第二章线性空间 线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部 分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数 学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意 义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本 质联系
第二章 线性空间 线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部 分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数 学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意 义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本 质联系
第二章线性空间 1 线性空间； 2 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量： 4、 内积空间； 5、 正交化法； 6、 自伴算子； 7、 等距变换； 8、 正规变换的本征值与本征向量； 9、 平方可积函数空间； 10、完备正交归一函数集； 11、多项式逼近 12、完备正交归一集的例子： 13、正交多项式
1、 线性空间； 2、 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量； 4、 内积空间； 5、 正交化法； 6、 自伴算子； 7、 等距变换； 8、 正规变换的本征值与本征向量； 9、 平方可积函数空间； 10、完备正交归一函数集； 11 、多项式逼近 12 、完备正交归一集的例子； 13、 正交多项式 第二章 线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 一、群 设G是一元素集，“”是某种定义在G上的运算，对任意 a∈G,b∈G有(ab)∈G这种运算称为封闭运算。 定义：群为由集合G和封闭运算“”所组成的系统，记为{G,} 它满足以下三个公理： (1) 运算满足结合律：(a·b)c=a(b·c) (2) 存在单位元素e,有e.a=a:e=a (3)对任意的a∈G存在逆元素al满足 a-a=a.a=e 注意：当群满足运算的交换率：a·b=b·☑ 则称为Abel群或交换群
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 一、群 设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意 a G b G , 有 (a b G ) 这种运算称为封闭运算。 定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G, 它满足以下三个公理： （1）运算满足结合律： ( ) ( ) a b c a b c = （2） 存在单位元素e，有 （3）对任意的 a G 存在逆元素 满足 1 1 a a a a e − − = = 注意：当群满足运算的交换率： a b b a = 则称为Abel群或交换群。 e a a e a = =1 a −
§2.1线性空间 §2线性空间 例： (1)整数的集合，以普通的加法做运算， 构成Abel群。 此时0是单位元素，n和一n互为逆元素。 (2)二维旋转矩阵 r(p) cosp sino -sing cosp (g∈-x,]) 相对矩阵乘法也是一个Abel群。r(O)是单位元。r(p)和r(-p) 互为逆元素。 例：以上是满足交换律的即Abel群，有没有不满足交换律的例子？ 三维旋转的集合是一个不可对易的连续群 先绕z轴转动90度，再绕y轴转动90度 一样？ 先绕y轴转动0度，再绕z轴转动90度
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：（1）整数的集合，以普通的加法做运算，构成Abel群。 此时0是单位元素，n 和－n互为逆元素。 （2）二维旋转矩阵 cos sin ( ) ,( [ , ]) sin cos r = − − 相对矩阵乘法也是一个Abel群。 r(0) 是单位元。 r( ) 和 r( ) − 互为逆元素。 例：以上是满足交换律的即Abel 群，有没有不满足交换律的例子？ 三维旋转的集合是一个不可对易的连续群 先绕z轴转动90度，再绕y轴转动90度 先绕y轴转动90度，再绕z轴转动90度 一样？
§2.1线性空间 §2线性空间 例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为 12 23 12 -F 2 3 2 3 2 3 =B 定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换 运算由右至左连续施行两次
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =I =F =D 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =A =C =B 2 1 3 1 3 2 3 2 1 定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次
§2.1线性空间 §2线性空间 二、域 域是满足以下三条公理的系统，记为 {F,+} (1)系统 {F,+}是一个具有单位元素0的Abel群； (2)设F'是除x=0以外的所有x∈F的集合， 则系统{F,}是一个具有单位元素e的Abel群； (3)相对于十，满足分配率，即 a.(b+c)=a.b+a.c
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 二、域 域是满足以下三条公理的系统，记为 F, , + （1）系统 是一个具有单位元素0的Abel群； （2）设 是除 以外的所有 的集合， 则系统 是一个具有单位元素e的Abel群； （3）相对于＋，满足分配率，即 F,+ F x = 0 x F F , a b c a b a c + = + ( )
§2.1线性空间 §2线性空间 例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的 加法和乘法都构成了域。 有了域的概念我们可以定义线性空间 三、线性空间 (1)在非空集合V内的任一对元素间定义运算（十），使 {V,+}构成Abel群。（单位元素用0表示，x的逆元素用一x表示） 满足： x+(y+)=(x+y)+2 结合律 x+0=0+x=x 零元素 x+(-x)=(-x)+x=0 负元素 x+y=y+x 交换律
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的 加法和乘法都构成了域。 有了域的概念我们可以定义线性空间 （1）在非空集合V内的任一对元素间定义运算（＋），使 V,+ 构成Abel群。(单位元素用0表示，x的逆元素用－x表示) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 x y z x y z x x x x x x x x y y x + + = + + + = + = + − = − + = + = + 结合律 交换律 零元素 负元素 满足： 三、线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 (2)在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运 算，对F中任意数C与V中任一元素x,都可由该运算唯一决 定V中的一个元素，记为y=Cx,数乘满足： 1x=x 数1的数乘 (cβ)x=c(Bx) 结合律 (a+B)x=ax+Bx 左分配律 a(x+y)=ax+ay 右分配律 则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V)。 (以上8个公式为线性空间的8个公理)
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x y x y = = + = + + = + 则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理） （2）在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运 算，对F中任意数 与V中任一元素 ,都可由该运算唯一决 定V中的一个元素y, 记为 y x = ,数乘满足： x 左分配律 右分配律 结合律 数1的数乘
§2.1线性空间 §2线性空间 例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数(552，…，5n) 为元素构成的集合，其中ξ∈F,定义向量加法 x+y=(5+7,52+72,…5n+7n) 其中：x=(51,52,…,5n),y=(7,72,…,7n) 向量数乘：Cx=(C51,C52,…,C5n) 零向量：0=(0,0，…，0)X的逆元：一x=(-51,一52，…，-5n） 可以证明，这个维向量空间是一个线性空间，记为R” 例：所有的复数的集合也是一个复线性空间
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数 为元素构成的集合，其中 ，定义向量加法 1 2 ( , , , ) n i F 1 1 2 2 ( , , ) n n x y + = + + + 1 2 ( , , , ) n 其中： x = 1 2 , ( , , , ) n y = 向量数乘： 1 2 ( , , , ) n x = 零向量： 0 (0,0, ,0) = x 的逆元： 1 2 ( , , , ) n − = − − − x 可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为 n R 例：所有的复数的集合也是一个复线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 例n次多项式的全体 Q[x]n={p=anx”+an-x”+.+ax +4|an,an1,a1,a∈R,且an≠0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。 Q0p=0x”+0x-+…+0x+0E2[x]n ∴Q[x]n对多项式的加法与数乘运算不封闭
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 1 1 1 0 1 1 0 1 [ ] ... | , ,..., , , 0} 0 0 0 ... 0 0 [ ] [ ] . n n n n n n n n n n n n n Q x p a x a x a x a a a a a R a p x x x Q x Q x − − − − = = + + + + = + + + + Q 次多项式的全体 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构 成向量空间。 对多项式的加法与数乘运算 例 不封闭