五、圆轴扭转 1圆轴扭转的概念与实例扭矩和扭矩图 1.1圆轴扭转的概念与实例 杆件产生扭转变形的受力特点:在垂直于杆件轴线的平面内,作用着一对大 小相等,转向相反的力偶。 杆件的变形特点:各横截面绕轴线发生相对转动,杆轴线始终保持直线。这 种变形称为扭转变形。 杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角,简称转角 ※工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。(工程中大多数轴在传 动中除有扭转变形外,还伴有其他形式的变形) 只研究工程上常见的圆轴的扭转变形 12扭矩与扭矩图 ※作用在轴上的外力偶矩往往不是直接给出的,而是根据所给定的轴的传动 功MNm 9549 6.1 n won 式中,M为外力偶矩;P为轴传递的功率;n为轴的转速。输入力偶矩为主 动力偶矩,其转向与轴的转向相同:输出力偶矩为阻力偶矩,其转向与轴的转向 相反。 扭矩:横截面上的内力偶矩 扭矩的正负号规定:(右手法则) 用四指弯向表示力偶的转向,大拇指的指向表示扭矩矢量的方向。当扭矩矢 量的方向与截面外法线方向一致时为正,相反时为负。 ※应用截面法时,一般先假设截面上的扭矩为正,扭转的大小可运用平衡方程式 ∑m=0求得
1 五、圆轴扭转 1 圆轴扭转的概念与实例 扭矩和扭矩图 1.1 圆轴扭转的概念与实例 杆件产生扭转变形的受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大 小相等，转向相反的力偶。 杆件的变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动，杆轴线始终保持直线。这 种变形称为扭转变形。 杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角。 ※工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。(工程中大多数轴在传 动中除有扭转变形外，还伴有其他形式的变形)。 只研究工程上常见的圆轴的扭转变形 1.2 扭矩与扭矩图 ※作用在轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是根据所给定的轴的传动 功率和轴的转速算出来的。 式中，Me 为外力偶矩；P 为轴传递的功率；n 为轴的转速。输入力偶矩为主 动力偶矩，其转向与轴的转向相同；输出力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转向 相反。 扭矩：横截面上的内力偶矩。 扭矩的正负号规定：(右手法则) 用四指弯向表示力偶的转向，大拇指的指向表示扭矩矢量的方向。当扭矩矢 量的方向与截面外法线方向一致时为正，相反时为负。 ※应用截面法时，一般先假设截面上的扭矩为正，扭转的大小可运用平衡方程式 m = 0 求得
例题6.1(P114)必讲 为了清楚地看出各截面上的扭矩的变化情况,以便确定危险截面,通常把扭 矩随截面位置的变化会成图形一一扭矩图(其画法与轴力图类同)。 危险截面在轴的AB段 若把主动轮A改放在中间,则扭矩图为 显然这样的布局比较合理。 2圆轴扭转时的应力与强度计算 员周线和纵向 n发生相对 从薄壁圆筒中取单元体,边长分别为dx,dy,6的长方体(图圆筒的半径长 6.7d)。左、右侧面上有切应力r组成力偶矩为(rdy8)·dx的力 应力,横截面 偶。因单元体是平衡的,故上、下侧面上必定存在方向相反的切应 力x',组成力偶矩为(r'dr·8)·dy的力偶与上述力偶相平衡。由7c) ∑M=0 (τdy·6)·dx=(rdx:a) 得 (6.2) 式(6.2)表明:单元体互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在,且大小相 等,方向都垂直指向或背离两平面的交线。这一关系称为切应力互等定理。 在上述单元体的上下左右四个侧面上,只有切应力面无正应力,这种情况称 为纯剪切。在切应力的作用下,单元体的直角要发生微小的改变。这个直角的改 变量γ称为切应变
2 例题 6.1 （P114） 必讲 为了清楚地看出各截面上的扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭 矩随截面位置的变化会成图形——扭矩图(其画法与轴力图类同)。 危险截面在轴的 AB 段。 若把主动轮 A 改放在中间，则扭矩图为： 显然这样的布局比较合理。 2 圆轴扭转时的应力与强度计算 2.1 切应力互等定理 剪切胡克定律 图 6．7a 表示等厚度薄壁圆筒承受扭转。未受扭时在表面上用圆周线和纵向 线画成方格。扭转试验结果表明，在小变形条件下，截面 m—m 和 n—n 发生相对 转动，造成方格两边相对错动(图 6．7b)，但方格沿轴线的长度及圆筒的半径长 度均不变。这表明，圆筒横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面 上只有切应力。围圆筒很薄，可认为切应力沿厚度均匀分布(图 6．7c)。 式(6．2)表明：单元体互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相 等，方向都垂直指向或背离两平面的交线。这一关系称为切应力互等定理。 在上述单元体的上下左右四个侧面上，只有切应力面无正应力，这种情况称 为纯剪切。在切应力的作用下，单元体的直角要发生微小的改变。这个直角的改 变量 称为切应变
实验表明,当切应力τ不超过材料的剪切比例极限rp时,切应力r与切应变 y成正比。即 gr 上式称为剪切胡克定律。式中比例常数G称为材料的切变模量.常用单位 是GPa,其数值可由实验测得。一船碳钢的切变模量G=80一84GPa。材料的 切变模量G与弹 E系为 G=2(1+v 22圆轴扭转时横截面上的应力 扭转变形的实验观察: 实验前,先在它的表面上划两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线 实验时,在圆轴两端加力偶矩为M的外力偶,圆轴即发生扭转变形。 在变形微小的情况下,可观察到: 1、两条纵向线倾斜了相同的角度,原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平 行四边形 轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变 ※推断:圆轴扭转前的各个横截面在扭转后任为互相平行的平面,只是相对地转 过了一个角度一一扭转时的平面假设。 根据平面假设,得两个结论:(1)横截面间发生了旋转式的相对错动,出现了 剪切变形,故截面上有剪应力存在,又因半径长度不变,剪应力方向必与半径垂 直:(2)由于相邻截面的间距不变,所以横截面上没有正应力。 圆轴扭转后,微段的右截面相当于左截面转过一个微小角度d。半径为p的 内层圆柱上的纵线EF倾斜到EF1,倾斜角为yn(剪应变)。 在弹性范围内,剪应变y,是很小的,则
3 实验表明，当切应力 不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应力 与切应变 成正比。即： 上式称为剪切胡克定律。式中比例常数 G 称为材料的切变模量．常用单位 是 GPa，其数值可由实验测得。一船碳钢的切变模量 G＝80 一 84GPa。材料的 切变模量 G 与弹性模量 E、泊松比 关系为 2.2 圆轴扭转时横截面上的应力 扭转变形的实验观察： 实验前，先在它的表面上划两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线。 实验时，在圆轴两端加力偶矩为 M 的外力偶，圆轴即发生扭转变形。 在变形微小的情况下，可观察到： 1、两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平 行四边形； 2、轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。 ※推断：圆轴扭转前的各个横截面在扭转后任为互相平行的平面，只是相对地转 过了一个角度——扭转时的平面假设。 根据平面假设，得两个结论：(1)横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了 剪切变形，故截面上有剪应力存在，又因半径长度不变，剪应力方向必与半径垂 直；(2)由于相邻截面的间距不变，所以横截面上没有正应力。 圆轴扭转后，微段的右截面相当于左截面转过一个微小角度 d 。半径为 的 内层圆柱上的纵线 EF 倾斜到 EF1，倾斜角为 (剪应变)。 在弹性范围内，剪应变 是很小的，则：
EF pdo d ryp=r=p 由于对同一横截面上的各点为常数,故上式表明:截夏上低二点的剪 感求y与该点到國心的离P成正比一一圆铀却转时的变形规 由剪切虎克定律得:xn=C=GpB 如表明:横截面上任一点处的剪应力的大小,与该点到圆心的距离 p成正比 在截面的圆心处剪应力为零,在周边上剪应力最大 在所有与圆心等距离的点处,剪应力均相等,剪应力的方向与半径垂直。 整个截面上τ灬·dA对O点力矩的总和等于橫截面上的扭矩Mn,即: M=pr,d→M=/mGp 因G均为常量,故:Mn=GaJ1pl 式中:J4pa与横截面的几何形状、尺寸有关,它表示截面的一种几何性质, 称为横截面的极惯性矩l 23圆轴扭转时的强度计算 圆轴扭转时的强度条件为整个圆轴横截面上的最大切应力不超过材料的许 用切府力,即 ≤[ 对于等截面 W≤ 例题62(P118 3圆轴扭转时的变形与刚度计算
4 dx d dx d dx d EF EF t g = = = = 1 由于 dx d 对同一横截面上的各点为常数，故上式表明：横截面上任一点的剪 应变 与该点到圆心的距离 成正比——圆轴扭转时的变形规律。 由剪切虎克定律得： dx d G G = = dx d G = 表明：横截面上任一点处的剪应力的大小，与该点到圆心的距离 成正比。 在截面的圆心处剪应力为零，在周边上剪应力最大。 在所有与圆心等距离的点处，剪应力均相等，剪应力的方向与半径垂直。 整个截面上 dA 对 O 点力矩的总和等于横截面上的扭矩 Mn，即： Mn = A dA dA dx d dA G dx d Mn A G A = = 2 ( ) 因 dx d G 均为常量，故： n = A dA dx d M G 2 式中： A dA 2 与横截面的几何形状、尺寸有关，它表示截面的一种几何性质， 称为横截面的极惯性矩 p I 。 2.3 圆轴扭转时的强度计算 圆轴扭转时的强度条件为整个圆轴横截面上的最大切应力不超过材料的许 用切府力，即 对于等截面圆轴，则有 例题 6.2 （P118） 3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
轴扭转时除了强度要求外,有时还有刚度要求,即要求轴在 定的长度内扭转角不超过某个值,通常限制单位长度转角g 因此,圆轴扭转时的刚度条件是整个轴上的最大单位长度转角 gm不超过规定的单位长度许可转角[g’]。即 ≤[g' 15 对于等截面圆轴,则有 相对转角,然后 G 式中,单位长度转角g和单位长度许可转角[q]的单位为radm 工程上,单位长度许可转角[g]的单位为(°)/m,考虑单位换 算,则得 [g'] (6.17) 不同类型的轴的[g]的值可从有关工程手册中查得。 例题(P120)
5 3.1 圆轴扭转时的变形计算 扭转变形用两个横截面的相对转角来表示。由式(6．8)可得 对于阶梯状圆轴以及扭矩分段变化的等截面团轴，须分段计算相对转角，然后 求代数和。 3.2 圆轴扭转时的刚度计算 例题 （P120）