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一 曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。 3、矢势的不唯一性 =A+VwV×A=V×A+Vx(Vy)=V×A=B 令7.A=0 可减少矢势的任意性 库仑规范条件 西安电子科技大学

西安电子科技大学 沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一 曲面的磁通量，而每点 无直接物理意义。 A A  （b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关 L S A dl B dS      （c）物理意义 ３、矢势的不唯一性      S1 S2 B dS B dS     2 1 ( ) dS dS dS     A A              A A A B  ( )   A  0  令 可减少矢势的任意性 库仑规范条件B L 1 dS  2 dS  1 2 1 2 0 S S B dS B dS     0   S B dS    A 静磁场

静磁场 Xidian University 二.矢势满足的方程及方程的解 1.A满足的方程 B=u vxi=j可 V·A=0 v×B-v×B=vx×列=[v--v=j V2A=- 分量满足VA=-wJ, i=1,2,3 (1)稳恒电流磁场矢势满足（矢量）泊松方程 (2)与静电场中720=-P 形式相同 (3)矢势为无源有旋场 西安电子科技大学

西安电子科技大学 二．矢势满足的方程及方程的解 2     A J i i i 1,2,3 1．A 满足的方程 B H     A J      2 （1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2）与静电场中 形式相同       2 H J     B A A A J B              [(  )   ]  1 ( ) 1 1 2       A  0  （3）矢势为无源有旋场 分量满足 静磁场

静磁场 Xidian University 2.矢势的形式解 ◆4 A J(F)dv' 4-#20 已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分 布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。 3.B的解 8-eo2-I7rw 背如 这正是毕奥-一萨伐尔定律 西安电子科技大学

西安电子科技大学   3 ( ) 1 ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 V V V J r B A dV J r dV r r r r J r r r dV r r                                   2．矢势的形式解 ( ) 4 V J r dV A r r         已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分 布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。 3．B 的解  这正是毕奥-- 萨伐尔定律 1 ( ) 4 V r dV r r         通过类比  ( ) 4 i i V J r dV A r r         静磁场

静磁场 Xidian University 4.A的边值关系* (a)n(B2-B1)=0 →n(7×A2-V×A)=0 d=(A )Al →A=A ∮Aai=J、B.s一0 V.A-0 Ain =A2n A1=A2 西安电子科技大学

西安电子科技大学 A  4． 的边值关系 * A2t  A1t  A=0 A A 1 2       L t t A dl (A A ) l 2 1   L S A dl B dS      0 1 2 n  A A 1n 2n  ( ) 0 ( ) 0 2 1 2 1         n A A n B B       （a） 静磁场

静磁场 Xidian University (b)n×(H2-H)=a → 7 ix(x成-4xi)=a 特殊情况： ①若分界面为柱面，柱坐标系中当 A=Ae,a=ae. 1 04 1 1 ②若分界面为球面，当 A=Aeo a=aio 西安电子科技大学

西安电子科技大学 A Ae e   z z       A Ae e                            ) 1 1 ( ( ) 1 1 2 2 2 1 n A A （b） n H H 特殊情况： ① 若分界面为柱面，柱坐标系中当 ② 若分界面为球面，当 z x y A           r A r A 2 2 1 1 1 1          ( ) 1 ( ) 1 [ 1 2 2 1 1 rA r rA r r ] x z y A  静磁场

静磁场 Xidian University 5.矢量泊松方程解的唯一性定理 定理：给定V内传导电流，和V边界S上的A,或B, V内稳恒电流磁场由V2A=-和边界 条件唯一确定。 三.稳恒电流磁场的能量 已知均匀介质中 W- 总能量为 1.在稳恒场中 W-3LA.Jav ①能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。 ② Aj不是能量密度。 2 西安电子科技大学

西安电子科技大学 5．矢量泊松方程解的唯一性定理 定理：给定V内传导电流 和V边界S上的 或 V 内稳恒电流磁场由 和边界 条件唯一确定。 J  At Bt A J      2 三．稳恒电流磁场的能量 已知均匀介质中 总能量为  W  B  HdV   2 1 1．在稳恒场中  W  A JdV   2 1 ② A J 不是能量密度。    2 1 ① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。 静磁场

静磁场 Xidian University ③导出过程 7(f×8)=(V×f)8-f·(V×8 B.i=(V×A·i =V.(A×)+A(V×) ∫V.(Ax Hdv =V(A×i)+Aj =∮，(dxi)=0 W siar-(diw4r -ifi 西安电子科技大学

西安电子科技大学 B H A H       ( ) ③ 导出过程 (A H) A ( H)           A H A J      (  )     A JdV   2 1 ( ) ( ) 0 V S A H dV A H dS          ( f g) ( f ) g f ( g)                W  B HdV   2 1       A H dV  A JdV     2 1 ( ) 2 1 静磁场