西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课后习题解答）第五章 电磁波的辐射

第五章 电磁波的辐射 1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B这两部分在真空所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应与库仑场 解：首先将电磁场分成两部分： E=E+E, () B=B +B (2) J=J1+J, (3) 其中L为纵场T为横场所以有： V×E=0 (4) 7×B2=0 (5) V×j2=0 (6) V.E =0 (7) 7.B2=0 (8) 7j2=0 (9) 将(1)(3)代入电荷守恒定律有： 7.j+2=0→7-⑦2+j,) ap=0 (10) 由(9)得： vj+2=0 将(1)(2)(3)代入真空中的麦氏方程组得 :(E2+E)=2 11) 0 Vx(E2+E)=-9 (BL+B) (12) 8t (B2+B)=0 (13) 7×(⑧2+Br)=4L+4%JT+o0a L+650at E (14) 由(11)及(7)式得 V.E=P (15) (13)及(8)式得 7●B=0 (16) 将(16)及(4)式代入(12)得

第五章 电磁波的辐射 1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出 E 和 B 这两部分在真空所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应与库仑场. 解: 首先将电磁场分成两部分:      = + = + = + (3) (2) (1) T J J J B B B E E E L l t l           其中 L 为纵场 T 为横场.所以有:              =   =   =  =  =  =  0 (9) 0 (8) 0 (7) 0 (6) 0 (5) 0 (4) T T L L L J B E J B E       将 （1）（3） 代入电荷守恒定律有: 0 ( ) = 0   =    + +     +  t J J t J L      （10） 由（9）得: =      + 0 t J   将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得 ( ) (11) 0 ( ) ( ) (12) ( ) 0 (13) ( ) (14) 0 0 0 0 0 0 E E L B B L E E L t B B L E E L B B J J L L t t           + =      +     + = −     + =          + = + + +      由(11) 及(7)式得: 0     EL =  (15) 由(13)及(8)式得:  • BL = 0  (16) 将(16)及(4)式代入(12)得

V×E,s-B (17) 将(5)式代入(10)式得： +骨a,v--0d+6n-0 (18) at 由(8)式及(4)式得 J+Vx E)=0 8E,=0→7×(J,+80a (19) 由(18)(19)式得 46JL+64E2=常矢 (20) 将(5)式及(20)式代入(14)式得 xB=Ho+Hoo EL+4,JL+6o4ad (21) 若空间有电流为常失，则必产生磁场，所以常失应归入J, 只有 A+6%骨，=0 (22) OET VxB=Ho+Hoo Ot (23) 以上(15)(16)(17)(22)式及(23)式为E和B的横场和纵场，所满足的方程式，由最 后 V.E=P 0 v×E,=- 8t 说明为由空间全部电荷所激发的场，所以为E,库仑场，而E是由全部磁场所激发的，为有 旋场。 2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0,J=0,则E和B可完全有失势A决 定。若取p=0,这时A满足哪两个方程？ 解：在各项同性均匀介质中，￡=常数，4=常数，达朗贝尔方程为：

t B E     = −     (17) 将(5)式代入(10)式得: ( 0  ) = 0     L + EL t J    ( 0 El ) = 0      + t J L   (18) 由（8）式及（4）式得 0 = 0    L +  EL t J    ( 0 ) = 0      L + EL t J    (19) 由（18）（19）式得 0 0 0 L L    J E + =常矢 （20） 将（5）式及（20）式代入（14）式得 +     =  + t E B J T T    0 0 0    L EL t J    0 + 0 0   (21) 若空间有电流为常失,则必产生磁场，所以常失应归入 L J  . 只有 0 0 0 = 0   L + EL t J      (22) t E B J T T T     = +    0 0 0    (23) 以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为 E  和 B  的横场和纵场，所满足的方程式，由最 后            = −   =   t B E EL    0   说明为由空间全部电荷所激发的场，所以为 EL  库仑场，而 E  是由全部磁场所激发的，为有 旋场。 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若 P=0, J = 0  ,则 E B   和 可完全有失势 A  决 定。 若取  = 0 ，这时 A  满足哪两个方程？ 解：在各项同性均匀介质中，  ＝常数，  ＝常数，达朗贝尔方程为：

v-0-V(V.4+100)=-MoJ c2a27 (1) 720+ v.A=-P (2) 若p=0,J=0,则方程中只含有A和0，若A定，则0可由方程求出。在A和p全定后， 由 E=-Vo- A B=V×A 可求出E和B。 若 p=0,j=0,0=0 由(1)(2)可得 a-10-0 7.A=0 3.证明沿乙轴方向传播的平面电磁波可用失势A(oπ)表示，其中t=1-三，A垂直于 Z轴方向 解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程P8719变为波方程： v2a-1∂2a c2a2-0 720- 1020 =0 c2012 V.A+ 109=0 c2 0t 其平面波解为 A=Aenk-w) p=peilk.-m) 由

         = −    + = −   −    +    − (2) ) (1) 1 ( 1 0 2 2 2 0 2 2 2      A t J c t A t A c A     若 = 0, J = 0,   则方程中只含有 A  和  ，若 A  定，则  可由方程求出。在 A  和  全定后， 由 t A E   = − −    B A   =  可求出 E  和 B  。 若 = 0, J = 0,    = 0 由（1）（2）可得        = =    − 0 0 1 2 2 2 A t A c A    3. 证明沿 Z 轴方向传播的平面电磁波可用失势 A( )  表示，其中 c z  = t − ，A  垂直于 Z 轴方向. 解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程 P187 \1.9 变为波方程 ：          =     + =    − =    − 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c t A c t t A c A       其平面波解为 ( ) ( ) 0 i k x wt i k z wt e A A e  −  − = =         由

100=0 V.A+ c2 O1 得 n=CE元 0 :只要给定A。,则平面波完全可用失势 A=henis-m) 表示， 若平面波沿Z方向，则： A=esm=deou] 由 .A=0→又.(Ae)=(Ve.)A=ik.e.·k=0 A垂直于Z轴。 4.设真空中失势可用复数傅ā(t)立叶展开为 ix0=2[a.e+a'0e] 其中ds(t)是a(t)的复共轭。 （①证明a,0满足谐振子方程4产a@+k:c2a,0=0 (2)当选取规范V·A=0,p=0时，证明kā=0 (3)把E和B用a()和a(t)表示出来 解：(1)A可改写为 i-2a,:ae 若采用洛仑兹规范 0uA.=0 则 7A=0 所以

0 1 2 =     + c t A   得 0 2 0 k A c   =     只要给定 A0  ，则平面波完全可用失势 ( ) 0 i k x wt A A e  − =     表示， 若平面波沿 Z 方向，则： ( ) 0 i k z wt A A e  − =     =       − ( − ) 0 c z i t A e   由  A = 0 (A0 e ) = (e ) A0 = ikz ez  k = 0 ik z ik z z z      A  垂直于 Z 轴。 4. 设真空中失势可用复数傅 a (t) k  立叶展开为 A(x,t)  ＝      +   − k ik x k ik x k a t e a t e       ( ) ( ) * 其中 ( ) * a t k  是 a (t) k  的复共轭。 （1）证明 a (t) k  满足谐振子方程 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 + k c a t = dt d a t k k   （2）当选取规范  A = 0, = 0 k ak = 0    时，证明 (3) 把 E  和 B  用 a (t) k  和 ( ) * a t k  表示出来. 解：（1） A  可改写为 =  = k ik x k A(x,t) (a (t)e   若采用洛仑兹规范  A = 0 则  A=0 所以

a+k2c2a=0 (2)若又.A=00=0时 7.(∑a)ei)=0 所以 ka5=0 (3)电磁波在真空中传播有 VA=0,Vp=0.0uA4=0 由 0,4=0卫ea+器-0 p=f4ew-faed B=vxa=话x1.E=-v0-骨A=-以+nmf 5.设A和p是满足洛仑兹规范的失势和标势 (1)引入一矢量函数E(x,)(赫兹矢量)，若令0=V.E,证明 A=1距 c20t (2)若令p=-V·P,证明Z满足方程 v2Z-1E-c c2 8t 写出在真空中的推迟 (3)证明A和B可通过E用下列公式表出 E=V×(V×E)-c24,P, B=↓0v×E c2 01 解：(1)由洛仑兹规范： v1+0=0. c2 ot 由 p=7.E 代入得

0 2 2 a  + k c a = （2）若  A = 0   = 0 时    =  ( ( ) ) 0 ik x k a t e    所以 k  ak = 0   (3) 电磁波在真空中传播有  A=0,   = 0 .  A = 0 由  A = 0  0 1 2 =     +  c t ike ak  ik x     ik x k i k x wt k a e w c k A e w c         −  =   =   2 ( ) 0 2  B A ik A     =  =  , A ik iwk t E    = − +   = − −  5. 设 A  和  是满足洛仑兹规范的失势和标势 （1） 引入一矢量函数 E(x,t)(  赫兹矢量），若令 E   =   ,证明 t E c A   =   2 1 （2）若令 P,   = − 证明 Z 满足方程 c P t E c Z    0 2 2 2 2 1 = −     − , 写出在真空中的推迟 （3）证明 A  和 B  可通过 E  用下列公式表出 E E c P    0 2 = ( ) −  , E c t B       = 2 1 解：(1) 由洛仑兹规范： 0 1 2 =     + c t A   . 由 E   =   代入得

.i-8.团-0v-(a-J )=0 ① c2 8t c2 8t 所以 A=1正+vx0 c2 8t 由必须满足协变性，即规范不变性， 所以 7×0=0 由A必须满足方程①所以后面不能有Vp 只有 A=1 0f c2 8t (2)由达朗贝尔方程 0v.7--e vo* ② 将 P=-V.P o=-V.E A=1a证 c2 81 代入得： +8-腰=g g1aE、7.P .w0-v.10E.-v.2 c2012 =-c247p @ 所以 VR-VR 由后面

) 0 1 0 ( 1 ( ) 2 2 =   =    −       − t E c A t E c A     ① 所以 Q t E c A    +    = 2 1 由必须满足协变性，即规范不变性， 所以 Q = 0  由 A  必须满足方程① 所以后面不能有  只有 t E c A   =   2 1 （2）由达朗贝尔方程      = −    + A t  2 ② 将 P   = − E   = −  t E c A   =   2 1 代入得：  P t E t c E      =        − + ) 1 ( ) ( 2 2  P t E c E    = −      −   2 2 2 2 1 ( ) c P t E c E     = −           − 0 2 2 2 2 2 1 ( )  ③ 所以 c P E t E c E     = − +     − 0 2 2 2 2 2 1  由后面

E=V×(V×E)-c24P, 所以P后面不能随意加常失 两边不能随意加梯度场所以只有 V×0=0 所以 VE-1 02E c2a21 -c24,P 由于此方程与 v2a-182a c262=-4j 相似 可由书PP92o3或做如下代换 A→E40→4c2，j→P 得解为 E=4c2 P(元，1-5 r c dv (v为场源) 4πJ (3)由 B=-v0-a (1) p=-7.E (2) A-10B e2o (3) vE、1∂E (4) c2012 =-c24p 将(2)(3)代入(1)得 E=-vN)-()=W)- (5) o1 c2 01 将(4)代入(5)式得 E=V(V.E)-V2E-c2uoP 由 V(V×E)=V(V.E)-VE

E E c P    0 2 = ( ) −  ， 所以 P  后面不能随意加常失 两边不能随意加梯度场.所以只有 Q = 0  所以 c P t E c E    0 2 2 2 2 2 1 = −     − 由于此方程与 J t A c A    2 0 2 2 2 1 = −    − 相似 可由书 P P191\203 或做如下代换 A E   → 2 0 0  →  c ， J P   → 得解为 dv r c r P x t c E  − = ( , ) 4 2 0      （v 为场源） (3) 由            = −    −   = = −    = − − (4) 1 (3) 1 (2) (1) 0 2 2 2 2 2 2 c P t E c E t E c A E t A E            将（2）（3）代入（1）得 : 2 2 2 2 1 ) ( ) 1 ( ) ( t E c E t E t c E E   =    −     = −   −      （5） 将（4）代入（5）式得 E E E c P     0 2 2 = ( ) − −  由 E E E    2 (  ) = (  ) − 

得： E=Vx(V×)-c24,p (6) 由 [B=V×A (7)） 2器 (8) 得 1 aE B=V(点 、10v×E 一)= 6.两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不 会发生 解：设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有 91=-92=90 由 p=∫pidr, 所以 p=(921+9222)e.=qo(31-22)e 由书P3.15式得 4x)=e 4πR Hoe"k 4R9(店-2)尼 =HoekR 4R96(化-)尼 则 B=V×A s、1 -ex 4π6，c3 1 4π6c3 eqo(,-2)厄.×n 由牛顿的三定律得

得： E E c P    0 2 = ( ) −  （6） 由        = =  (8) 1 (7) 2 t E c A B A     得： E t c t E c B       =   =  2 2 1 ) 1 ( 6. 两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不 会发生 解： 设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有 q1 = −q2 = q0 由  p = xd   ， 所以 z z p q z q z e q z z e   ( ) ( ) = 1 1 + 2 2 = 0 1 − 2 由书 P197/ 3.15 式得 z ikR ikR q z z e R e P R e A x      ( ) 4 4 ( ) 0 1 2 0 0 = − =     ＝ z ikR q v v e R e  ( ) 4 0 1 2 0 −   则 e P n c R B A ikR      =  =  3 4 0 1   ＝ ikR e c R 3 4 0 1  q v v ez n   0 ( 1 −  2 )  由牛顿的三定律得

1=2 所以 B=0 同理 1，e趣(Px)×n=0 所以电偶极辐射为零 由磁矩m的定义有 m=打rx 又由 J'=qv, 由题意 m-jl-.xqve.+z.e.xq.v.e.J-0 A=-kuoeikR (-n×m)=0 4nR 所以磁偶极辐射为0 7.设有一球对称的电荷分布，以频率w沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理 解释」 解：本题为球对称问题，所以用球坐标.由题意：电荷分布为球对称性，所以有： p=p(r)①取微元，在某时刻(r',θ'，p')处有 dg p(r')dv'p(r')r"sin 0'dr'de'do' p=∑qx -p(r(r'sin 'cos+r'sin @'sin +r'cos)rsin ar'dodp' =p(r)r"sin20'cosp'dr'de'd'+p(r)rsin20'sin 'dr'dodo'e p(r)r"sin @'cosdr'ded 由 sin20'de' coso'do=0 sin20'de'[sin o'dedo'=0

1 2 v  = v  所以 B=0 同理 E =  ikR e c R 3 4 0 1  ( P n) n = 0    所以电偶极辐射为零. 由磁矩 m  的定义有  m = x  J dv     2 1 又由 J qv    = ， 由题意   0 2 1 m = z1 ez  q1 v1 ez + z2 ez  q2 v2 ez =      ( n m) 0 4 R k e A ikR 0 = − −  =    所以磁偶极辐射为 0. 7. 设有一球对称的电荷分布，以频率 w 沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理 解释. 解：本题为球对称问题，所以用球坐标. 由题意：电荷分布为球对称性， 所以有：  = (r) ① 取微元，在某时刻（ r  ,  , ）处有 dg = (r )dv  = (r )r  sin dr dd 2 i i i P =  q x =       +     +          (r )(r sin cos ex r sin sin ey r cos ez )r sin dr d d    2 ＝ d d ex r r dr           ( ) sin cos 3 2 + y r r dr d d e             ( ) sin sin 3 2 ＋ z r r dr d d e              ( ) sin cos 3 由      =       2 0 0 2 sin d cos d 0        =        2 0 0 2 sin d sin d d 0

sin 0'cose'de do'=0 所以 P=0 所以不会发生辐射 8.一飞轮半径为R,并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q,设此分轮以恒定角 度0旋转，求辐射场。 解：使用柱坐标：由题意 Q Q0 P1= 2πR 1= 2π 所以 p-∫pfdl =pL(Rcospe,+Rsin )Rdo 2π Rcosoe do+ ,do-0 0 2π 0 所以没有电偶极辐射 Re,xRe。dp 4π =g0R.2x-e,=eo。 4π 所以 m=0, 所以没有磁偶极辐射飞轮没有辐射 9用电荷守恒定律，验证A和p的推迟势满足洛伦兹条件 解： V.A+100 c28 、,j,1- 2a+a4ro j(',t-与 1 2dV'+ 1 p(t- 2dv' r 24元8Jtr -2,a-克r

     =       2 0 0 sin cos d d 0 所以 P = 0  所以不会发生辐射 8. 一飞轮半径为 R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为 Q，设此分轮以恒定角 度  旋转，求辐射场。 解：使用柱坐标：由题意 R Q l   2 =   2 Q I L = 所以      R e R e Rd P rdl L x y L ( cos sin )     = + =   ＝     R e d Q  x 2 0 cos 2  ＋     R e d Q  y 2 0 sin 2  ＝0 所以没有电偶极辐射      d Q x dl I m r Re Re 2 4 2 0      =   =    ＝ z z e Q R R e Q   2 2 4       = 所以 m = 0   ， 所以没有磁偶极辐射飞轮没有辐射 9 用电荷守恒定律，验证 A 和  的推迟势满足洛伦兹条件 解： '] ) 2 ( ', 4 1 [ 1 '] ) 2 ( ', 4 [ 1 0 2 0 2   −   + − =       + dV r r x t c t dV r r J x t c t A               −     + −     = dV' r ) 2 r (x' , t 4 t 1 c 1 dV' r ) 2 r J(x' , t 4 0 2 0     ] ' ) 2 ) ( ' , 2 ( ' , [ 4 0 dV r r x t r t r J x t −   + − =           (c= 0 0 1   )