、平面力系 力系的分类 平面力系一一各力的作用线都在同一平面内的力系。 空间力系一一各力的作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系一一作用线交于一点的力系 平面力偶系(仅由力偶组成) )的力系。 图3-4平面一船力血作国面内一点简化 F=√(ΣF2)2+(F)2,a= arctΣF3 ∑F 12简化结果的讨论 平面任意力系向一点简化,一船可得一力(主矢)和一力偶(主矩),但这并不 是简化的最终结果。当主矢和主矩出现不同值时,简化最终结果将会是下表所列 的情形。 表21平面任意力系筒化结果 四种结果 主矢主矩 M}化结果 义 M≠0合力FRFR=F,FR的作用线与简化中心O点的距离为d FR≠ MQ(知图22d,e所示,由力的平移定理逆定理得到) M=0合力FF=F,F的作用线通过简化中心O点 M≠0合力偶MM=>M(F),主矩M与简化中心O点的位置无关 平面任意力系平衡的必要和充分条件为F=0 M=0力系平衡
1 二、平面力系 力系的分类： 平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。 空间力系——各力的作用线不在同一平面内的力系。 汇交力系——作用线交于一点的力系。 平面力偶系---- （仅由力偶组成） 平行力系——作用线相互平行的力系。 任意力系——作用线任意分布（既不完全交于一点又不完全平行）的力系。 1 平面任意力系的简化 1.1 平面任意力系向一点简化 1.2 简化结果的讨论 平面任意力系向—点简化，一船可得一力(主矢)和一力偶(主矩)，但这并不 是简化的最终结果。当主矢和主矩出现不同值时，简化最终结果将会是下表所列 的情形。 四种结果
例题(P30) 2平面力系的平衡方程及其应用 21平面任意力系的平衡方程 由 Fg=√(∑F,)2+(∑F)2=0 的充分和必要条件为主矢与 主矩同 得到∑F=0 (2.6) ∑M0(F)=0 式(2.6)称为平圃任意力系的平衡方程基本形式,可简称为二投影一矩式 它表明平圃任意力系平衡的解析充要条件为:力系中各力在乎团内两个任选坐标 轴的每个轴上投影的代数和均等于零,各力对平面内任意一点之矩的代数和也等 于零。式(2.6)最多能够求得包括力的大小和方向在内的3个未知量。 平面任意力系平衡方程除了式(2.6)的基本形式外,还有其它两种形式 投影两矩式平衡方程 三矩式平衡方程 ∑F2=0(或∑F=0) ∑M4(F)=0 ∑MA(F)=0 (2.7) ∑M(F)=0}(28) ∑MB(F)=0 ∑Mc(F)=0J 其中两点连线AB不能与投影轴x其中A,B,C三点不共线 (或y)垂直 22解题步骤与方法 1)确定研究对象,画出受力图 应将已匆力和未知力共同作用的物体作为研究对象分离体画受力图 2选取投影坐标釉和矩心,列平衡方程 2
2 例题 （P30） 2 平面力系的平衡方程及其应用 2.1 平面任意力系的平衡方程 由表 2．1 中式(2．5)得知，平面任意力系平衡的充分和必要条件为主矢与 主矩同时为零，即 得到 式(2．6)称为平圃任意力系的平衡方程基本形式，可简称为二投影一矩式。 它表明平圃任意力系平衡的解析充要条件为：力系中各力在乎团内两个任选坐标 轴的每个轴上投影的代数和均等于零，各力对平面内任意一点之矩的代数和也等 于零。式(2．6)最多能够求得包括力的大小和方向在内的 3 个未知量。 平面任意力系平衡方程除了式(2．6)的基本形式外，还有其它两种形式： 2.2 解题步骤与方法 1) 确定研究对象，画出受力图 应将已匆力和未知力共同作用的物体作为研究对象分离体画受力图。 2)选取投影坐标釉和矩心，列平衡方程
列平衡方程前应先确定力的投影坐标轴和矩心的位置,然后列方程。若受力 图上有两个未知力相互平行,可选垂直于此:一力的直线为投影轴;若无两未知 力相互平行,则选两未知力的交点力矩心;若有两正交未知力,则分别选取两未 知力所在直线为投影坐标轴,选两未知力的交点力矩心。恰当选取坐标轴和矩心, 可使单个平衡方程中未知量的个数减少,便于求解 3)求解末知量,讨论结果 将已知条件代人平衡方程式中,联立方程求解未知量。必要时可对影响求解 结果的因素进行讨论;还可以另选一不独立的平衡方程,对某一解答进行验算。 例题(P32、33) 23平面特殊力系的平衡方程 平面交汇力系的平衡方程 由于平面汇交力系中备力作用线汇交了一点,显然M=∑M(F)=0,于 是得其平衡的 系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别 等于零。即 ∑F,=0 ∑F=0 式(2.9)称为平面汇交力系的平衡方程,最多可求解包括力的大小和方向在 内的2个未知量 2.平面力偶系的平衡方程 按式(1.11)平面力偶系简化结果为一合力偶,所以平面力偶系平衡的充要 条件为:力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即 M=∑M1=0 若力系中各力的作用线与y(或x)轴平行,显然式(26)中 ∑F≡0(或∑F=0),则力系独立的平衡方程为 未知量。 ∑F,=0(或F2=0) (2.11 ∑M0(F)=0
3 列平衡方程前应先确定力的投影坐标轴和矩心的位置，然后列方程。若受力 图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此：—力的直线为投影轴；若无两未知 力相互平行，则选两未知力的交点力矩心；若有两正交未知力，则分别选取两未 知力所在直线为投影坐标轴，选两未知力的交点力矩心。恰当选取坐标轴和矩心， 可使单个平衡方程中未知量的个数减少，便于求解。 3)求解末知量，讨论结果 将已知条件代人平衡方程式中，联立方程求解未知量。必要时可对影响求解 结果的因素进行讨论；还可以另选一不独立的平衡方程，对某一解答进行验算。 例题 （P32、33） 2.3 平面特殊力系的平衡方程 1. 平面交汇力系的平衡方程 由于平面汇交力系中备力作用线汇交了一点，显然 M0 = M0 (F) 0 ，于 是得其平衡的必要且充分条件为：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别 等于零。即 式(2．9)称为平面汇交力系的平衡方程，最多可求解包括力的大小和方向在 内的 2 个未知量。 2. 平面力偶系的平衡方程 按式(1．11)平面力偶系简化结果为一合力偶，所以平面力偶系平衡的充要 条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即 式(2．10)称为平面力偶系的平衡方程，此方程只能求解 1 个未知量。 3. 平面平行力系的平衡方程
式(2。11)表明平面平行力系平衡的充要条件为:力系中各力在与力平行的坐 标轴上投影的代数和为零,各力对任意点之矩的代数和也为零 平面平行力系的平衡方程另一种形式为二矩式,即 M()=0(AB连线不与各力F平行)(2:12 ∑M2(F)=0 例题(P35、36、37、38) 3静定与超静定问题物系的平衡 31静定与超静定问题的概念 静定问题:在物体平衡计算问题中,应求解未知量的个数均未超过其相应的 独立平衡方程个数,可以求得惟一解,此类问题即为静定问题。静力学只研究静 定问题。 对工程中多数构件与结构,为了提高其安全可靠性,常采用增加约束的方法 从而使所受未知力的个数增加,超过了相应的独立平衡方程的个数。对此类问题 仅用静力学平衡方程不能求得全部未知力,力学中称此类问题称为超静定问题。 方程,然后才能 卫<x 学中)。 a,b静定问题c,d一次超静定问题 32物系的平衡 若干个物体以一定的约束方式组合在一起即成物体系统,简称物系。对静定 的物系平衡问题,由于系统内的每个物体或某一局部也都处于平衡状态,这时, 既可选择整个物系为研究对象,也可选择某一局部的几个物体,或单个物体为研 究对象,作用于研究对象上的力系都满足平衡方程,所有末切力也均可以通过平
4 式(2。11)表明平面平行力系平衡的充要条件为：力系中各力在与力平行的坐 标轴上投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零 平面平行力系的平衡方程另一种形式为二矩式，即 例题（P35、36、37、38） 3 静定与超静定问题 物系的平衡 3.1 静定与超静定问题的概念 静定问题：在物体平衡计算问题中，应求解未知量的个数均未超过其相应的 独立平衡方程个数，可以求得惟一解，此类问题即为静定问题。静力学只研究静 定问题。 对工程中多数构件与结构，为了提高其安全可靠性，常采用增加约束的方法， 从而使所受未知力的个数增加，超过了相应的独立平衡方程的个数。对此类问题， 仅用静力学平衡方程不能求得全部未知力，力学中称此类问题称为超静定问题。 求解超静定问题必须考虑物体受力后产生的变形，建立变形协调方程，然后才能 解出全部未知力。具体解法将在第 4 章、第 8 章中介绍（材料力学中）。 a，b 静定问题 c，d 一次超静定问题 3.2 物系的平衡 若干个物体以—定的约束方式组合在—起即成物体系统，简称物系。对静定 的物系平衡问题，由于系统内的每个物体或某一局部也都处于平衡状态，这时， 既可选择整个物系为研究对象，也可选择某一局部的几个物体，或单个物体为研 究对象，作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有末切力也均可以通过平
衡方程求得。 为了简化计算过程,必须有序地选取研究对象。对简单的静定物系平衡问题, 可按下列步骤进行 1)在具体求解前,画出系统整体、局部及每个物体的分离体受力图。 2)分析各受力图。可能出现三类情况:一是有的受力图上未知力的个数等于 或少于相应的独立平衡方程个数,这类受力图是可解的;二是有的受力图上未知 力的个数大于相应的独立平衡方程个数,但仍可求出部分未知力。如受平面任意 力系作用的分离体上有4个未知力,其中3个末细力汇交于一点(或相互平行), 取交点为矩心(或取投影袖垂直于三力),列出力矩平衡方程(或投影平衡方程), 即可求出第四个未知力,这类受力图是局部可解的;三是所有受力图的未知力暂 时都无法求解,这类受力图是暂不可解的。 3)在分析基础上确定求解顺序。先从可解的或局部可解的分离体着手,求出 某些末细力。将已求出的未知力视为己知力,从而使其它暂不可解的分离体转化 为可解的分离体,这样按题意可依次解出待求的未知力。对物系中各受力图均为 暂不可解的,则应选取两个相同未知力的分离体,列出乎衡方程联立求解,从而 同样达到转化暂不可解分离体的目的 下面举例说明物系平衡问题的解法 例题(P41、42、34) 在研究物系的平衡问题时,我们把物系以外的物体作用于物系的力称为该物 系的外力;把物系内各物体间相互作用的力,称为该物系的内力。对整个物系来 说,内力总是成对出现的,所以在研究整个物系的平衡问题时,内力无需考虑。 内力与外力是相对的。当研究物系中某一物体的平衡时,物系中其他物体对 所研究物体作用的力就转化为外力。 当整个物系平衡时,组成该物系的每一个物体必处于平衡状态。因此对于每 个物体,在一般情况下可以写出三个独立的平衡方程。 设物系由n个物体,有3m个独立方程
5 衡方程求得。 为了简化计算过程，必须有序地选取研究对象。对简单的静定物系平衡问题， 可按下列步骤进行： 1)在具体求解前，画出系统整体、局部及每个物体的分离体受力图。 2)分析各受力图。可能出现三类情况：一是有的受力图上未知力的个数等于 或少于相应的独立平衡方程个数，这类受力图是可解的；二是有的受力图上未知 力的个数大于相应的独立平衡方程个数，但仍可求出部分未知力。如受平面任意 力系作用的分离体上有 4 个未知力，其中 3 个末细力汇交于一点(或相互平行)， 取交点为矩心(或取投影袖垂直于三力)，列出力矩平衡方程(或投影平衡方程)， 即可求出第四个未知力，这类受力图是局部可解的；三是所有受力图的未知力暂 时都无法求解，这类受力图是暂不可解的。 3)在分析基础上确定求解顺序。先从可解的或局部可解的分离体着手，求出 某些末细力。将已求出的未知力视为已知力，从而使其它暂不可解的分离体转化 为可解的分离体，这样按题意可依次解出待求的未知力。对物系中各受力图均为 暂不可解的，则应选取两个相同未知力的分离体，列出乎衡方程联立求解，从而 同样达到转化暂不可解分离体的目的。 下面举例说明物系平衡问题的解法。 例题（P41、42、34） 在研究物系的平衡问题时，我们把物系以外的物体作用于物系的力称为该物 系的外力；把物系内各物体间相互作用的力，称为该物系的内力。对整个物系来 说，内力总是成对出现的，所以在研究整个物系的平衡问题时，内力无需考虑。 内力与外力是相对的。当研究物系中某一物体的平衡时，物系中其他物体对 所研究物体作用的力就转化为外力。 当整个物系平衡时，组成该物系的每一个物体必处于平衡状态。因此对于每 一个物体，在一般情况下可以写出三个独立的平衡方程。 设物系由 n 个物体，有 3n 个独立方程
①若物系中未知量(包括内力转化为外力的未知量)的数目等于3n个,则所有未知 量都可求得—一静定问题 ②若物系中未知量的数目多于3n个时,仅仅用平衡方程就不能完全求出这些未 知量一一静不定问题或超静定问题。 注意:3n个独立方程是针对任意力系来说的,如果有汇交、平行,则方程数 目相应减少。 ※求解物系的平衡问题,习惯上常用两种解法 (1)先整体后拆开 先取整个物系为研究对象,列出三个方程,解出部分未知量,再将物系拆开, 选取物系中某个(或某些)物体作为研究对象,列出对应的平衡方程,求出所需的 全部未知量。 (2)逐次拆开 物系拆开,选择 知量。 4与支座B的约 ZMC(F)O FB×2-F2×1+M=0 ΣM4(F)=0M4一F1-0.5F-F+4F2=0 MA=6.25kN·m FY=0 FA-F F=Fc得 FAx= 2kN 2F=0 FAr+ Fi=c(FCr= Fcr=0 FAr=-4. 5kN 2AC=BC气=3m,AD=BE=/5。F1=0.8KNF2=04KN,求横杆DE的拉力和铰C 和A、B的反力
6 ①若物系中未知量(包括内力转化为外力的未知量)的数目等于 3n 个，则所有未知 量都可求得——静定问题 ②若物系中未知量的数目多于 3n 个时，仅仅用平衡方程就不能完全求出这些未 知量——静不定问题或超静定问题。 注意： 3n 个独立方程是针对任意力系来说的，如果有汇交、平行，则方程数 目相应减少。 ※ 求解物系的平衡问题，习惯上常用两种解法 (1) 先整体后拆开 先取整个物系为研究对象，列出三个方程，解出部分未知量，再将物系拆开， 选取物系中某个(或某些)物体作为研究对象，列出对应的平衡方程，求出所需的 全部未知量。 (2)逐次拆开 当选取整体为研究对象根本不能解出未知量时，则需逐次将物系拆开，选择 单个物体为研究对象，列出对应的平衡方程，求出所需的全部未知量。 例题讲解 1.直角弯杆，q1＝3kN/m, q2=0.5kN/m，M=2kN·m。求面定端 A 与支座 B 的约 束力和铰链 C 的内力。 BC 段： AC 段： 2.AC=BC=L=3m，AD=BE=L/5。F1=0.8KN,F2=0.4KN，求横杆 DE 的拉力和铰 C 和 A、B 的反力。 2
2MA(F)=0F2L+F2ysin60°-F1 Lcos60°=0 FB=0.093kN 2F,=0F4+FB-F1=0 FA=0.707kN eMc(F FE=-0.182kN F,=0 Fc=0.093kN 2H Fc=0.218kN 4考虑摩擦时的平衡问题 摩擦是一种普通存在的现象。在一些问题中,摩擦对物体的受力情况影响很 小,为了计算方便而忽略不计。但在工程上有些摩擦问题是不能忽略的 按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动,摩擦可分为滑动摩擦和滚动 摩擦。 41滑动摩擦 互相接触的两个物体,当它们发生相对滑动或有滑动趋势时,在两物体的接 触面上,就会出现阻碍彼此滑动的力,称为滑动摩擦力。 滑动摩擦力的方向与物体相对返动戚对动趋势的友想反 当两物体尚未发生滑动而仅有滑动趋势时,两物体间的摩擦力称为静滑动摩 擦力(简称静摩擦力);当两物体已经滑动时,两物体间的摩擦力称为动滑动摩擦 力(简称动摩擦力)。 当拉力T不大时,物体处于平衡,因此摩擦力与拉力大小相等,即:F=T。 若拉力T逐渐增大,滑动的趋势增大,静摩擦力F也相应地増大
7 对整体分析 再对 BC 段分析 4 考虑摩擦时的平衡问题 摩擦是一种普通存在的现象。在一些问题中，摩擦对物体的受力情况影响很 小，为了计算方便而忽略不计。但在工程上有些摩擦问题是不能忽略的。 按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，摩擦可分为滑动摩擦和滚动 摩擦。 4.1 滑动摩擦 互相接触的两个物体，当它们发生相对滑动或有滑动趋势时，在两物体的接 触面上，就会出现阻碍彼此滑动的力，称为滑动摩擦力。 滑动摩擦力的方向与物体相对运动(或相对运动趋势)的方向相反。 当两物体尚未发生滑动而仅有滑动趋势时，两物体间的摩擦力称为静滑动摩 擦力(简称静摩擦力)；当两物体已经滑动时，两物体间的摩擦力称为动滑动摩擦 力(简称动摩擦力)。 当拉力 T 不大时，物体处于平衡，因此摩擦力与拉力大小相等，即： F = T 。 若拉力 T 逐渐增大，滑动的趋势增大，静摩擦力 F 也相应地增大
临界状态时:Fam=Tk F是物体处于临界平衡状态时的摩擦力。称为最大静滑动摩擦力(简称最大 静摩擦力) 0<F≤F 静摩擦力的性质: 1、当物体与约束面之间有法向力,且有滑动趋势时,沿接触面的切线方向有静 摩擦力存在,其方向与滑动趋势的方向相反。 2、静摩擦力的大小由平衡条件确定,其数值决定于使物体产生滑动趋势的外力, 且在零与最大静摩擦力之间,即: 0≤F≤Fm 3、当物体处于临界平衡状态时,摩擦力达到最大值Fa。 ※实验证明:最大静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反,最大静摩擦力的 大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比,即 Fmx=fN 静滑动摩擦定律 比例常数∫——静滑动摩擦系数(简称静摩擦系数)表22(P45) ※对于动摩擦力,通过实验得: F=∫N 动滑动摩擦定律 ∫′—一动滑动摩擦系数(简称动摩擦系数) 动摩擦系数一般小于静摩擦系数,即:∫′<∫。 ※摩擦力的具体计算 1、静止时 静摩擦力F的大小由静力平衡条件确定,其值在0与F之间,随作用于物 体上的其他外力的大小而变化。 临界状态时:F=F=fN 相对滑动时:F'=∫N(对一般工程中的非精确计算,可近似采用∫≈∫)
8 临界状态时： Fmax = TK Fmax 是物体处于临界平衡状态时的摩擦力。称为最大静滑动摩擦力(简称最大 静摩擦力)。 0 F Fmax 静摩擦力的性质： 1、当物体与约束面之间有法向力，且有滑动趋势时，沿接触面的切线方向有静 摩擦力存在，其方向与滑动趋势的方向相反。 2、静摩擦力的大小由平衡条件确定，其数值决定于使物体产生滑动趋势的外力， 且在零与最大静摩擦力之间，即： 0 F Fmax 3、当物体处于临界平衡状态时，摩擦力达到最大值 Fmax 。 ※实验证明：最大静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，最大静摩擦力的 大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比，即： Fmax ＝ fN 静滑动摩擦定律 比例常数 f ——静滑动摩擦系数(简称静摩擦系数) 表 2.2（P45） ※对于动摩擦力，通过实验得： F = f N 动滑动摩擦定律 f ——动滑动摩擦系数(简称动摩擦系数) 动摩擦系数一般小于静摩擦系数，即： f f 。 ※摩擦力的具体计算： 1、静止时 静摩擦力 F 的大小由静力平衡条件确定，其值在 0 与 Fmax 之间，随作用于物 体上的其他外力的大小而变化。 2、临界状态时： F = Fmax ＝ fN 3、相对滑动时： F = f N (对一般工程中的非精确计算，可近似采用 f f )
42摩擦角与自锁现象 摩擦角φn表示材料摩擦性质的物理量。 ∫摩擦角φn的正切等于静 摩擦系数 ※摩擦角φn表示全反力能够生成的范围,如物体 与支承面的摩擦系数在各个方向均相同,则这一个范 围在空间就形成一个锥体,称为摩擦锥。全反力的作 用线不可能超出这个摩擦锥 若外力(所有主动力合力)作用在摩擦锥范围以 F 内,则全反力R必与外力构成平衡,如a≤on,则不 论外力O的值增加到多大,都不会使物体滑动,这种情 况称为自锁。 ≤qn-一自锁条件 43考虑摩擦的平衡问题 图3-23自锁条件 有摩擦的平衡问题,仍可应用平衡方程求解,不过 在画受力图和列平衡方程式时,都必须考虑摩擦力 由于静摩擦力F可在零与F之间变化,因此其解答往往具有一个变化范围。 ΣFx=0F1cosa+ Wsing =0 ΣF=0 F,sina FN-Wcosa=0 Fmax= sfN CoSa cosa+ fs W sina
9 4.2 摩擦角与自锁现象 摩擦角 m 表示材料摩擦性质的物理量。 f N fN N F tg m = = = max 摩擦角 m 的正切等于静 摩擦系数 ※摩擦角 m 表示全反力能够生成的范围，如物体 与支承面的摩擦系数在各个方向均相同，则这一个范 围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥。全反力的作 用线不可能超出这个摩擦锥。 若外力 Q (所有主动力合力)作用在摩擦锥范围以 内，则全反力 R 必与外力构成平衡，如 m ，则不 论外力 Q 的值增加到多大，都不会使物体滑动，这种情 况称为自锁。 m ——自锁条件 4.3 考虑摩擦的平衡问题 有摩擦的平衡问题，仍可应用平衡方程求解，不过 在画受力图和列平衡方程式时，都必须考虑摩擦力。 由于静摩擦力 F 可在零与 Fmax 之间变化，因此其解答往往具有一个变化范围。 例题讲解：书 482.13 不下滑的 F1 最小值，摩擦力向上，图 b 所示
F f,co Wsin F FI Wcosa=0 F fsF sIna cosa F 所以保持静止的F1的条件为 Nsw≤F=0- ΣFy=0FN-W+ Frisian30°=0 当W2=30N,W1分别为 Fs十F cos Fmax= fFNe= 0. 2(W-w1sin 30) 将W1式中,可以得到如下情况: W/N FN/N 比较Fs与Fu,判断是否滑动 向左滑动 FsiF灬,向右滑动 4.4 KINI 勿放在地面上推或拉 要省 到的阻力要小。车辆 用轮 J(图2.20) 图2.20
10 不上滑的 F1 最大值，摩擦力向下，图 C 所示。 所以保持静止的 F1 的条件为 例题 1 A 物重 W=100N，与支承面之间的静摩擦因数为 fs＝0.2，当 W2=30N,W1 分别为 10N，30N，40N，60N 时，A 是否滑动？ 将 W1 式中，可以得到如下情况： 4.4 滚动摩擦简介 当搬运重物时，若在重物底下垫上辊轴，则比直接将重物放在地面上推或拉 要省力得多，这说明用辊轴的滚动宋代替箱底的滑动，所受到的阻力要小。车辆 用轮子“行走”，机器中用滚动轴承，都是为了减少摩擦阻力(图 2．20)
