线段与角计算中的思想方法
线段与角计算中的思想方法
在计算线段或角的问题中,除了常见的能直接计算的问题外,还常会出 现某个特定线段或角与其它线段或角的大小无关的情况,这样的问题需要借 助某些数学思想或方法予以解决. 另外有些几何图形是不确定的,需要运用分类讨论的思想解决 下面通过几道例题来学习计算线段与角中的思想方法
在计算线段或角的问题中，除了常见的能直接计算的问题外，还常会出 现某个特定线段或角与其它线段或角的大小无关的情况，这样的问题需要借 助某些数学思想或方法予以解决. 另外有些几何图形是不确定的，需要运用分类讨论的思想解决. 下面通过几道例题来学习计算线段与角中的思想方法
类型一:方程思想在线段或角的计算中的应用 如图,线段AB上有两点MN,点M将线段AB分成2:3两部分,点N将线段 AB分成4:1两部分,且MN=8cm,则线段AM、NB的长各是多少?
类型一：方程思想在线段或角的计算中的应用 如图，线段AB上有两点M、N，点M将线段AB分成2：3两部分，点N将线段 AB分成4：1两部分，且MN＝8cm，则线段AM、NB的长各是多少？ M N A B
如图,线段AB上有两点M、N,点M将线段AB分成2:3两部分,点N将线段 AB分成4:1两部分,且MN=8cm,则线段AM、NB的长各是多少? 2 3 NB-NBEMA 2x-%=8
解：依题意，设 AM＝2x，那么 BM＝3x，AB＝5x. 由 AN：NB＝4：1，得 AN＝ 4 5 AB＝4x，BN＝ 1 5 AB＝x， 即有 4x－2x＝8，解得 x＝4. 所以 AM＝2x＝2×4＝8cm 则 AM、BN 的长分别为 8cm、4cm. 如图，线段AB上有两点M、N，点M将线段AB分成2：3两部分，点N将线段 AB分成4：1两部分，且MN＝8cm，则线段AM、NB的长各是多少？ M N A B
类型二:分类讨论思想在线段或角的计算中的应用 已知∠AOB=90°,OC为一条射线,OM,ON分别平分∠BOC,∠AOC,求 ∠MON的度数 A 4 C M
类型二：分类讨论思想在线段或角的计算中的应用 已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OM，ON分别平分∠BOC，∠AOC，求 ∠MON的度数. B C N A O M B C N A O M B A O C C
已知∠AOB=90°,OC为一条射线,OM,ON分别平分∠BOC,∠AOC,求 ∠MON的度数
解：①当 OC 在∠AOB 内部时，如图①， ∵ON 平分∠AOC ∴∠CON＝ 1 2 ∠AOC. 同理∠MOC＝ 1 2 ∠COB. ∴∠MON＝∠CON＋∠COM ＝ 1 2 ∠AOC＋ 1 2 ∠COB＝ 1 2 ∠AOB 又∵∠AOB＝90°，∴∠MON＝45°. 已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OM，ON分别平分∠BOC，∠AOC，求 ∠MON的度数. B C N A O M
已知∠AOB=90°,OC为一条射线,OM,ON分别平分∠BOC,∠AOC,求 ∠MON的度数 B
②当 OC 在∠AOB 外部时，如图 2，若∠BOC 为锐角. ∵OM 平分∠BOC， ∴∠MOC＝ 1 2 ∠BOC. 同理∠NOC＝ 1 2 ∠AOC. ∵∠AOB＝90° ∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝ 1 2 ∠AOC－ 1 2 ∠BOC ＝ 1 2 (∠AOC－∠BOC)＝ 1 2 ∠AOB＝45°. 已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OM，ON分别平分∠BOC，∠AOC，求 ∠MON的度数. B C N A O M B C N A O M
类型三:整体思想及从特殊到一般的思想 将一副三角板如图所示摆放,∠AOB=60°,∠COD=45°,OM平分∠AOB, ON平分∠COB (1)∠MON= (2)将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置,求∠MON (3)将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置,求∠MON
类型三：整体思想及从特殊到一般的思想 将一副三角板如图所示摆放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOB ， ON平分∠COB ⑴∠MON＝ ; ⑵将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，求∠MON; ⑶将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，求∠MON. N C A O B D M N C A O B D M N C A O B D M
将一副三角板如图所示摆放,∠AOB=60°,∠COD=45°,OM平分∠AOB (1)∠MON=525°
将一副三角板如图所示摆放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOB ⑴∠MON＝ 52.5° ; N C A O B D M 2 1
(2)将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置,求∠MON
⑵将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，求∠MON; 3 2 1 N C A O B D M 解：由角平分线定义得∠1＝ 60 3 2 − ，∠2＝ 45 3 2 − ， ∴∠MON＝∠1＋∠2＋∠3 ＝ 60 3 45 3 3 2 2 − − + + ＝ 105 2 3 3 2 − + ＝ 105 3 3 2 －∠ + 105 = 2 ＝52.5°