函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值
引例： 例1、讨论y=x3在R上的单调性。 y 盅ì顶送提宠产0 .-2=(x1-x2x+xx2+x)<0 X 所以y=x3在R上的单调递增。 例2
引例: 例1、讨论y=x3在R上的单调性。 由中学所学根据定义,设x1<x2 ( )( ) 0 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 3 x1 − x = x − x x + x x + x 所以y=x3在R上的单调递增。 : , ' 3 0 2 证明 xR y = x x y o 例2
(1)、图1~4中函数有什么性质？ (2)、导数f(x)有什么变化？ 一、函数单调性的充分条件 (1)y (2) f'(x)>0 a 0 X 0 X (3) y (4) f'(x)<0 a B 0 0 X
一、函数单调性的充分条件 a x y o β a x y o β a x y o β a β o x (1) y (2) (3) (4) （1）、图1~4中函数有什么性质？ （2）、导数f ’(x)有什么变化？ f ’(x)>0 f ’(x)<0
定理1： 设函数y=fx)在区间(a,b)内可导， (I)若Vx∈(a,b),当f(x)>O时，则f(x)在(a,b)内单调递增； 由定义：x<x2∈(a,b)？x)<f(x,) (2,若Vx∈(a,b),当f(x)<0时，则f(x)在(a,b)内单调递减
定理1: 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导， (1)、 若x(a,b),当f '(x) 0时,则f (x)在(a,b)内单调递增； (2)、 若x(a,b),当f '(x) 0时,则f (x)在(a,b)内单调递减； : ( , ) ？ 由定义 x1 x2 a b ？ ( ) ( ) 1 2 f x f x
定理证明： x、x2∈(a,b),设x,0 .f'(x)>0 .f(x2)-f(x)>0 ∴.f(5)>0 即f(x)0 故f(x)单调增 X2一X1 例1
定理证明: 1 2 1 2 x、x (a,b),设x x : [ , ] , , , 1 2 使得 在 x x 中由拉格朗日中值定理知 至少存在一点 '( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 f x x f x f x = − − f '(x) 0 f '() 0 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 − − x x f x f x 又x2 − x1 0 f (x2 )− f (x1 ) 0 ( ) ( ) 1 2 即f x f x 故f (x)单调增 例1
举例： 例2、证y=x2在(-0,0)内单减，在(0，+0)内单增。 证：x∈(-0,0)2y'=2x0 ∴.y=x2在(0，+0)内单增 例3
举例 : 证:x (−,0), y'= 2 x 0 例 2、 证y x 在( ,0)内单减； 在(0, )内单增。 2 = − + 2 y = x x yo x ( 0,+), y'= 2 x 0 ( ,0 ) ; y = x2在 − 内单减 (0, ) . y = x2在 + 内单增 例 3
举例： 例3、求函数f(x)=x3-3x的单调区间 思考： 步骤： 1、求x)的定义域； 2、求使f'(x)=0的点； (1)、与例1，例2有什么不同？ 及f()不存在的点： 这样的点把定义域分 (2)、什么样的点可以分单调区间？ 成若干个子区间； 3、判别f(x)在各 子区间内的符号； 4、确定单调区间。 例5
举例: 3 ( ) 3 . 例 、 求函数f x = x 3 − x的单调区间 思考： (1)、与例1，例2有什么不同？ (2)、什么样的点可以分单调区间？ 步骤： 1、求f(x)的定义域； 3、判别f ’(x）在各 子区间内的符号； 这样的点把定义域分 成若干个子区间； 2、求使f ’(x)=0的点； 4、确定单调区间。 及f ‘(x)不存在的点； 例1 例25
举例： 例3、求函数f(x)=x3-3x的单调区间 解：1、f(x)的定义域为-o,+o) 2、f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) 令f'(x)=0→x1=-1,x2=1 从而将-o0,+0)分成(-0，-1)，(-1,1)，(1，+∞) X (←∞，-1) （1,1) (1,+∞) f(☒ + + f(x) X
举例: 3 ( ) 3 . 例 、 求函数f x = x 3 − x的单调区间 解:1、f (x)的定义域为(−,+) 2 ( ) 3 3 3( 1)( 1) 2 、 f x = x − = x + x − 令f (x) = 0 x1 = −1, x2 =1 从而将(−,+)分成(−,−1),(−1,1),(1,+) x f’(x) f(x) + - + (-∞,-1) (-1,1) (1,+ ∞)
举例： 4考察=以-Cx0时，fx)为单调增； 当x<0时，fx)为单调减； 当x=0时，fx)不存在。 思考：这个例子又告诉了我们一个什么 情况？ 修正步骤2
举例: . ( 0) ( 0) 例4 考察 的单调性 − = = x x x x 、 y x x y o 解：从图象上可以看出： 当x>0时,f(x)为单调增； 当x<0时,f(x)为单调减； 当x=0时,f ‘(x)不存在。 思考：这个例子又告诉了我们一个什么 情况？ 修正步骤2
举例： 例5、讨论f(x)=(x-1)x的单调性 解：1、f(x)的定义域为-o0,+oo) 2、f'(x)=x+号x(x-1)=2 3r3 令f'(x)=0→x1=号此外x=0为f(x)的不可导点 从而将(-0，+0)分成(-0,0)，(0，)，（层，+0）三个子区间 X (←∞，0) (0,) (层，+o) f'(☒ + + f /
举例: 5 ( ) ( 1) . 3 2 例 、 讨论f x = x − x 的单调性 解:1、f (x)的定义域为(−,+) 3 1 3 1 3 2 3 5 2 3 2 2 ( ) ( 1) x x 、 f x x x x − − = + − = 5 2 0 1 令f (x) = x = 从而将(−,+)分成(−,0),(0, 5 2 ),( 5 2 ,+)三个子区间 x f ’(x) f(x) 此外x = 0为f (x)的不可导点. (0, ) 5 2 ( , ) 5 2 + + - + (-∞,0)