第一章电磁现象的普遍规律 1.根据算符△的徽分性与矢量性，推导下列公式： V(A·B)=B×(V×)+(B.V)A+A×(V×B)+(AV)B 1xVx团=f-(不w)1 解：矢量性为 a-(b×c)=b.(c×a=c-(a×b) ① cx(axb)=(b-c)a-(c-a)b ② (a×b)×c=(ca)b-(c.b)a ③ 微商性 (a-B)-da.Bad6 ④ d dt db 4 (axb)=daxb+ax ⑤ dt dt dt 由②得 B。×(V×)=V(B·A-(B。·V)A ⑥ 4.x(VxB)=V(Ac.B)-(Ac.V)B ⑦ ⑥+⑦得 B×(V×A+A×(V×B)=[V(B.·A)+V(A·B)]-[(B。V)A+(A.V)B] 因为 VAB)=V(A·B)+V(AB.) .上式得 V(A.B)=B.×(V×A+Ax(V×B)+(B。V)A+(A.V)B 令B=A得 VA2=2A×(V×)+2(AV)A Ax(×A=274-(4V)A 2.设μ是空间坐标x,y,z的函数，证明：
第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符 的微分性与矢量性，推导下列公式： = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B B A B A A B A B 1 2 ( ) ( ) 2 A A A A A = − 解：矢量性为 a b c b c a c a b = = ( ) ( ) ( ) ① c a b b c a c a b = − ( ) ( ) ( ) ② ( ) ( ) ( ) a b c c a b c b a = − ③ 微商性 ( ) d d a db a b b a dt dt dt = + ④ ( ) d d a db a b b a dt dt dt = + ⑤ 由②得 ( ) ( ) ( ) c c B A B A B A c = − ⑥ ( ) ( ) ( ) c c A B A B A B c = − ⑦ ⑥+⑦得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c B A A B B A A B B A A B c c + = + − + ( ) ( ) ( ) c 因为 = + A B A B A B c 上式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c = + + + A B B A A B B A A B c c 令 B A = 得 2 = + A A A A A 2 ( ) 2( ) 1 2 ( ) ( ) 2 = − A A A A A 2.设μ是空间坐标 x，y，z 的函数，证明：
Vf(u)= f了u du p.A〔ω)=vu.da du VxA)）=Vuxda du 解：① 听w= og+号ug+是we 0 (u)uu)uu)u du ox du dy du dz (u)uuou.) x2,+,+正 -df(uVu du ② A,+2 .w0=4+ dA ou dA,ou dA.ou du ox du dy du oz dA =7: du ③ 8 g e V×A(u）= a Ox dy dz A A,A. =-加+坠-必,+ 4_aA2 Ox oy dA.ou =(d创 40+选业的，+此必-路 du oz du oz du ox edu x du oy dA =7l× du 3.设r=√x-x)2+(y-y)+(2-z)为源点x到场点x的距离，r的方向规定为 从源点指向场点。 (1)证明下列结果，并体会对源变数求徽商
( ) ( ) ( ) df f u u du d A A u u du d A A u u du = = = 解：① ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x y z x y z x y z f u f u e f u e f u e x y z df u u df u u df u u e e e du x du y du z df u u u u e e e du x y z df u u du = + + = + + = + + = ② ( ) x y z x y z A u A A A x y z dA u u u dA dA du x du y du z d A u du = + + = + + = ③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z z z y y x x x y z z z y y x x x y z e e e A u x y z A A A A A A A e e e y z z x x y dA dA u u u u u u dA dA dA dA e e e du y du z du z du x du x du y d A u du = = − + − + − = − + − + − = 3.设 ' 2 ' 2 ' 2 r x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) 为源点 ' x 到场点 x 的距离，r 的方向规定为 从源点指向场点。 ⑴ 证明下列结果，并体会对源变数求微商
(V=e, +, .+e. 0) 与对场变数求徽商 (V=ē ,0y a +e 0) 8x 的关系 r=r= ,-1=-5 3=0 V.F 京=0,0≠0) (最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节) (2)求V-r,7×r,(a.)r,V(ar),V-[Esin(kr]及7×[Esin(kr】,其中a,k及E。 均为常矢量。 解：() Vr=es ax ey oy e:o x-x y-y =ex x-x+0-yy+-可+8，x-xy+0-yr+e-7 te: 2-2 Vx-x)+(v-y)+(- r=6x++e -(x-x) -0y-y) (-) =6-r+-e-*5-U-7+e-+-r+-+e- =-7r （)e.+()e,+(白)e: r Ox r dy r Oz r Fe,+,+ -e)
（ ' x y z ' ' ' e e e x y z = + + ） 与对场变数求微商 （ x y z e e e x y z = + + ） 的关系 ' ' ' 3 3 3 3 1 1 , , 0, 0,( 0) r r r r r r r r r r r r r r r = − = = − = − = = − = （最后一式在 r=0 点不成立，见第二章第五节） ⑵ 求 r r a r a r E k r , ,( ) , ( ), [ sin( )] 。 及 [ sin( )] E k r 。 ，其中 a k, 及 E。 均为常矢量。 解：⑴ ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r r r e e e x y z x x y y e e x x y y z z x x y y z z z z e x x y y z z r r = + + − − = + − + − + − − + − + − − + − + − + − = ' ' ' ' ' ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r r r e e e x y z x x y y z z e e e x x y y z z x x y y z z x x y y z z r r r = + + − − − − − − = + + − + − + − − + − + − − + − + − = − = − 2 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) x y z x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r = + + − = + + = −
片景++是 r ax r ++是 re,*oy =-vl 1 Vx- 3 V×r+(3)×r 1 x0+3 VrxF -3 一X =0 或这样运7x号=(- 0 (梯度的旋度恒为零)。 V.- 1v.r rr+ -3 3 =0(r≠0) V.r 1 V.r 子+方x-3) =0
' ' ' ' 2 ' ' ' 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 x y z x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r r = + + − = + + = = − 3 3 3 3 4 4 1 1( ) 1 3 0 3 0 r r r r r r r r r r r r r r = + − = + − = = 或这样证明 3 1 0 r r r = − = （梯度的旋度恒为零）。 3 3 3 4 3 4 3 1 1 3 1 3 1 ( ) 3 0 ( 0) r r r r r r r r r r r r r r r r r = + − = + − = + = ' ' 3 ' 3 ' 3 3 4 3 ' 3 3 1 ( ) 1 1 3 1 ( ) ( 3) 0 0( 0) r r r r r r r r r r r r r r r r r r = = + − − = + − = = − =
(2) V.r a (x-x)+ 00-y0+8e-) d =3 ex ey V×r= a武 a妙 =0 x-x y-y 2-2 (a-7)r -(a:x ay oy -r or or ay oy a Ox ar a.O =a,ex +ayey+ae: =a (注！这里如果没有引入张量。可以采用分量的方法进行证明，如下) 第一项 =axe(x-0+e,0y-y八+e(e-1=a,g or a 同理，a,y =ayey a. =a.e: (a.V)r=a,e,+a,e,+a.e.=a 7(ar) =a×(V×r)+(a.7)r+r×(V×a)+(r.V)a =a×0+(a.7)r+0+0 =(a.7)r -a
⑵ ' ' ' ( ) ( ) ( ) 3 r x x y y z z x y z = − + − + − = ' ' ' 0 x y z e e e r xyz x x y y z z = = − − − ( ) ( ) x y z x y z x x y y z z a r a a a r x y z r r r a a a x y z a e a e a e a = + + = + + = + + = （注！这里如果没有引入张量。可以采用分量的方法进行证明,如下） 第一项 [ ( ) ( ) ( )] , , x x x y z x x y y y z z z x x y y z z r a a e x x e y y e z z a e x x r r a a e a a e y z a r a e a e a e a = − + − + − = = = = + + = 同理， 故（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) +0 0 ( ) a r a r a r r a r a a a r a r a = + + + = + + = =
V.[E.sin(kr)] =[Vsin(krJE。+sin(kr)7.E。 =[7sin(k(x-x)+k,(y-y)+k(z-z)川E。 =Ek,cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(=-)] +Ek,cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(=-=)] +Ek.cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(-)] =(Eok,+Eo ky +Eak:)cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(=-2)] =Cos(kr)E。·Z Vx[E。sin(kr] =[V sin(kr)]x E.+sin(kr)Vx E =[k,cos(k-r)e,+k,cos(kr)e,+k.cos(kr)e:]xE. =cos(kr)(k,e,+k,e,+k.e)xE. =cos(kr)k×Ea) 注，这个题出错率比较高，也可以这样证明： V.[E.sin(kr)] =[Vsin(krJE。+sin(kr)7.E。 由于V.E。=O,Vsin(kr)=7(kr)cos(kr),而V(kr)=k ∴.V.[E.sin(kr)】=k·E.cos(kr) Vx[E。sin(kr)] =[Vsin(kr)]xE。+7×E.sin(kr 由于V×E。=O,Vsin(kr)=V(kr)cos(kr)=kcos(kr), .∴V×[E.sin(kr)]=k×E.cos(kr) 4.()应用高斯定理证明 Jdwv×f=∮as×f (2)应用斯托克斯(Stokes)定理证明 [dsxvo=④dip 解：(1)用一非零任意常矢量c点乘原式左边，得 c∫vxf-∫h(Vxf)c
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' [ sin( )] [ sin( )] sin( ) [ sin( ( ) ( ) ( ))] cos[ ( ) ( ) ( )] cos[ ( ) ( ) ( )] cos[ ( ) ( x y z ox x x y z oy y x y z oz z x y E k r k r E k r E k x x k y y k z z E E k k x x k y y k z z E k k x x k y y k z z E k k x x k = + = − + − + − = − + − + − + − + − + − + − + 。 。 。 。 ' ' ' ' ' ) ( )] ( )cos[ ( ) ( ) ( )] cos( ) z ox x oy y oz z x y z y y k z z E k E k E k k x x k y y k z z k r E k − + − = + + − + − + − = 。 [ sin( )] [ sin( )] sin( ) [ cos( ) cos( ) cos( ) ] cos( )( ) cos( )( ) x x y y z z x x y y z z E k r k r E k r E k k r e k k r e k k r e E k r k e k e k e E k r k E = + = + + = + + = 。 。 。 。 。 。 注，这个题出错率比较高，也可以这样证明： [ sin( )] [ sin( )] sin( ) =0 sin( )= ( )cos( ) ( )= [ sin( )] cos( ) [ sin( )] [ sin( E k r k r E k r E E k r k r k r k r k E k r k E k r E k r k = + = = 。 。 。 由于 。 ， ，而 。 。 。 )] sin( ) =0 sin( )= ( )cos( )= cos( ) [ sin( )] cos( ) r E E k r E k r k r k r k k r E k r k E k r + = 。 。 由于 。 ， ， 。 。 4. ⑴ 应用高斯定理证明 V S dV f dS f = ⑵ 应用斯托克斯（Stokes）定理证明 S L d S d L = 解：⑴用一非零任意常矢量 c 点乘原式左边，得 ( ) v v c dv f dv f c =
.7.(fxc)=(V×)c-(V×c.f =(V×f)c (because7×c=O) 所以上式右边= =J,V-(Fxe)dv 应用高斯定理得 =∮(f×c)d 再利用三矢量混合积，得 =∮c-(d×f) =c6 dSxJ 因为c为任意非零常矢量，故 ∴∮×了=∫ndN×f 注，这个题出不会证的同学比例较高，大家也可以试着这样证明： 等式左边的x分量为 e∫avxf=jdre(xf) 利用a-(⑥xd=b-(cxad e(xf）=v(fxe) 所以 ejw(xf)=∫(Txe) 再利用高斯定理，得 e∫(×f)=∮s(fxe) =∮e(×) =e·∮×j 可见，∫dWV×于的x分量与∮压xf的x分量相等。 同理，可证y与z分量都如上所证相等。故 ∫dT×f=∮d压×f （证毕)
( )= - = (because 0) f c f c c f f c c = （ ） （ ） （ ） 所以上式右边= ( ) V = f c dV 应用高斯定理得 ( ) s = f c dS 再利用三矢量混合积，得 ( ) s s c dS f c dS f = = 因为 c 为任意非零常矢量，故 S V = dS f dV f 注，这个题出不会证的同学比例较高，大家也可以试着这样证明： 等式左边的 x 分量为 ( ) x x v v e dv f dve f = 利用 a b c b c a = ( ) ( ) e f f e x x = ( ) ( ) 所以 x x ( ) ( ) v v e dv f dv f e = 再利用高斯定理，得 ( ) ( ) = ( ) = x x v s x s x s e dv f ds f e e ds f e ds f = 可见， V dV f 的 x 分量与 S dS f 的 x 分量相等。 同理，可证 y 与 z 分量都如上所证相等。故 V S dV f dS f = （证毕）
(2) ∮dic =∮，cd玩 =∫、V×(c)dS→V×(0c)(×c)+Vp×c=Vpxc =∫Voxc.di =J d5xVo-c ∴∮i4=∫sxV4 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为 P(t)=p(x,t)xdv 利用电荷守恒定律 77+2=0 at 证明P的变化率为 dp d =∫J,0dw 解： dp dt -器r=-v-派 =-JV(x)dW+∫.vxdW→V.Jx(V.Dx+jv,vx=i单位张量) =-gJx.ds+SJ.(V.)dv =-∮Jxds+∫Jdw 取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的J=0,则 ∮，Jxas=0. =J7在，r dp 6。若m是常矢量，正明除R0点以外矢量A=m×R R3 的旋度等于标量p二P的梯 度的负值，即V×A=-Vp(R≠O),其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场
⑵ ( ) ( )=( ) + = L L S S S d L c c d L c d S c d S dS c c c c c = = → = = L S = d L dS 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ' ' ' ( ) ( , ) V P t x t x dV = 利用电荷守恒定律 J 0 t + = 证明 P 的变化率为 ' ' ( , ) V d P J x t dV dt = 解： ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( )= + =I [ ( , )] ( ) V V V V d P dt x dV J x t x dV t J x dV J x dV J x J x J x x = = − = − + → （ ） ， （单位张量） ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) S V S V J x d S J x dV J x d S JdV = − + = − + 取被积区域大于电荷系统的区域，即 V 的边界 S 上的 J = 0 ，则 ' ' ' ' 0. ( , ) S V J x d S d P J x t dV dt = = 6. 若 m 是常矢量，证明除 R=0 点以外矢量 3 m R A R = 的旋度等于标量 3 m R R = 的梯 度的负值，即 = − A R ( 0) ,其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场
点。 解： 7p=7(m: 分》 =m×(仅 R)+(m. RR R+Rix(Vxm)+( =m×(7× R )+(m) R R ,7x :.上式=(mV) R 7.有一内外半径分别为r和5的空心介质球，介质的电容率为￡，使介质内均匀带 静止自由电荷P,求 (1)空间各点的电场；（②）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：(I)对空间I做高斯面，由： .E.ds=o 14 4πr2E,=(5π-号πr)p 6.3 (-)P .E= 38.r2 E-⑤-p 38.r2 对空间Ⅲ：做高斯面，由∮DdS=p,dV .D=sE E-e 8r2 对空间Ⅲ： 做高斯面，由 4πr2Em=0
点。 解： 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) R m R R R R R m m m m R R R R R R m m R R R R R m R = = + + + = + = = 上式 7. 有一内外半径分别为 1 r 和 2 r 的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质内均匀带 静止自由电荷 f ，求 ⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。 解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由： E d S Q = 2 3 3 2 1 1 4 4 4 ( ) 3 3 I f r E r r = − 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 ( ) 3 ( ) 3 f I f I r r E r r r E r r − = − = 对空间Ⅱ：做高斯面，由 f v D d S = dV 2 3 3 1 4 4 4 ( ) 3 3 f = − r D r r Ⅱ D E = 3 3 1 2 ( ) 3 f r r E r r − = 对空间Ⅲ: 做高斯面，由 2 4 0 r EⅢ =
∴Em=0 (2)由 D=E+P ∴.p=D-8E -2.s"2月 .P-(6-L(- ·Pp=-7.P =62r-5 38 =-&-P4B-0)=-1-)p, 38 r=5时，由边值条件： Pn-Pn=-op(P由1指向2) Op=Pn-Pan -（6-6p(位-rir 38 --s-p, 385 =5-1-)p,0=) 32 Op=Pn -P2n 38 =0(r=5) 8.内外半径分别为：和5的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导 体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。 解：()由B·dI=4l 所以
= EⅢ 0 ⑵ 由 D E P 0 = + P D E0 = − 3 3 3 3 1 0 1 2 2 ( ) ( ) 3 3 f f r r r r P r r r − − = − 3 0 1 3 ( ) (1 ) 3 f r P r r − = − 3 0 1 3 0 0 ( ) ( ) 3 ( ) (3 0) (1 ) 3 P f f f P r r r r = − − − = − − − = − = − − 2 r r = 时,由边值条件: P P 2 1 n n P − = − ( P 由 1 指向 2) 1 2 4 3 2 0 2 1 3 2 3 3 2 1 0 2 2 3 3 2 1 0 2 2 2 1 2 3 0 1 1 1 3 2 1 ( ) ( ) 3 ( )( ) 3 (1 ) ,( ) 3 ( ) 0 ( ) 3 0( ) P n n f f f P n n f P P r r r r r r r r r r r r P P r r r r r r = − − − = − − = − = − = = − − = − − = = 8. 内外半径分别为 1 r 和 2 r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导 体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。 解：⑴由 B dl I L = 0 所以