《机械设计基础》课程教学资源（讲义）第七章 平面弯曲梁的强度计算

七、平面弯曲梁的强度计算 在研究了平面弯曲梁的内力之后,从剪力图和弯矩图上可以确定发生最大剪 力和最大弯矩的危险截面。剪力是由横截面上的切应力形成,而弯矩是由横截面 上的正应力形成。实验表明,当梁比较细长时,正应力是决定梁是否破坏的主要 因素,切应力则是次要因素。因此,本节着重研究梁横截面上的正应力。 1纯弯曲时梁的正应力 梁在AC和DB两段内 横截面上既有弯矩又有剪力 这种弯曲称为剪切弯曲: 在梁的CD段内,横截面 上只有弯矩没有剪力,且全段 内弯矩为一常数,这种弯曲称 为纯弯曲。 M 取CD段为研究对象 纯弯曲时梁的变形为: (1)梁变形后,横向线II和III仍为直线且与梁的轴线垂直,但倾斜了一个 角度

1 七、平面弯曲梁的强度计算 在研究了平面弯曲梁的内力之后，从剪力图和弯矩图上可以确定发生最大剪 力和最大弯矩的危险截面。剪力是由横截面上的切应力形成，而弯矩是由横截面 上的正应力形成。实验表明，当梁比较细长时，正应力是决定梁是否破坏的主要 因素，切应力则是次要因素。因此，本节着重研究梁横截面上的正应力。 1 纯弯曲时梁的正应力 取 CD 段为研究对象： 纯弯曲时梁的变形为： (1)梁变形后，横向线 I-I 和 II-II 仍为直线且与梁的轴线垂直，但倾斜了一个 角度； 梁在 AC 和 DB 两段内， 横截面上既有弯矩又有剪力， 这种弯曲称为剪切弯曲； 在梁的 CD 段内，横截面 上只有弯矩没有剪力，且全段 内弯矩为一常数，这种弯曲称 为纯弯曲

(2)纵向线ab缩短了,而cd伸长了。 ※梁纯弯曲时的平面假设:横截面变形前为平面,变形后仍为平面,且仍垂 直于梁的轴线,但旋转了一个角度。 ※据此可知梁的各纵向线受到轴向拉伸和压缩,因此横截面上只有正应力。 由于材料是均匀连续的,所以变形也是连续的,于是由压缩过渡到伸长之间 必有一条纵向线OO′的长度保持不变。若把OO′纵向线看成材料的一层纤维 则这层纤维既不伸长也不缩短,称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 设中性层的曲率半径为p,纵向线c到中性层的距离为y,则纵向线cd的 绝对伸长为 Acd=c'd'-cd=(p+ y)dB-pdB=yde 线应变为:E=2d=ydOy d pdB 1是中性层的曲率,由梁及其受力情况确定,对于整个截面,它是一个常量。 线应变的大小与其到中性层的距离成正比 由虎克定律得:a=E.E=Ey ※横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。 ※在梁的横截面上任取一点K,并取微面积dA,设z为横截面的中性轴,K点 到中性轴的距离为y,若K点的正应力为σ,则微面积dA上的法向内力为a·d4。 截面上各处的法向内力构成一个空间平行力系。 由∑F=0=Jod=0』1-yA=0 Eyl4=0=÷J,l4=0,而Ju=y1d=为截面对z轴的静矩 ycA=0,∴20,∴yc=0 说明截面的形心在z轴上,即史性轴必通过横截面的形心 由∑m2(F)=0,得 外=4ad=M e.vda 令lz=J1y2d4,则 lz-—横截面对中性轴z的惯性矩 1/p——表示梁的弯曲程度(曲率),1/p愈大,梁弯曲愈甚 2

2 (2)纵向线 ab 缩短了，而 cd 伸长了。 ※梁纯弯曲时的平面假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂 直于梁的轴线，但旋转了一个角度。 ※据此可知梁的各纵向线受到轴向拉伸和压缩，因此横截面上只有正应力。 由于材料是均匀连续的，所以变形也是连续的，于是由压缩过渡到伸长之间， 必有一条纵向线 OO′的长度保持不变。若把 OO′纵向线看成材料的一层纤维， 则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 设中性层的曲率半径为  ，纵向线 cd 到中性层的距离为 y ，则纵向线 cd 的 绝对伸长为： cd = cd − cd = ( + y)d − d = yd 线应变为：      y d yd cd cd = =  =  1 是中性层的曲率，由梁及其受力情况确定，对于整个截面，它是一个常量。 线应变的大小与其到中性层的距离成正比。 由虎克定律得：    y = E  = E ※横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离 y 成正比。 ※在梁的横截面上任取一点 K，并取微面积 dA，设 z 为横截面的中性轴，K 点 到中性轴的距离为 y ，若K点的正应力为  ，则微面积dA上的法向内力为   dA。 截面上各处的法向内力构成一个空间平行力系。 由  Fx = 0  = AdA 0  ydA = 0 E A   = A ydA E 0   = A ydA 0 ，而  =  = A C dA SZ ydA y 为截面对 z 轴的静矩 yC  A = 0 ，∵A≠0，∴ yC = 0 说明横截面的形心在 z 轴上，即中性轴必通过横截面的形心。 由 mZ (F) = 0,得：  = M外 ＝ AydA M = A = A y dA E y dA E M 2 2   令 Z = A I y dA 2 ，则 EI Z M =  1 Z I ——横截面对中性轴 z 的惯性矩 1/  ——表示梁的弯曲程度(曲率)，1/  愈大，梁弯曲愈甚

EL2与1/p成反比,所以E表示梁抵抗弯曲变形的能力,称为抗弯刚度 M M E E 讨论:中性轴上y=0,故G=0 y=ymax 即最大正应力产生在离中性轴最远的边缘上 ※a=y是在纯弯曲的情况下导出的,而一般的梁横截面上既有弯矩又有剪 力,因此用上式计算应力就有误差,但当梁的跨度l大于截面高度h的五倍时, 用上式计算应力的误差不到5%,因此在这种情况下上式是可以应用的。当l/h<5 时,也可近似地应用上式来计算,但要注意计算的结果偏低 2惯性矩l2的计算 矩形截面 bdhy,lz=「A bh y ba 12 同理可得:1= 2、圆形截面:z64(d—圆截面直径) 3、圆环形截面:12=(D-d)(D—一外径,d一一内径) 4、平行移轴公式 设通过形心的惯性矩为l,面积为A,则 静矩 等于0 证明 I 2=ydA=L( +a dA= L, dA+ LadA+ 2,y adA 例题8.1(P146)

3 EIZ 与 1/  成反比，所以 EIZ 表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。 EIZ M Ey y = E =   y I M Z  = 讨论：中性轴上 y＝0，故  ＝0 y＝ymax 时，  ＝ max，即最大正应力产生在离中性轴最远的边缘上， max max y I M Z  = ※ y I M Z  = 是在纯弯曲的情况下导出的，而一般的梁横截面上既有弯矩又有剪 力，因此用上式计算应力就有误差，但当梁的跨度 l 大于截面高度 h 的五倍时， 用上式计算应力的误差不到 5%，因此在这种情况下上式是可以应用的。当 l / h <5 时，也可近似地应用上式来计算，但要注意计算的结果偏低。 2 惯性矩 Z I 的计算 1、矩形截面 dA = bdy ， 12 3 / 2 / 2 2 2 bh I y dA y bdy h Z A h =  =  = − 同理可得： 12 3 hb I y = 2、圆形截面： 64 4 d I Z  = ( d ——圆截面直径) 3、圆环形截面： ( ) 64 4 4 I Z = D − d  (D——外径，d——内径) 4、平行移轴公式： 设通过形心的惯性矩为 Zo I ，面积为 A，则 2 I Z = I Zo + Aa 证明： I Z = A y dA = A ( yo + a) dA = A yo dA + A a dA + 2A yoadA 2 2 2 2 例题 8.1 （P146） 静矩， 等于 0

弯曲时的最大正应力 对于等截面梁,弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面上(称为危险 截面)的上、下边缘(边缘上的点称为危险点) 危险点的最大正应力为: M 令 W,则a 2抗弯截面系数W Wz是衡量截面抗弯能力的一个几何量,单位mm3或m3 矩形截面(宽为b,高为h) I 6h/12 bh h/2 圆形截面(直径为d) d+/64 d d/232 圆环形截面(外径为D,内径为d,dD=a) 形2=x(D-d)/64mD(1-a2) D/2 3梁弯曲时的强度条件 为了保证梁能安全地工作,必须使梁具备足够的强度。对等截面梁来说,最 大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面的上下边缘处.而上下边缘处各点的切应力 为零,处于单向拉伸或压缩状态,如果梁材料的许用应力为‘],则梁弯曲正应 力强度条件为 M 0mx=m≤[o]利用强度条件,亦可以解决三类问题。 4实例应用 例8-2(P147截面尺寸设计 例8-3(P147)计算力的最值 例8-4(P148)强度校核

4 1 弯曲时的最大正应力 对于等截面梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面上(称为危险 截面)的上、下边缘(边缘上的点称为危险点)。 危险点的最大正应力为： max max max y I M Z  = 令 Z Z W y I = max ，则 WZ Mmax  max = 2 抗弯截面系数 WZ WZ 是衡量截面抗弯能力的一个几何量，单位 mm3 或 m3。 矩形截面(宽为 b，高为 h)： / 2 6 /12 3 2 max bh h bh y I W Z Z = = = 圆形截面(直径为 d)： / 2 32 / 64 4 3 max d d d y I W Z Z   = = = 圆环形截面(外径为 D，内径为 d，d/D=  ) (1 ) / 2 32 ( )/ 64 4 4 4 3 max    = − − = = D D D d y I W Z Z 3 梁弯曲时的强度条件 为了保证梁能安全地工作，必须使梁具备足够的强度。对等截面梁来说，最 大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面的上下边缘处．而上下边缘处各点的切应力 为零，处于单向拉伸或压缩状态，如果梁材料的许用应力为[‘]，则梁弯曲正应 力强度条件为 [ ] max  max =   WZ M 利用强度条件，亦可以解决三类问题。 4 实例应用 例 8－2(P.147 截面尺寸设计 例 8－3(P.147) 计算力的最值 例 8－4(P.148) 强度校核