西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课后习题解答）第四章 电磁波的传播

第四章电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同偏振方向相同，频率分别为o+do和o-do的线偏振 平面波。它们都沿z轴方向传播 (1)求合成波。求证波的振幅不是常数。而是一个波。 (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解：(1) A=A.cos+d@z-(o+doh c A,=Aoea02-o-ojp） ade-)-un-o-dax c -20t =2cos(dkz-dot)e() 所以振幅为2A,[cos(dz-dot)]不是常数。而是一列波。 (2)相速度 t时刻 kz-@t=c t+△t时刻. k(z+△z)-ot+△t)=C1 k(z+△z)-o(t+△tkz-t k△z=o△t =,k 群速度 dk.z-do.t=c dk(z+△z)-dt+△t)=c ∴.dkz-dt=dk(z-△z)-dot+△t)

第四章 电磁波的传播 1．考虑两列振幅相同偏振方向相同，频率分别为  + d 和  − d 的线偏振 平面波。它们都沿 z 轴方向传播 (1) 求合成波。求证波的振幅不是常数。而是一个波。 (2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解：（1） ( )       − + + = z d t c d A A cos 1 0       ( ) d A A cos z d t 2 0 c       − = − −     ( ) ( )             − − −  +      − + + + = z d t c d z d t cos c d A A A cos 1 2 0                                      −              − = 2 2d z c 2d cos 2 2 t c 2 2A cos 0      ( ) ( )   i kz t 0 2A cos dkz d t e   − = −  所以振幅为 2A cos(dkz d t) 0 −   不是常数。而是一列波。 (2)相速度 t 时刻 1 kz −t = c t + t 时刻. ( ) ( ) 1 k z + z − t + t = c k(z + z)−(t + t)kz −t kz =t k v t z p  = =    群速度 1 dk  z − d  t = c ( ) ( ) 1 dk z + z - d t + t = c dkz − dt = dk(z -z)− d(t + t)

∴.dk△z=dot △Z △t 2.以平面电磁波以0=45°从真空入射到ε4=2的介质。电场强度垂直于入 射面。求反射系数和折射系数。 解：由 sin √4262 sin0" √4161 sin0162162r sin a" E15r sin450_√2 simo= 解得 0"=30° 由菲涅耳公式： E'vesine-ve:sino" E VE:sin0+E2sin0" cos0-rcoso rcos+rcos -VIcos45-cos30 √icos450+V2cos30° =1-5 1+V5 E” 2scos0 E √Gcos0+V6,cos01 2 1+√3 由定义：

dkz = dt dk d v t z j  = =   2．以平面电磁波以 0  = 45 从真空入射到  4 = 2 的介质。电场强度垂直于入 射面。求反射系数和折射系数。 解：由 1 1 2 2 sin sin       =  1r 2r 1 2 sin sin       = =  1 2 sin sin45 0 =    解得 0   = 30 由菲涅耳公式：         +  −  =  sin sin sin sin E E 1 2 1 2 cos cos 1r 2r cos cos 1r 2r o o 1cos45 2cos30 o o 1cos45 2cos30 1 3 1 3         −  = +  − = + − = + 1 3 2 cos cos 2 cos E E 1 2 1 + = +  =        由定义:

R= 5*n12 1-5) =1+5 -2-3 2+V3 T= S*n2 Ecos0”VE E cose √5 2 2 2 2 2√5 2+V3 3.有一可见平面波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射 波沿表面传播的相速度和进入空气的深度.设该波在空气中的波长为入。=6.28×10-cm,水 的折射率为n=1.33 解： 所以 V水=csin0” csin 60 2 2元 k气= k 0√ε气l气 n气

2 3 2 3 1 3 1 3 E E S* n S * n R 2 2 12 12 + − =         + − =  =  = 2 3 2 3 1 2 2 2 2 3 1 3 2 cos cos E E S* n S * n T 2 1 2 2 12 12 + =         + =   =  =     3．有一可见平面波由水入射到空气,入射角为 o 60 ,证明这时将会发生全反射,并求折射 波沿表面传播的相速度和进入空气的深度.设该波在空气中的波长为 6.28 10 cm5 o −  =  ,水 的折射率为 n =1.33 解: sin c sin v  =  水 所以 c c c o 2 3 sin 60 v sin = = =   水 气 气  2 k = 气 水 气 气 水 水 气 水 n n k k  = =      

K= 5 n*2π1sn20- (n水 6.28×10-5 1.33×2πsn260° 1.33 6.28×10-5 3.59 =1.78×10-cm 4.频率为o的电磁波在各向异性介质中传播时，若E,D,B,五仍按ep长.x-t 变化，但D不再与E平行（即D=￡E不成立），(1)证明k.B=k.D=B.D=B.E=0, 但一银灭≠0：②证期D=kE-长月 (3)证明能流与波矢k一般不在 同一方向上 解：(1)由 B=Bepl长x-ot小 7.B=0 得 v.epl长x-ot月=7.ep长x-ot小B。 =ik.B =0 ..k.B=0 由 V.D=Pr=0, D=Dexp长x-o 所以 7.6ep长x-oi0 =7.epkx-ot小b。 =ik.D =0

cm n n n o 5 5 2 2 5 2 2 1 1.78 10 3.59 6.28 10 1.33 1 1.33 2 sin 60 6.28 10 2 sin − − − − =   =        −  =         −  =      水 气 水 气 4．频率为  的电磁波在各向异性介质中传播时，若 E,D,B,H 仍按 expi(k  x −t) 变化，但 D 不再与 E 平行（即 D = E 不成立），（1）证明 k B = k D = BD = BE = 0 ， 但一般 k E  0 ; (2)证明 k E (k E)k 1 D 2 2 = −    ; (3)证明能流 S 与波矢 k 一般不在 同一方向上. 解: (1) 由 B = B0expi(k  x −t), B = 0 得 ( ( )) ( ) 0 ik B B0exp i k x t exp i k x t B0 = =     − =    −  k B = 0 由 D = f = 0 , D = D0expi(k  x −t), 所以 ( ( )) ( ) 0 ik D exp i k x t D D exp i k x t 0 0 = =  =    −     −  

..k.D=0 由 VxH=OD at xB=业 aD =-i@uD ..D=1VxB ou 因为 B=Boep长x-ot 所以 D-vx年e即k-o} =1i成xB=k×B ou ou .DB=0 由 VxE=-0B-ioB. Ot B--VxE=kxE 0 .BE=0 由 V.D=Pr=0, V.(oE+P)=0. V.(6E)--V.P 又由 E=Eepl长x-oi 8。ikE=-7p

k  D = 0 由 t D H    = , i D t D B   = −    = , B i D =   因为 B = B0expi(k  x −t), 所以  ( )     - k B ik B i B exp i k x t i D 0  =  = =   − DB = 0 由 i B t B E =     = − , E k E i B = −  =    BE = 0 由 D = f = 0 ,  ( 0E + P) = 0, ( 0E)= − P 又由 E = E0expi(k  x −t)  0 ik E = − P

.kE≠0 (2)由 B D Vx u Ot VxE--OB 由E,D,B,i按ep长x-ot 变化得 →i0,x→ikx t 所以有 Li派xB=-ioD… () ikxE=ioB… (2) 将(2)代入(1)得 d×[kx-o D品fx司 kx kxE -024 0k或-间 -阈 (3) §=E×i=E×B-1ExB Ho Ho 因为 B本xE 0 所以

k E  0 (2)由 t B D     =  t B E    = − 由 E,D,B,H 按 expi(k  x −t) 变化得 →  →    i , ik t  所以有       =  = − ik E i B (2) ik B i D (1) 1      将（2）代入（1）得 (ik E) i D i 1 ik 1    = −         ( ) ( ) ( )  k E (k E)k 1 k E k k E 1 k k E ik k E i 1 i i D 2 2 2 2 2 = −   − − = −   =   −  =         （3） 0 0 B 1 S E H E E B =  =  =    因为  E B  = k 所以

5=1E×xE =LEx长x动 400 =1E2-医间 Ek≠0，.S与k不共向 5.有两个频率和振幅都相等的平面单色波沿Z轴传播，一个波沿X方向偏振，另一个沿 Y方向偏振，但相位比前者超前工，求合成波的偏振反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个 线偏振？ :.E2+E,2=E02,.合成波为圆偏振 6.平面电磁波垂直射入到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳 热 解 E=Eoexp(-az)expli(kz-at)], H=1KxE, ⊙u ..S=ExH :5=Ex(x创 -zmfxGxF] ,] 1EB… (1) 2u E.〕医aE =eem-2a）

 ( ) kE (E k )E E k k S E = −  =    =  2 0 0 0 1 E 1 1 E       E  k  0,S与k不共向. 5．有两个频率和振幅都相等的平面单色波沿  轴传播,一个波沿  方向偏振,另一个沿  方向偏振,但相位比前者超前 2  ,求合成波的偏振.反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个 线偏振? E + E = E , 2 0 2 y 2 x 合成波为圆偏振. 6．平面电磁波垂直射入到金属表面上,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳 热. 解: E = E0exp(-z)expi(kz −t) , k E 1 H =   , S = E H  ( ) ( ) (1) 2 1 2 1 Re E 2 1 E 1 2 0 * 2 0 *      E E k E k S E k =     =     =    =   exp( 2 ) 2 1 2 1 Re 2 1 Re 2 1 2 0 2 * * E z E E J E E     = − =        =       

exp(-2cxp(-2c 4a a3=20uo, E= …(2) 由(1)=(2)，所以透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热 7.已知海水的41=1，σ=1s·m-1,试计算频率v为50,10°和10Hz的三种电磁波在海 水中的透入深度 解： 2 QuG 2 dl,-0=V50x2r×4rx10-×1 =72m, 2 dlw=V10°×2rx4rx10-×1 =0.5m 2 10xxx16mm 8.平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为日，求导电介质中电磁波的 相速度和衰减长度，若导电介质为金属，结果如何？ 提示：导电介质中的电磁波波矢量k=B+ia,α只有Z分量 解：由边值关系 k.x=k.x'=k".x"... (①) 有 kx=k=k,k,=k=k=0… (2)

2 0 0 2 0 0 2 0 4 1 exp( 2 ) 2 1 exp( 2 ) 2 1 E E z dz E z dz       = − = −     , (2) 4 2 , 2 1 2 0 2 0   E E         = = 由（1）=（2）, 所以透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热. 7．已知海水的 1 1 1, 1s m −  =  =  ,试计算频率ν为 50, 6 9 10 和10 Hz 的三种电磁波在海 水中的透入深度. 解:    2 1 = = , 72m 50 2 4 10 1 2 50 7 =     = = −     , 0.5m 10 2 4 10 1 2 r 10 6 7 6 =     = = −    16mm 10 2 4 10 1 2 r 10 9 7 9 =     = = −    8．平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上,入射角为 1 ,求导电介质中电磁波的 相速度和衰减长度,若导电介质为金属,结果如何? 提示:导电介质中的电磁波波矢量 k =  + i , 只有  分量. 解:由边值关系 k  x = k  x  = k  x   (1) 有 =  =  , =  =  = 0 (2) x x x y y y k k k k k k

设入射角为0，则有： ks =ksin=sin0... (3) c ,设折射波矢是 k=B+ia (4) 由(2)(3)两式有 k:=B+ia,=ks =sin0 c ky=By +iay=0 k=f2+iaz… (5) 可见，透射波矢k"中只有Z分量，因此： k"2=k2+k2+kg2=k2+B2-a2+2B2az… (6) 而 k2==+iou. (7) 于是，由⑥⑦两式得到关于B,和.方程组 。sn20+g2-a=02 (8) B.a-ou c 解得 a.2 o2e-0 并由⑤式得 B,=9sn0,B,=0,ax=a,=0 透入波的衰减长度为

设入射角为θ,则有: sin (3) c kx ksin   =  = ,设折射波矢是 k =  + i (4) 由（2）（3）两式有 (5) 0 sin c k z z z y y y x x x x          k i k i k i  = +  = + =  = + = = , 可见,透射波矢 k 中  只有  分量,因此: k k k k k i2 (6) z z 2 z 2 z 2 x 2 z 2 y 2 x  2 =  +  +  = +  − +    而 ( ) (7) 2 2 k 2 =   =  + i  于是，由⑥⑦两式得到关于  z和 z 方程组 sin (8) 2 2 2 2 2 2       + z − z = c 1 z z 2    = 解得 ( ) ( ) 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1         +         + −         = − −         +         + −         = −                     c c c c z z 并由⑤式得 sin , 0, 0 c x =   y =  x =  y =   透入波的衰减长度为

6=1=1 aa, 透入波的相速度为 0 Rek VB2+旺 若导电介质是金属，即有 0>1, 80 因而 ouo B2≈z≈2 B,2≈a'E=o1g20E<B, 2 因此 s1、 2 a,ouo 0-0= 20 Rek"BB. 这说明对于良导体，电磁波倾斜入射与垂直入射所得的结果是相近的。 9.无限长的矩形波导管，在=0处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭，求在z=- ∞到z=0这段管内可能存在的波模 解： V.E+k2E=0 .E=0) B=-1v×E 设E的径向分量为： u(x,y,z,t)=u(x,y,z)exp(-iot), V2u+k2u=0 代入u分离变量得： @2X+k2X=0 dx d2Y +k,2Y=0 d2y d'z +k.2Z=0 d2z

z 1 1    = = , 透入波的相速度为 2 z 2 x ph Rek v       + = =  = 若导电介质是金属,即有  1   , 因而 因此           2 Rek v 1 2 z ph z = = =  = = = 这说明对于良导体,电磁波倾斜入射与垂直入射所得的结果是相近的。 9．无限长的矩形波导管,在 z=0 处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭,求在 z=- ∞到 z=0 这段管内可能存在的波模. 解: ( )        = −     =   + = E i B E 0 E k E 0 2  设 E 的径向分量为： u k u 0 u(x, y, z, t) u(x, y, z)exp( i t), 2 2  + = = −  代入 u 分离变量得:          +  =  +  =  +  =  0 d d 0 d d 0 d d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x k z k y k x z 2 2 x z z 2 2 , 2            =   