序言 。什么是“代数”？ 用字母代替数一便于研究量之间的规律。 ·《线性代数》研究的内容 用字母代替数组、代替数组的组， 研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。 例如 a11X1+412X2=b, 1= 1 412 b 021X1+022X2=b2 a21 21 4=(a1a2b) a11 =(a1a2b2） B.=
什么是“代数” ？ 用字母代替数 —— 便于研究量之间的规律。 《线性代数》研究的内容 + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 用字母代替数组、 11 12 1 1 2 21 22 2 a ab a ab ββ β = = = ( ) ( ) 1 11 12 1 2 21 22 2 aab aab α α = = 研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。 代替数组的组 ， 11 12 1 21 21 2 aab A aab = 例如 序 言
第一章彳 行列式 本章主要内容： n阶行列式定义（§1.1）、 性质（§1.2、§1.3)； 克莱姆法则： n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4)
第一章 行列式 本章主要内容： n阶行列式 定义（§1.1）、 性质（§1.2、§1.3）； 克莱姆法则： n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4）
§1.1n阶行列式 一、二阶、三阶行列式 1.二阶行列式 分析二元线性方程组的解 411火1+012X2=b1, 当 411022-412a21≠0 021X1+a22X2=b2: ba22-a12b2 对角线法则：主对角线上 X= 两元素乘积减去副对角线 411a22-412a21 上两元素乘积 411b2-ba21 X2= D= 记 =0411422-412a21 411a22-a12421 2 D1= b 2\ =b,a2-a2b2, b b, =ab2-b,a21 则当D≠0，H=月 D. 【注】分母都为原方 X2 程组的系数行列式
§1.1 n阶行列式 一、二阶、三阶行列式 1．二阶行列式 + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 分析二元线性方程组的解 1 22 12 2 1 11 22 12 21 ba a b x aa aa − = − 11 2 1 21 2 11 22 12 21 a b ba x aa aa − = − 1 1 D x D = 2 2 D x D 则当 D ≠ 0 ， = 11 22 12 21 当 aa aa − ≠ 0 1 12 1 1 22 12 2 2 22 , b a D ba a b b a = = − 11 1 2 11 2 1 21 21 2 a b D a b ba a b = = − 记 11 12 21 22 a a D a a = 对角线法则:主对角线上 两元素乘积减去副对角线 上两元素乘积 11 22 12 21 = − aa aa 【注】分母都为原方 程组的系数行列式
2x1+3x2=8 例1利用行列式解二元线性方程组 x1-2x2=-3 2 【练习】设D= 3 1 问λ为何值时D=0,入为何值时D≠0？ 22元 解D= 31 =λ2-3元，元2-3元=0，则2=0，九=3 故(1)当九=0或2=3时，D=0, (2)当2≠0且入≠3时，D≠0
【练习】设 2 3 1 D λ λ = 问λ为何值时D＝0，λ为何值时D≠0？ 2 2 2 3 , 3 0, 0, 3. 3 1 (1) 0 3 , 0, (2) 0 3 , 0. D D D λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ = =− −= = = = = = ≠≠ ≠ 解 则 故 当 或 时 当 且 时 例1 利用行列式解二元线性方程组 1 2 1 2 23 8 2 3 x x x x + = − =−
2.三阶行列式 411X1+4122+413X3=b1, 三元线性方程组了 21X1+022X2+23X3=b2, 431x1+432X2+4333=b3; 11 12 413 C12 13 应 D= a21 d22 a23 D1= b2 a22 C23 a31 a32 a33 b3 32 33 C11 b1 a13 C11 a12 D2=a21 b2 a23 D3= a21 22 b2 a31 b3 33 a31 a32 b3 希望当D≠0 也有 ,X2=D ,X3= D 问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？
2．三阶行列式 希望当 D ≠ 0 也有 D D x D D x D D x 3 3 2 2 1 1 = , = , = + + = + + = + + = ; , , 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？ 三元线性方程组 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a 令 D = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a a b a a b a a b D a b a a b a a b a D = =
三阶行列式的计算 =L112233+41223L31+4132132 -L13022L31-M1202133-411023L32 【注】1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号. 2.三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不同行，不同列的 三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负. 1 2 3 例2计算 321 =12 2 3 1 b 0 【练习】，b 满足什么条件时有 答案：=0且b=0. 以上方法只适用于三阶行列式的计算
31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = a11a22a33 . − a11a23a32 【注】1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的 乘积冠以负号． 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负. + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 三阶行列式的计算 123 321 231 例2 计算 =12 【练习】a,b 满足什么条件时有 0 0 0 1 01 a b − = b a 答案：a=0且b=0. 以上方法只适用于三阶行列式的计算
X1-2x2+x3=-2 例3利用行列式解线性方程组{2x,+x2一3x3=1 -x1+x2-x3=0 解 由于方程组的系数行列式 3=1×1×(-)+（-2)×(-3列×(-) +1×2×1-1×1×(-1)-(-2)×2×(-1)-1×(-3)×1 =-5≠0
解 由于方程组的系数行列式 1 1 1 2 1 3 1 2 1 − − − − D = = 1×1×(− 1) + (− 2)×(− 3)×(− 1) + 1× 2×1 − 1×1×(− 1)− (− 2)× 2×(− 1) − 1×(− 3)×1 = −5 ≠ 0, 例3 利用行列式解线性方程组 12 3 1 23 12 3 2 2 2 31 0 xx x xxx xx x − + =− + −= −+ − =
同理可得 -2-2 1 1 -21 D1= 1 1 -3=-5,D2=2 1-3 =-10, 0 1 -1 -1 0 -1 1 -2 -2 D3= 2 1 1 =-5, -1 1 0 故方程组的解为： X1 D=1, X2= X3= D=1
同理可得 0 1 1 1 1 3 2 2 1 1 − − − − D = = −5, 1 0 1 2 1 3 1 2 1 2 − − − − D = = −10, 1 1 0 2 1 1 1 2 2 3 − − − D = = −5, 故方程组的解为: 1, 1 1 = = D D x 2, 2 2 = = D D x 1. 3 3 = = D D x
n个未知数的线性方程组 : ax+a2x2+...+axn=b 2 a+a22x2+.+anxn=b2 D= 21 022 a amx+an2x2++ammxn=b n b b 12 a b 42 b2 D b2 022 02 02n b2 D a21 02n D : : .: : an2 an D 希望当 D≠0 .Xn D 问题对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. n阶行列式如何计算使上述结论成立？
n个未知数的线性方程组 令 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 n n n n n n nn n n ax ax ax b ax a x ax b ax ax ax b + ++ = + ++ = + ++ = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a D aa a = 1 12 1 2 22 2 1 2 n n n n nn ba a ba a D ba a = 11 1 1 21 2 2 2 1 n n n n nn ab a ab a D ab a = 11 12 1 21 22 2 1 2 n nn n aa b aa b D aa b = 问题 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． n阶行列式如何计算使上述结论成立？ ... 希望当 1 2 1 2 , ,..., n n D D D xx x DD D = = = D ≠ 0
二、排列及其逆序数 定义1把n个不同的数排成一列，叫做这n个数的全排 列（或排列） 特别：由n个自然数1、2、..、n组成的有序数 组称为一个n级（阶、元)排列. n级排列共有n:种. 我们规定各数之间有一个标准次序，规定由小到大 为标准次序，若个不同的自然数按照由小到大排列，称 这样的排列为n元自然序排列. 定义2在一个排列(i2…i,…i,…i)中，若数i,>i, 则称这两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数， 记作t(i2…i…i…in)或N(2…i,…i…in)
二、排列及其逆序数 定义2 在一个排列 中，若数 则称这两个数构成一个逆序. ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i > i 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数， 记作 ( 1 2 ) ( 1 2 ). tsn tsn τ ii i i i N ii i i i 或 定义1 把n个不同的数排成一列，叫做这n个数的全排 列（或排列）. 特别：由n个自然数１、２、…、n组成的有序数 组称为一个n级（阶、元）排列. n级排列共有n!种. 我们规定各数之间有一个标准次序,规定由小到大 为标准次序,若n个不同的自然数按照由小到大排列,称 这样的排列为n元自然序排列
