D0I:10.13374/i.issn1001053x.1993.06.003 第15卷第6期 北京科·技大学学报 Vol.15 No.6 1993年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1993 电磁铸造系统稳定性的数值分析+ 周土平*韩至成*曲英金山同* 摘要：采用互感耦合模型对电磁铸造中的液柱高度和弯液面形状进行了数值计算。分析了液柱 高度和弯液面形状对系统稳定性的影响。考察了电压和频率对系统电流的影响规律，计算结果表 明、在其他工艺条件不变时，只要电压或频率的变化量小于土2%，系统是稳定的 关键词：数值计算，稳定性，磁场/电磁铸造 中图分类号：TG292,0441.3 The Numerical Analysis of Stability of Electromagnetic Casting System Zhou Tuping*Han Zhicheng**Qu Ying*Jin Shantong* ABSTRACT:The height and shape of the electromagnetically supported column of molten me- tal in electromagnetic caster was calculated by the coupled circuit method.The influence of melt shape on system stability was,discussed.Results were presented showing the effect of current and frepuency on the shape of meniscus and the effect of voltage and frequency on the cur- rent.With variation of voltage or frequency being within +2.5%(other operating parameters held unchanged),the variation of current is within +2%,and the process of electromagnetic cast- ing is in stable condition. KEY WORDS:numerical computation stability magnetic field /electromagnetic casting 电磁铸造（简称EMC)技术自60年代问世以来引起了人们的广泛注意并获得迅速发 展。目前，铝合金的电磁铸造已大规模投人工业性生产，铜的电磁铸造正处于研究开发阶 段，国外已有人着手钢电磁铸造研究。 电磁铸造过程复杂，人工操作十分困难，需采用计算机在线控制以增加其稳定性。电磁 铸造系统稳定性取决丁液柱的成形特性，故需找出各工艺参数对液柱成形特性的影响关系以 对系统进行有效控制。 液柱侧面液固线处的金属液载的条件为： Pu=pgh (1) 1993-06-15收稿第-一作者：男、3引岁，博士 +有色总公司重点项目 ◆北京科技大学冶金系(Department of Metallurgy.STB) *幸北方工业大学(North China University of Technology)
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 二 】玉叉 电磁铸造 系 统稳定性 的数值分析 周 土 平 关 韩 至 成 料 曲 英 ’ 金 山同 摘要 采 用互 感辐合模 型 对电磁 铸造 中的 液 柱 高度 和 弯液 面形 状进行 了 数 值计 算 。 分 析了 液柱 高度和 弯液 面形 状对系 统稳定性 的影 响 。 考察 了 电压 和 频率对系 统 电 流 的影 响规 律 。 计算结果表 明 ， 在 其他工艺条件 不 变 时 ， 只 要 电压 或频率 的变化量小 于 士 ， 系 统是稳定 的 。 关键词 数值计算 ， 稳定性 ， 磁场 电磁 铸造 中图分类号 ， 。 科 皿 眼 月口 广 够 此 。 沈 妞 时 七 优 划 、 弱司 代治 让 门 伍戈 正 瓜双 叫 盯 代爪 介明 士 路 ， ℃ 初 士 ， 璐 。 沈 】〕 ， ， ’ 呱 姗 电磁铸造 简称 技 术 自 年 代 问世 以 来 引 起 了 人 们 的 广 泛 注 意 并 获 得 迅 速 发 展 。 目前 ， 铝 合金 的 电磁 铸造 已 大规模投 人 工 业 性 生 产 ， 铜 的 电 磁 铸 造 正 处于 研 究 开 发 阶 段 ， 国外 已 有 人着 手 钢 电磁铸造研究 。 电磁铸造过程 复 杂 ， 人 工操 作十分 困难 ， 需采 用计算机在 线控 制 以增 加其稳定 性 。 电滋 铸造 系 统稳定性 取 决于 液柱 的 成形 特性 ， 故需 找 出各工 艺 参 数对液柱 成形 特 性 的影 响关系以 对系 统进 行有 效 控 制 。 液 柱侧面 液 固线处的金 属 液 载 的条件 为 几 男 一 肠 一 收 稿 第 一 作 者 十 有 色总 公 司重点项 目 率 北京 科技 大 学 冶 金 系 ℃ 北方 工 业 大 学 〔 。 比 为 男 ， 岁 ， 博士 飞 ， 】 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1993．06．003
.556 北京科技大学学报 1993年No.6 式中P为电磁压力，p为金属熔体密度，g为重力加速度，h为液柱高度. ①若Pm>Pgh,金属熔体被向内压缩、呈“山坡形”，所得铸锭的横截面将减小； ②若Pm<Pgh,金属熔体向外鼓出，铸锭横截面将增大。 要使所得铸件截面均匀，须使铸锭周边凝固线附近的液柱保持垂直状态。 本文用互感耦合模型研究圆锭系统液柱成形特性。 1数学模型 用互感耦合模型进行计算时仅需考虑体系内对磁场有贡献的部分（有电流存在的区 域)。在电磁铸造条件下，电源频率一般为2000~3000Hz,电磁场的穿透深度约4~6mm, 因而只需对表面层厚度约为20m的区域进行求解即可。图1为液柱形状计算的网络示意 图。将感应线圈、所蔽罩、固态锭和未凝固液态金属的表面剖分成一系列相互平行的圆形线 框（总数为n)。根据Ohm定律对每个线框建立电压平衡方程式，可得下列矩阵方程2.3： [Z][]=[U] (2) 其中，[Z]各线框电阻、自感和互感组成的 n×n阶满秩阻抗矩阵； [I]各线框电流复向量组成的n×1阶 矩阵； [U)各线框电压复向量组成的n×I阶 矩阵。 各矩阵中元素分别为： Z=R,+jωL (3) Z.=jωMk(i≠k) (4) 1,=i (5) 图】计算液柱形状的网格图 UI=u, (6) (8)感应线國 (b)屏蔽罩 (c)固态锭 (d)液柱 R.L,分别为i线框的电阻和自感、M,k为i和k线 Fig.I Deformed mesh used in computation 框间的互感，广为复数单位，ω为电源角频率。i,和 of meniscus shane ⅱ，分别为通过i线框的电流复向量和外施在i线框上的电压复向量 L,=u,a,1n8a-1.75) (7) M,-HoVu,a (2/A-k)D(k)-(2/k)E(k) (8) u,为真空磁导率，4、“k分别为i和k线框的半径，r,为i线框横截面的当量半径
匕 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 式 中 为电磁压 力 ， 为金 属 熔 体密 度 ， 为重 力加 速 度 ， 为液 柱 高度 。 ① 若 ， 金 属熔 体被 向 内压缩 ， 呈 “ 山 坡形 ” ， 所 得 铸锭 的横截 面将减小 ② 若 。 ， 金 属熔体 向外鼓 出 ， 铸锭 横截 面将增 大 。 要 使 所得铸件 截 面 均 匀 ， 须使 铸锭 周边凝 固线 附 近 的 液柱保 持 垂 直状 态 。 本文 用 互感藕 合模 型 研究 圆锭 系统液 柱成形 特 性 。 数学模型 用 互 感 藕 合模 型 进 行 计 算 时 仅 需 考 虑 体 系 内 对 磁 场 有 贡 献 的 部 分 有 电 流 存 在 的 区 域 。 在 电 磁铸造 条件 下 ， 电源频 率一般 为 一 以刃 ， 电磁 场 的 穿透 深 度约 一 ’ ， 因而 只需 对表 面 层 厚度 约 为 的 区 域 进 行 求 解 即 可 。 图 为 液 柱 形 状 计算 的 网络 示 意 图 。 将感 应线 圈 、 屏 蔽罩 、 固态锭 和 未凝 固 液态 金属 的表 面剖分成一 系列相 互 平 行 的圆形线 框 总数 为 。 根据 定 律 对每 个线框 建立 电压 平衡方程 式 ， 可得 下列 矩 阵方 程 冲 ， 〕 卜 【 』【 【 广【 ， ， 〔 【二 ， 节口亡二 亡 〔二 二 二 〔 二 二口 〔了 ， 〔 尸口「 口巨门 巨巨日 「仁 厂日 雪窿 卜卜 计算液柱形状的 网格图 感应线圈 屏蔽革 固态锭 液柱 【犯肠 暇 犯由 四目 址 润 脚曲位刃 暇” 石 目 脚 阿即 其 中 ， 「 各线框 电阻 、 自感 和 互感 组 成 的 阶满 秩阻抗 矩 阵 【 各线框 电流 复 向量组成 的 。 阶 矩 阵 【 各线框 电 压 复向量组成 的 。 刘 阶 矩 阵 。 各矩 阵 中元 素分 别 为 乙 ‘ 。 ‘ 笋 ， ， 二 ‘ 尺 ， 几 分 别 为 线 框 的 电阻 和 自感 ， ‘ 为 和 线 框 间 的 互 感 ， 为复 数单 位 ， 。 为 电 源 角频 率 。 口 分 别 为通 过 线 框 的 电 流复 向量 和外 施在 上的 电 压复 向量 。 线框和 、了 八 、、了 一 ‘ 。 。 。 。 丛 一 “ ‘ 一 。 。 、 卜 、 一 “ 、 一 ‘ ‘“ “ “ 热， 为真空 磁 导 率 ， “ ， “ 分 别 为 诬和 人线 框 的半 径 ， 价 为 ‘ 线 框横截 面 的 当量 半 径
Vol.15 No.6 周土平等：电磁铸造系统稳定性的数值分析 ·557· D(k)= Jn√1-k2sin2 -da (9) E(k)=√/1-k'sin'x da (10) aax k=2△z+(a+a) (11) △Z为i和k线框之间的距离。求解方程(2)可得各线框电流。 侧表面某点（，日，：)（座标见图1）的磁感应强度轴向和径向分量分别为4： B. (12) 8=线 (13) B和B,分别为i线框产生的磁感应强度轴向和径向分量，其值为」： a-·a+re- 1 a2-r户+(3，-)2 D)-8E0 (14) a=g·n-万fo)君若] 5,- a2+2+(2,-g)2 (15) 其中， a;r k=2√a,+rP+(e,-e了 (16) D(k)和E(化)的展开式如下1s]: D(k)=受+（号）+(2是)产+(5 )2k6+…+… (17) 2·4*6 E(k)受-（分+(5经）P-(35护k+- (18) 2·4·6 本文计算时取上述展开式的前20项。电磁压力为： 1B,8+B·B) Pm4 (19) B,B,分别为B,B,的共轭复数
从〕 卜亚〕 周 土平等 电 磁铸造系 统稳定性 的数值分析 川 气‘、了了 、了 了 、 了、了叱 廿 、了了、 矛，气 、 刁 兀 “ 卜 工能六万 · 笼 、 卜 工勺 一、 ‘一 · 一 了丽琦条可下 △ 为 和 线框 之 间 的距 离 。 求解方程 可 得 各线 框 电 流 。 侧表 面某 点 ， ， 座标 见 图 的磁感 应强 度 轴 向和 径 向分量分别 为 碍 凡 。 艺司 一 。双 。 艺钊 一 尽 和 ‘ 分别 为 线框产 生 的 磁感应强度 轴 向和 径 向分量 ， 其值 为 兀 卜 认 丙兀 刀 ， 一 － 兀 ‘ 十 产 十 一 之 「‘、 一虹卫兰鱼三亡 。 、 ’ “ 又 厂 一 一 ‘ 是 召。 式 刀 【 ， ‘ 一 二 仁 。 。、 、 一 奥过军李卫共 。 、 ” ‘ 一 厂十 ， 一 少 其 中 ， 一 一 里二一一 一 丫 ，十 厂 十 ， 一 和 的展开式 如 下 ’ ， 、 兀 、 。 二 。 卜 、 。 ， ， · · ， 硬凡 乡 二一 《 十 〔 一二， 》 一 人 一 十 咬一二 一二 一 一 十 － ， 一 凡 一 十 “ 十 ’ “ 艺 、 ‘ ’ ‘ · ‘ 、 · · 、 兀 ‘ 、 ， ， 、 ， 、 。 ， ， · · 、 二 二二 一 〔 二二 、 止 “ 十 止 二 、 “ 一 一立一一二一 二‘ “ 。 · · · 一 、 一 … 一 、 一 “ · ‘ 一 、 · · 本文计算 时取 上述展 开式 的前 项 。 电 磁压力 为 一 六么匆 十 反 · ， 脚 分 别 为 乓 ， 的共 扼复数
.558. 北京科技大学学报 193年No.6 2计算方法 由矩阵方程(2)求得各线框电流、然后由方程(19)求出侧表面各点的磁压，再根据方 程(1)确定液柱形状。 2.】液柱高度一定时液柱形状计算 实际铸造过程中，一般控制液柱上表面固定不变。此时工艺参数的波动只影响弯液面形 状。令系统的电流为，计算时须满足下面两个条件： (1) 1- ，适当减小电压值：若飞6. pgh 将与线框1同排的线框（液态金属部分）向内同步移动，若x,e,适当 首先比较液柱侧表面液固线处的电磁压和液体静压力值.若x。=Pgh 增加液柱高度hm;若xm<一e2,适当减小hmx。直至满足|xm|<E2· (2)由上述方法确他其它线框位置，但对各排线框移动时，须始终保证|xm<无，。 计算参数见表1
北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 计 算 方 法 由矩 阵方程 求得各 线框 电流 ， 然 后 由方 程 求 出侧表 面 各点 的磁 压 ， 再 根 据 方 程 确 定液柱形状 液柱高度 一定时液柱形状计 算 实际铸造过程 中 ， 一 般控制 液 柱 上 表 面 固 定 不 变 此时工 艺 参数 的波 动 只 影 响 弯 液 面 形 状 。 令 系 统的电流 为 ， 计算 时须 满足下 面 两个条件 ‘ 、 卜 ，。 ， 、 ， ， 、 ， 由 ‘ 七 ‘ ， 、 少 一一 一一 、 ‘ 一 · ，入，‘ 气 夕丫 ‘ 歹手 口 二 们 哭几 孔 夕， ， 卫妙 代势 卜 、 。 。 ① 令 加在感应线 圈 两端 的 电压 为 舀 应 。 。 。 为实数 ， 即 舀仅有 实 部 。 先 假定 一定 的弯液 面 形 状 见 图 ， 由上述 数学 模 型 求 出 各 线 框 电 流 。 系 统 总 电 流 为 几 艺 ，。 。 为感 应 线 圈被 剖 分 的线框 数 。 有 效值 为 的模 。 若 二 一 凡 。 ， 适 当减 小 电压值 若 凡 一 ‘ 适 当增 加 电压值 。 直至 满足 ￡二 ② 计算 图 中线框 处 的 电磁 压 几 和 液态 金 属静压 力 气 。 若戈 二 一 ， 一 石百不一 几 将 与线框 同排 的线 框 液 态 金 属 部 分 向 内 同 步 移 动 。 若 一 几 ， 将 线框 均 向外 移 动 移 动 的距 离视 值 确定 。 每 次 移 动 线 框后 ， 重 新 计算 各 线 框 电 流 ， 保 证 ￡， 。 如 此 重 复 ， 直 至 满 足 卜 ， 气 。 再 计 算 线 框 处 的 一 按 上 述 方 法 对 线 框 进 行 移 动 ， 使 其满 足 凡 沐几 。 同理 可确 定 线框 ， ， ， ， 的 位 置 。 对 任 一 线框 进行 移 动 时 ， 须保 证 先 前 已 移 动 的 线框 的 平衡 条件 得到 满 足 。 最终 得 弯液 面形状 。 稳定液柱形 状 的计算 若 工艺 参数波 动较 大 ， 将使 液柱 侧 面 液 固 线 附近 不 能保 持 垂直 状 态 。 此 时也 可 改 变 液柱高 度 使液柱 处于 稳 定 态 即液 固 线处满足 方 程 。 液柱 高度 的确 定 。 一 首 先 比较液 柱侧表 面液 固线 处 的电磁压和液体静压力值 。 若 二 石孤蕊 增 加 液 柱 高 度 若 一 ￡ ， 适 当减小 。 直至满 足 司 。 。 、 ， 适 当 由 一 上述 方 法 确他其 它 线 框 位 置 ， 但 对各排 线框 移 动 时 ， 须 始终保 证 计 算 参数 见表
Vol.15 No.6 周土平等：电磁铸造系统稳定性的数值分析 559 表1计算中所用的各种参数 Table 1 Parameters used in cakulations 参 数 数值 香 数 数值 铝液密度(kg·m3) 2300 感应线圈半径(m) 0.207 铝液电导率(2'm) 3.8×10 感应线圈高度（m) 0.044 固态铝电导率(2m) 1.0×10 感应线圈厚度(m) 0.014 屏蔽罩电导率（2'm) 1.I×10 屏敲罩半径（m) 0.190 感应线圈电导率('m') 5.8×103 屏蔽罩高度(m) 0.058 电流(A) 4970 屏蔽罩厚度（底部和顶部、） 0.005和0.012 电源频率(z) 2000 屏敲罩底部位置(z座标值，m) 0.026 液柱高度(m) 0.035 铸绽半径(m) 0.170 固液线位置(z座标值，m) 0.035 固态绽长度(m) 0.10 结果和讨论 生产实践表明，若在铸造过程中液柱高度变化超过±1m,系统就不稳定，即铸锭横 截面尺寸将发生明显变化。另外，液固线在铸造过程中由于各种原因将沿高度方向发生波 动，须使铸锭表面液固线附近某一段距离内弯液面保持垂直。 液柱高度及弯液面形状取决于电磁场的大小和分布。而在一定尺寸和结构的结晶器中电 磁场的大小和分布仅决定于电流的大小，故可用电流的波动范围来衡量系统的稳定性。 计算电流变化量为土2%（设电流在0.98，和1.02L,范围内系统是稳定的）时相应的稳 定液柱形状见图2。对应的液柱高度变化约为土1m。可见选择电流变化量±2%I。作为 系统稳定的标准是合理的。 3.1电压对系统的影响 在电磁铸造过程中，电压的变化引起电流的变化，电流的变化又引起液柱形状的改变， 导致系统阻抗改变（相当于负载发生变化）。因此电流和电压的关系比较复杂.图3为电压 发生波动时电流的变化情况。只要电压变化量不超出±2.5%U。,系统是稳定的。 r/nm 120130140150160170 9 2- 1。=4970A 7 U。=162V 10 /-1) 0- 20且 2 N 30 液多 40 -2 0 2 圈去 (0-U)/U。,% 图2液柱稳定区域 图3电压波动对系统电流的影响 Fig.2 Stable region of molten metal column Fig.3 Effect of variation of voltage on cudrrent
丫 心 周土平等 二 电磁铸造 系 统稳定性 的数值分析 表 计算中所用 的各种参数 飞恤 晚 恤 犯七巧 曰闭 沁 口山习 向 参 数 数 值 参 数 数 值 铝 液密度 · 一 ， 划 感应线圈半 径 铝 液电 导率 。 一 苦 一 ’ 护 感应线圈 高度 创阵 固 态铝 电 导率 。 一 一 ’ ， 护 感应线圈 厚度 屏蔽罩 电导 率 。 一 一 ’ 护 屏蔽罩半径 卯 感应线圈 电 导率 。 一 ’ 一 ， 护 屏 蔽罩高 度 电 流 ， 屏 蔽罩 厚度 底部 和顶部 ， 佣 和 电源频率 旧 屏蔽罩底部位 置 座标值 ， 液 柱 高 度 铸绽半 径 固 液 线位置 座 标值 ， 固 态绽长 度 结 果 和 讨 论 生产 实践表 明 ， 若在 铸造过程 中液 柱高 度 变 化 超 过 士 ， 系 统就 不 稳 定 ， 即 铸 锭 横 截 面 尺 寸将发生 明显变 化 。 另 外 ， 液固线在铸造 过 程 中 由 于 各 种 原 因将沿 高 度 方 向 发 生 波 动 ， 须使铸锭表 面 液 固 线 附近某一段距离 内弯 液 面保持 垂 直 。 液 柱高 度及 弯液 面 形状取 决于 电磁 场 的大 小 和 分布 。 而 在一 定 尺寸 和 结构 的结 晶 器 中 电 磁 场 的大 小 和 分布 仅决 定于 电流 的大小 ， 故可 用 电流 的波 动范 围 来衡量 系 统 的稳 定 性 。 计算 电 流 变化量 为 士 设 电流在 和 范 围 内系 统是稳 定 的 时相 应 的稳 定 液 柱形状见 图 。 对应 的 液柱高 度 变 化约 为 土 。 可见选择 电 流 变 化 量 士 了。 作 为 系 统稳 定 的标 准是合理 的 。 电压对系统的影响 在 电 磁 铸造过程 中 ， 电压 的变 化 引 起 电流 的 变 化 ， 电 流 的 变 化 又 引 起 液 柱 形 状 的 改 变 ， 导致 系 统 阻 抗 改 变 相 当于 负载 发 生 变化 。 因 此 电流 和 电 压 的关 系 比 较 复 杂 。 图 为 电 压 发 生波 动 时 电 流 的 变 化情 况 。 只 要 电压变 化量 不 超 出 士 。 ， 系 统是稳 定 的 。 功 州拜划泪叫 欲 、 之。 忽聋叫 攀色一」翠 一一攀匕上阵止翼 一三戮一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 刁兔 、 已日 加 刁刁 卫 ‘ 门心 ， 之 几－一 一 一 掖态 固 态 一 一 矶 ， 图 液柱稳定 区域 飞 比 职笋旧 ” 划月妇 日抽 旧 面口 图 电压波动 对 系 统 电流的影 响 电 吐 转叮抽位 、叫触罗 阅 加 吐
.560. 北京科技大学学报 1993年No.6 3.2频率对系统的影响 频率不同，电磁场在金属液内的穿透深度也不同，且各线框间的感抗也不同.即一定的 频率对应一定的系统阻抗。图4为频率波动 对系统电流的影响。频率变化量在原值的 -2.5%~3.5%之间时，系统电流变化量不超过 4 原值的士2%。 2 -490A 3.3其他因素对系统的影响 -20m2 供流速度和拉锭速度的波动直接表现为液 柱高度的变化.供流速度增大或拉速减小（与稳 -1 -2 定态相比)，液柱高度增加；反之，液柱高度降 低。只要液柱高度变化不超出士1mm,可认为系 -2 0 2 统是稳定的。 (f/f。% 冷却强度及冷却水的分布对系统的影响比 较复杂，需求出体系的温度场才能对其进行讨 图4频率波动对系统电流的影响 论。 Fig.4 Effect of variation of frequency on current 4结束语 在其他工艺参数一定时，只要电压或频率的变化率不超过±2.5%，系统电流变化率就 小于土2%，系统是稳定的。要进一步理解系统稳定性问题，须研究体系的温度场以及电磁 结晶器和底模的结构等。 参考文献 I Vives C.Ricou R.Met Trans 1985.16B 377 2 Lavers J D.IEEE Trans Ind App.1986.IA-32(4):586 3 Li B Q,Evans J W.IEEE Trans Mag,1989,25(6):4433 4林为干，符果行等.电磁场理论.北京：人民邮电出版社，1984.184 5冯慈璋.电磁场.北京：高等教育出版社，1983.322
夕酬〕 北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 频率对 系统 的影 晌 频率不 同 ， 电磁 场 在 金 属 液 内的 穿透深 度 也不 同 ， 且 各 线框 间的 感抗 也 不 同 。 即一 定 的 频 率 对 应 一 定 的 系 统 阻 抗 。 图 为 频 率 波 动 对 系 统 电 流 的 影 响 。 频 率 变 化 量 在 原 值 的 一 一 之间时 ， 系统电流 变 化量 不超过 原值 的 士 。 其他 因 素对 系统的 影 响 供流 速度 和拉 锭 速 度 的 波 动直 接 表现 为液 柱高 度 的 变化 供流速 度 增 大或拉速 减小 与 稳 定 态相 比 ， 液 柱 高度 增 加 反 之 ， 液 柱 高 度降 低 。 只要掖 柱高度变化不 超 出 士 ， 可 认 为系 统是稳 定 的 。 冷却 强度 及 冷却水 的分 布 对系 统 的影 响 比 较复 杂 ， 需求 出体 系 的 温度 场 才 能 对其进 行讨 论 。 月 求工， 一 一 一 。 圈 预率波动对 系统电流的影 晌 乓 日 比 面 对匕 尔冲 叼 叨 。 川旧吐 结 束 语 在 其他工 艺 参 数一 定 时 ， 只 要 电压 或 频 率 的 变 化 率 不 超 过 士 ， 系 统 电流变化率就 小于 士 ， 系 统 是 稳 定 的 。 要 进 一步理解 系 统稳定性 问 题 ， 须研 究体 系的 温 度 场 以 及 电 磁 结 晶 器和 底模 的 结构 等 。 参 考 文 献 ， 以 ， ， ， ， 一 ， ， ， ， 林 为干 ， 符果行 等 电磁场理 论 北 京 人 民 邮电出版 社 ， 冯 慈 璋 电磁场 北 京 高等教 育出版社