非线性物理：混沌物理 受驱Benard,对流实验： ·通过同步与锁模走向混沌的例子有许多，鉴于实际测量的复杂性 ，完美显示混沌进程需要精细设计与巧妙技术。 以实验首次证明倍周期分岔闻名的利布沙伯技高一筹。他们采用 水银来做对流实验，水银是导体，可以加入电流驱动第二振子。 实验结果清晰地给出了振荡锁模的阿诺德舌头，以及进入混沌的 准周期道路。 下面看看实验结果：
非线性物理：混沌物理 受驱Benard对流实验： • 通过同步与锁模走向混沌的例子有许多，鉴于实际测量的复杂性 ，完美显示混沌进程需要精细设计与巧妙技术。 • 以实验首次证明倍周期分岔闻名的利布沙伯技高一筹。他们采用 水银来做对流实验，水银是导体，可以加入电流驱动第二振子。 • 实验结果清晰地给出了振荡锁模的阿诺德舌头，以及进入混沌的 准周期道路。 • 下面看看实验结果：
非线性物理：混沌物理 s c 明显的锁模行为发生在激励 12 1 29 34 需 需 电流升高的过程中。 201 混沌临界点不是水平线。 (毫安) 0G=[1,1,1,小 10 1 子 子 1+ 3 1 + 1+ V5-1 0 s =0.618033985 0.3 0.5 0.7 0.9 2 频率比D80/0ExT R=4.09R 0s=[2,2,2,]=V√2-1=
非线性物理：混沌物理 • 明显的锁模行为发生在激励 电流升高的过程中。 • 混沌临界点不是水平线。 1 1 1 1 1 1 [1,1,1, ] G 0.618033985 2 5 1 S [2,2,2,] 2 1 R Rc 4.09
非线性物理：混沌物理 (db) 当驱动电流低于临界电流时，信号的功 -20 率谱主要由两个基频线性组合得到的少 (a) 数谱峰；当达到临界驱动电流时，组合 得谱峰数便很快增加起来，尤其是低频 (b 分量的密度越来越多；而当超过临界电 流时，高频逐步地为噪声所替代，这是 进入了混沌的特征。 (c) (a)为16.9mA,低于临界电流；(b)为 80 17.4mA,最接近临界电流；(c)为 0.5 频率(Hz) 21.5mA,高于临界电流
非线性物理：混沌物理 • 当驱动电流低于临界电流时，信号的功 率谱主要由两个基频线性组合得到的少 数谱峰；当达到临界驱动电流时，组合 得谱峰数便很快增加起来，尤其是低频 分量的密度越来越多；而当超过临界电 流时，高频逐步地为噪声所替代，这是 进入了混沌的特征。 • (a)为16.9mA，低于临界电流；(b)为 17.4mA，最接近临界电流；(c)为 21.5mA，高于临界电流
非线性物理：混沌物理 电子混沌电路： 采用电子电路容易实现各类非线性动力学体系，且电子测量比其 它物理量测量更为方便，如果采用示波器可以直接获得被测量数 据的图形，如果将数据采用计算机处理，可以计算出各类非线性 动力学参数。 因此电子混沌电路在混沌研究中占有重要地位。 电子混沌电路基本上可以分成三类：一是外激励的非线性LC谐振 电路；二类是模拟微分方程的电子电路；三是实际动力体系的电 子模拟电路
非线性物理：混沌物理 电子混沌电路： • 采用电子电路容易实现各类非线性动力学体系，且电子测量比其 它物理量测量更为方便，如果采用示波器可以直接获得被测量数 据的图形，如果将数据采用计算机处理，可以计算出各类非线性 动力学参数。 • 因此电子混沌电路在混沌研究中占有重要地位。 • 电子混沌电路基本上可以分成三类：一是外激励的非线性LC谐振 电路；二类是模拟微分方程的电子电路；三是实际动力体系的电 子模拟电路
非线性物理：混沌物理 非线性缸C谐振电路： ·外激励的非线性LC谐振电路中，通常使用一些非线性电子元件， 即非线性电阻、非线性电容、非线性电感等。考虑单结晶体管混 沌电路。 ·在使用单结晶体管作为非线性电阻时，电路示意图很简单： m 40c0s(2x) R1
非线性物理：混沌物理 非线性LC谐振电路 ： • 外激励的非线性LC谐振电路中，通常使用一些非线性电子元件， 即非线性电阻、非线性电容、非线性电感等。考虑单结晶体管混 沌电路。 • 在使用单结晶体管作为非线性电阻时，电路示意图很简单：
非线性物理：混沌物理 。 电路方程如下： igiuc=cos( dt Cduc=in dt 些+c +uc uo cos(27fi+0) ·单结晶体管的V-关系g近似表示为： 4R2≈8（)=a,+a,iL+ag2+a,记 可以监测电容两端电压uc(状态量)与可变参量uf之间的关系 来判断混沌进程
非线性物理：混沌物理 • 电路方程如下： L C L i dt du C R i gi u u ( ft+ dt di L cos 2 ) 1 L L C 0 cos 2 ) 2 1 C 0 2 u u ( ft+ dt du g C dt du R C dt d u L C C C • 单结晶体管的V-I关系 g 近似表示为： 3 3 L 2 R2 L 0 1 L 2 L u g(i ) a a i a gi a i • 可以监测电容两端电压 uC (状态量)与可变参量 u0、f 之间的关系 来判断混沌进程
非线性物理：混沌物理 实验取L=30mlH,C=0.07μf,R=1252,R=33.8k2,E。=28V,单结晶 体管BT33D。 取不同o可得系统不同运动状态：①当u,=0时，电路处于单 稳状态；②固定w,改变f使其逐步接近电路固有频率，电路出 现突变的锁频状态；③固定f)将山增加，在一定范围内出现倍 周期分岔与混沌。但不同f下出现倍周期分岔与混沌范围不同， 过程也不一样；④当f远离固有共振时，随山升高电路出现倍周 期分岔一混沌一反倍周期过程；⑤山值进一步升高，倍周期分岔 与混沌现象消失，电路表现出一般非线性电路所共有的畸变波形
非线性物理：混沌物理 • 实验取L=30mH, C=0.07F, R1=125, R3=33.8k, Ec=28V, 单结晶 体管BT33D。 • 取不同u0、f可得系统不同运动状态：① 当u0=0时，电路处于单 稳状态；② 固定u0，改变 f 使其逐步接近电路固有频率，电路出 现突变的锁频状态；③ 固定 f，将u0增加，在一定范围内出现倍 周期分岔与混沌。但不同 f 下出现倍周期分岔与混沌范围不同， 过程也不一样；④ 当 f 远离固有共振时，随u0升高电路出现倍周 期分岔－混沌－反倍周期过程；⑤ u0值进一步升高，倍周期分岔 与混沌现象消失，电路表现出一般非线性电路所共有的畸变波形
非线性物理：混沌物理 混沌特性的模拟电子电路： 能产生混沌行为的典型非线性常微分方程是由三个独立变量的一 阶微分方程组成。 可以将产生混沌行为的非线性微分方程写成一个三阶方程： x=ax+af()+ax+aaf (x)+asx+af(x)+a ·其中x)为非线性函数，由不同电子元件的伏安特性产生。 一个三阶方程描述的系统有三个李雅普诺夫指数，它是否具有混 沌行为要求其中至少有一个是正值，且散值之和非正。下表表示 一些对应的方程
非线性物理：混沌物理 混沌特性的模拟电子电路 ： • 能产生混沌行为的典型非线性常微分方程是由三个独立变量的一 阶微分方程组成。 • 可以将产生混沌行为的非线性微分方程写成一个三阶方程： 1 2 3 4 5 6 7 x a x a f (x) a x a f (x) a x a f (x) a • 其中f(x)为非线性函数，由不同电子元件的伏安特性产生。 • 一个三阶方程描述的系统有三个李雅普诺夫指数，它是否具有混 沌行为要求其中至少有一个是正值，且散值之和非正。下表表示 一些对应的方程
非线性物理：混沌物理 微分方程 初始条件 李雅普诺夫指数 (x,元，求) (以e为底) x=-20017:±x7-x 0,0.±1) 0.055,0.-2.072 ￥=-2.8x±x+x2 (千0.5,0.±1) 0.002.0.-0.002 =0.44t-2x±(x2-1) (0,0,0) 0.105,0,-0.545 x=-0.5-±x±x2 (0,±1,0) 0.094.0,-0.594 =-2±(-1) ±(-1.-1,1) 0.003,0,-0.003 ￥=-0.6x-x±-10 (0.0,0) 0.036,0,-0.636 =-0.3求-0.3x-D(x)+1 (0.0,0) 0.042,0,-0.342 ￥=0.3元-0.3x-R(x)-1 (0,0,0) 0.042,0,-0.342 x=-2.9x±(0.7x-D(x)+1) ±(0,0.5,0.5) 0.003,0.-0.003 x=-2.9x±(0.7x-R(x)-1) ±(0.0.5，-0.5) 0.003.0.-0.003 戈=0.5求--x+sgn(x) (0,1,0) 0.152.0,-0.652 =-0.5+x-sgn(x) (0.1,0) 0.601,0,-1.101
非线性物理：混沌物理
非线性物理：混沌物理 x=-0.7-元-x+H(x) (0.1.0) 0.085.0.-0.785 x=-0.4x-x-x+2S(x) (0.1,0) 0.072.0,-0.472 =-0.4r-x+x-2S(x) (0.1,0) 0.091,0,-0.491 =-0.19x+2tanh(x) (0.1,0) 0.128,0,-0.318 =-0.19+x-2tanh(x) (0.1,0) 0.067.0.-0.257 =-3.7x±(x-x3) (0.±0.5,0) 0.002.0.-0.002 ￥=-0.6求+2.8x-x3-x (0,1,0) 0.034,0,-0.634 ￥=0.7代-+x-x3 (0.1.0) 0.138.0,-0.838 =-0.35求--x+x3 (0.1.0) 0.082.0,-0.432 x=-0.2x-x±sin(x) (0,1,0) 0.123.0,-0.323
非线性物理：混沌物理