第五章积分方程 积分方程是研究数学其它学科和各种物理问题 的一个重要数学工具。它在弹性介质理论和流 体力学中应用很广，也常见于电磁场理论物理 中。本节将介绍求解积分方程的理论和一般方 法。 2121
2022/11/24 2 第五章 积分方程 积分方程是研究数学其它学科和各种物理问题 的一个重要数学工具。它在弹性介质理论和流 体力学中应用很广，也常见于电磁场理论物理 中。本节将介绍求解积分方程的理论和一般方 法
第五章积分方程 基本概念； 2、 迭代法； 3、 算子的范数； 4、 巴拿赫空间中的迭代法： 5、 非线性方程的迭代法； 6、 可分核； 7、 普遍的有限秩； 8、 全连续算子； 9、 全连续厄米算子； 10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理； 11、积分方程的数值计算； 川12g
2022/11/24 3 1、 基本概念； 2、 迭代法； 3、 算子的范数； 4、 巴拿赫空间中的迭代法； 5、 非线性方程的迭代法； 6、 可分核； 7、 普遍的有限秩； 8、 全连续算子； 9、 全连续厄米算子； 10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理； 11 、积分方程的数值计算； 第五章 积分方程
§5.1基本概念 §5积分方程法 一、 积分方程的定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为 积分方程。 般的线性积分方程，可写为如下的形式 a(x)f(x)-k(x.y)f(y)dy=g(x) 其中，a(x)和g(x)已知。f(x)是未知函数，k(x,y)被称为 积分方程的核，也是已知函数。入是常数因子（经常起一 本征值的作用) 1121
2022/11/24 4 § 5.1 基本概念 § 5 积分方程法 一、积分方程的定义 在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为 积分方程。 一般的线性积分方程，可写为如下的形式 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) b a x f x k x y f y dy g x − = 其中， ( ) x 和 g x( ) 已知。 f x( ) 是未知函数， k x y ( , ) 积分方程的核，也是已知函数。 被称为 本征值的作用） 是常数因子（经常起一
§5.1基本概念 §5积分方程法 二、积分方程的分类 1)按照积分上下限 积分限为常数的，称为Fredholm弗雷德霍姆方程。 积分限中有一个是变数的，称为volterra伏特拉方程 2)按照未知函数是否在积分内 若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。 若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程 a(x)=0 第一类 a(x)=1 第二类 3)按照积分的核进行分类 积分方程的核，k(x,y)是x,y)的连续函数。或平方可积，称核 为非奇性核或fredholm核。 此外，还有弱奇性核及Cauchy奇性核
若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。 若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。 积分限为常数的，称为Fredholm 弗雷德霍姆方程。 积分限中有一个是变数的，称为volterra伏特拉方程 2022/11/24 5 § 5.1 基本概念 § 5 积分方程法 积分方程的核， k x y ( , ) 是 的连续函数。或平方可积，称核 为非奇性核或fredholm核。 此外，还有弱奇性核及Cauchy奇性核 （x y, ） 二、积分方程的分类 1）按照积分上下限 2）按照未知函数是否在积分内 ( ) 0 x = 第一 类 ( ) 1 x = 第二 类 3）按照积分的核进行分类
§5.1基本概念 §5积分方程法 三、积分方程的算子形式 积分方程也可采用算符的形式来表示。即 f=8+f 其中K为积分算子 KM=∫k(x,y)fy)d 若算子方程(I-K)f=g的逆存在，则问题在形式上就解决 了。此时 f=(I-K)g 212g
2022/11/24 6 § 5.1 基本概念 三、积分方程的算子形式 积分方程也可采用算符的形式来表示。即 f g Kf = + 其中K为积分算子 ( , ) ( ) b a Kf k x y f y dy = 若算子方程 的逆存在，则问题在形式上就解决 了。此时 ( ) I K f g − = 1 f I K g ( )− = − § 5 积分方程法
§5.2退化核的方程的解法 §5积分方程法 如果积分方程的核具有如下的形式 k(x,y)=∑O,(x4,y) 则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等 的方法来求解。 以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。 例.求解积分方程 f(x)-if(x+xy)f()dv=x (1) 解：令A=yro冲B=o (2) 则式1)可以变为 f(x)=x+Ax+入Bx2 (3) 1121
2022/11/24 7 §5. 2 退化核的方程的解法 如果积分方程的核具有如下的形式 1 ( , ) ( ) ( ) n i i i k x y x y = = 则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等 的方法来求解。 以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。 例. 求解积分方程 1 2 2 0 f x xy x y f y dy x ( ) ( ) ( ) − + = 解：令 1 2 0 A y f y dy = ( ) 1 0 B yf y dy = ( ) 则式(1)可以变为 (1) 2 f x x Ax Bx ( ) = + + § 5 积分方程法 (2) (3)
§5.2退化核的方程的解法 §5积分方程法 显然，采用迭代的方法，将式3)代入(2)，得 11 B= 21+42B 这个方程组的解是 60+元 80 240-120元-元2 240-120入-元2 代入式3)就可以得到积分方程的解为 f(x)= (240-60元)x+80x2 240-120元-元2 注意有两个2的值可使上式的解变为无穷大。当2取某些特 殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的入值称为积分方程 的本征值，而相应的非零解称作本征函数
2022/11/24 8 § 5 积分方程法 显然，采用迭代的方法，将式(3)代入(2)，得 1 1 1 4 4 5 1 1 1 B 3 3 4 A A B A B = + + = + + 这个方程组的解是 2 60 240 120 A + = − − 2 80 240 120 B = − − 代入式(3) 就可以得到积分方程的解为 2 2 (240 60 ) 80 ( ) 240 120 x x f x − + = − − 注意有两个 的值可使上式的解变为无穷大。当 取某些特 殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的 值称为积分方程 的本征值，而相应的非零解称作本征函数。 §5. 2 退化核的方程的解法
§5.2退化核的方程的解法 §5积分方程法 从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问 题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果 退化核有N项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同。 既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的， 所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性 质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人 们称为弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。 定理1.如果入不是本征值，则对于任何的非齐次项g(x),非 齐次方程f(x)2「k(x,y)f(y)=g(x) 有唯一解； 若入是本征值，则齐次方程 f(x)-k(x,y)f(y)dy =0 至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于 的，线性独立的本征函数只有一个
2022/11/24 9 定理1. 如果 § 5 积分方程法 齐次方程 有唯一解； 若 是本征值，则齐次方程 从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问 题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果 退化核有N项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同。 既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的， 所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性 质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人 们称为弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。 不是本征值，则对于任何的非齐次项 g x( ) ,非 ( ) ( , ) ( ) ( ) b a f x k x y f y dy g x − = ( ) ( , ) ( ) 0 b a f x k x y f y dy − = 至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于 的，线性独立的本征函数只有一个。 §5. 2 退化核的方程的解法
§5.2退化核的方程的解法 §5积分方程法 定理2.如果2不是一个本征值，那么入也不是转置方程 f(x)-A["k(x.y)f(v)dy=g(x) 的一个本征值；如果入是一个本征值，则见也是转置方程的一 个本征值，即 f(x)-Ak(x,y)f(y)dy=0 至少有一个平凡解。 定理3.如果入是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件 是：g(x)与转置齐次方程的一切解正交，即 ∫p(x)g(x)d=0 其中p(x)满足式f(x)-入k(x,y)f(y)=0
2022/11/24 10 定理3. 如果 是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件 是： 与转置齐次方程的一切解正交，即 定理2. 如果 不是一个本征值，那么 也不是转置方程 § 5 积分方程法 至少有一个平凡解。 的一个本征值；如果 是一个本征值，则 也是转置方程的一 个本征值，即 ( ) ( , ) ( ) ( ) b a f x k x y f y dy g x − = ( ) ( ) 0 b a x g x dx = 其中 满足式 g x( ) ( ) ( , ) ( ) 0 b a f x k x y f y dy − = ( ) x ( ) ( , ) ( ) 0 b a f x k x y f y dy − = §5. 2 退化核的方程的解法
§5.2退化核的方程的解法 §5积分方程法 事实上，定理2是这样一个事实的模拟， 即矩阵和它的转置 具有同样的本征值。如果我们以p(x) 乘以 f(x)-k(x,y)f(y)dy =g(x) 并对x积分，便可得定理3的正交关系。 需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异 的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。 对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为 微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。 121
2022/11/24 11 § 5 积分方程法 并对x 积分，便可得定理3的正交关系。 ( ) ( , ) ( ) ( ) b a f x k x y f y dy g x − = ( ) x 事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置 具有同样的本征值。如果我们以 乘以 需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异 的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。 对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为 微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。 §5. 2 退化核的方程的解法
